Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Âûáåðåì ýòèòîðû T n−1 òàê, ÷òîáû èõ îáúåäèíåíèå áûëî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ N02n−2 ⊂ U ∩ Θ,êîòîðàÿ òðàíñâåðñàëüíà ïîòîêó sgrad(F ) â ìíîãîîáðàçèè U ∩ Θ. Äàëåå âêëþ÷èìN02n−2 â ãëàäêîå ñåìåéñòâî ïîâåðõíîñòåé Nc2n−2 ⊂ U , êàæäàÿ èç êîòîðûõ ëåæèòíà íåêîòîðîì óðîâíå F = const = |c| è àíàëîãè÷íî ðàññëîåíà íà èçîòðîïíûå158òîðû T n−1 .
Ïîñëåäíèå ïóñòü ñîñòàâëÿþò ãëàäêîå, n - ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî,âêëþ÷àþùåå T0n−1 è ïðîäîëæàþùåå ðàíåå îïðåäåëåííîå ñåìåéñòâî òîðîâ T n−1 , íàêîòîðûå ðàññëîåíà ïîâåðõíîñòü N02n−2 . Ìû òàêæå ïîëàãàåì, ÷òî êàæäàÿ ïîâåðõíîñòüNc2n−2 òðàíñâåðñàëüíà sgrad(F ) â ìíîãîîáðàçèè F = |c|. Çàìåòèì, ÷òî F (U ∩ Θ) = 0è ïðè c 6= 0 íà êàæäîì óðîâíå F = |c| ëåæèò ðîâíî äâå (íåïåðåñåêàþùèåñÿ)2n−2ïîâåðõíîñòè N±c, êîòîðûå ïðè c → 0 â ïðåäåëå ñëèâàþòñÿ ñ N02n−2 .Íàéäåòñÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ x : U → R ñ âñþäó íåíóëåâûì äèôôåðåíöèàëîì,÷òî x(U ∩ Θ) = 0 è êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ x ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíîé êîìïîíåíòîéíåêîòîðîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ F = |c|.
 ñèëó ëåììû 1 íàéäåòñÿ òàêàÿ îêðåñòíîñòüU =e T0n × Dn è 1-ôîðìà µ íà U , ÷òî³ x2 ´x2ω|U = dµ = xdx ∧ µ + dµ .22(3.29)Ôîðìà µ îïðåäåëÿåò íà U ∩ Θ êîíòàêòíóþ ñòðóêòóðó, ïîýòîìó 2-ôîðìà dµíåâûðîæäåíà íà êàæäîì ïîäïðîñòðàíñòâå Πy , ãäå y ∈ U ∩ Θ. Ñëåäîâàòåëüíîrk(dµ|U ∩Θ ) ≡ 2n − 2.Äëÿ ëþáîé òî÷êè ïîâåðõíîñòè F = const âåêòîð sgrad(F ) ëåæèò â êàñàòåëüíîéïëîñêîñòè è êîñîîðòîãîíàëåí åé.
Ýòî æå, î÷åâèäíî, èìååò ìåñòî â îòíîøåíèè ëþáîéïîâåðõíîñòè óðîâíÿ èíòåãðàëà x. Ïîñêîëüêó ïðè x = const èìååì 2ω = x2 dµ,òî ïðè x 6= 0 âåêòîðíîå ïîëå sgrad(F ) êîñîîðòîãîíàëüíî ýòîé ãèïåðïîâåðõíîñòèîòíîñèòåëüíî ôîðìû dµ. Ïî íåïðåðûâíîñòè ýòî æå èìååò ìåñòî ïðè x = 0, ò.å., íàãèïåðïîâåðõíîñòè U ∩ Θ. Ïîñêîëüêó ïîâåðõíîñòü N02n−2 ⊂ x−1 (0) òðàíñâåðñàëüíàïîòîêó sgrad(F ) è rk(ω|x=0 ) ≡ 2n − 2, òî îãðàíè÷åíèå ôîðìû dµ íà N02n−2íåâûðîæäåíî. Åñëè îêðåñòíîñòü U äîñòàòî÷íî ìàëà, òî dµ íåâûðîæäåíà íà êàæäîéïîâåðõíîñòè Nc2n−2 ⊂ U .
Ïîñëåäíåå âêëþ÷åíèå âñþäó ïîäðàçóìåâàåòñÿ.Òàêèìîáðàçîì,êàæäàÿïàðà(Nc2n−2 , dµ)ÿâëÿåòñÿñèìïëåêòè÷åñêèììíîãîîáðàçèåì. Ñëåäîâàòåëüíî òîðû T n−1 , íà êîòîðûå ïî ïîñòðîåíèþ ðàññëîåíàêàæäàÿ ïîâåðõíîñòü Nc2n−2 , ÿâëÿþòñÿ ëàãðàíæåâûìè ïîäìíîãîîáðàçèÿìè â Nc2n−2 . ñàìîì äåëå, äëÿ òîðîâ T n−1 ⊂ U \ Θ ýòî ñëåäóåò èç èõ èçîòðîïíîñòè îòíîñèòåëüíîω (êàæäûé T n−1 âëîæåí â íåêîòîðûé òîð Ëèóâèëëÿ), à äëÿ îñòàëüíûõ ïîëó÷àåòñÿïî íåïðåðûâíîñòè ïðè x → 0.Íà êàæäîé òðàåêòîðèè sgrad(F ) ââåäåì ïàðàìåòð ϕ1 (ñäâèã â ïîòîêå),îòñ÷èòûâàåìûé îò íåêîòîðîé, îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííîé ïîâåðõíîñòè Nc2n−2 , êîòîðóþäàííàÿ òðàåêòîðèÿ ïðîòûêàåò â åäèíñòâåííîé òî÷êå p.
Ïðè ýòîì âåêòîð sgrad(F )(p)159êîñîîðòîãîíàëåí Tp Nc2n−2 , ïîñêîëüêóisgrad(F ) ω(Tp Nc2n−2 ) = −dF (Tp Nc2n−2 ) ,Tp Nc2n−2 ⊂ Tp { F = |c| } .Íà êàæäîì ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè¡Nc2n−2 , dµ¢ìîæíî ââåñòè òàêèåêîîðäèíàòû äåéñòâèå óãîë (s2 , . . . , sn , ϕ2 , . . . , ϕn ), ãëàäêî çàâèñÿùèå îò Nc2n−2 , ÷òîϕ2 , . . . , ϕn ÿâëÿþòñÿ óãëîâûìè êîîðäèíàòàìè íà ëþáîì òîðå T n−1 = {s = const}(íà êîòîðûå èçíà÷àëüíî ðàññëîåíà ïîâåðõíîñòü Nc2n−2 ). Ïîñêîëüêó ïîëå sgrad(F )ñîõðàíÿåò èíòåãðàë x è ôîðìó ω , òî â êîîðäèíàòàõ(x, ϕ1 , s2 , ϕ2 , . . .
, sn , ϕn ),s(T0n−1 ) = 0(3.30)(ñîõðàíÿåìûõ ïîòîêîì sgrad(F ) ïî ñàìîìó èõ ïîñòðîåíèþ) ìàòðèöà ôîðìû ωïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:0β2 x β 3 x β 4 x000 −β2 x −β xx20032x2 −β4 x00 −2...... ... ... −β2n−1 x 000−β2n x000. . . β2n−1 x β2n x...0...0...0.........0...− x20 0 .... x22002(3.31)Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè f ëîêàëüíî00dµ=d2n³X´βr dxr =r=22nX0d βr ∧ dxr =r=22nXr=2βr dxr =nXn³X´dx2j−1 ∧ dx2j = dx2j−1 dx2j ,j=2nXj=2x2j−1 dx2j + d0 f ,j=2∂f∂f∂f,β2j = x2j−1 +,β2j−1 =(2 ≤ j ≤ n) ,(3.32)∂x2∂x2j∂x2j−1ãäå d0 îáîçíà÷àåò âíåøíåå äèôåðåíöèðîâàíèå íà ïîäìíîãîîáðàçèè x = const. Äëÿβ2 =êðàòêîñòè çàïèñè êîîðäèíàòû èç íàáîðà (3.30) îáîçíà÷åíû çäåñü x, x2 , .
. . , x2n . Èç(3.31) è (3.32) ïîëó÷àåì:n2n´ x2 XX∂f1dxr +dx2j−1 ∧ dx2jω = x1 dx1 ∧x2j−1 dx2j +∂xr2 j=2r=2j=2n³XÒåïåðü çàìåòèì, ÷òî êîíòàêòíàÿ ôîðìàµ|U ∩Θ = µ|x=0 =2nXr=2160βr dxr(3.33).ðàâíà íóëþ íà ëåæàíäðîâîì ïîäìíîãîîáðàçèè T0n−1 ⊂ U ∩ Θ, à ôîðìànXx2j−1 dx2j =j=2nXsj dϕjj=2ðàâíà íóëþ íà òîðå T0n−1 â ñèëó s(T0n−1 ) = 0 (3.30). Îòñþäà, èç (3.32) è îòíîñèòåëüíîéëåììû Ïóàíêàðå (òåîðåìà 2, § 1.1) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèþ f ìîæíî ñ÷èòàòü çàäàííîéíà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè W òîðà T0n−1 â ìíîãîîáðàçèè U .Ïî óñëîâèþ êîíòàêòíîñòè òî÷åê T0n−1 ïôàôôèàí P f (ω) íå äåëèòñÿ íà x2n . Âñèëó ýòîãî èç (3.31) èìååì β2 6= 0. Ïîýòîìó∂f(ρ) 6= 0∂x2∀ρ ∈ T0n−1 .Çàìåíèì êîîðäèíàòó x2 = ϕ1 ôóíêöèåé f è èç (3.33) ïîëó÷èì, ÷òîω=d³ x2 ¡2df +nXsj dϕj¢´.(3.34)j=2 êîîðäèíàòàõ (x, f, s2 , ϕ2 , . . .
, sn , ϕn ) íà W ⊃ T0n−1 ìàòðèöà ω èìååò âèä:0x0xs20−x00000...0000x2200...002− x2000...0x22...00...0−xs2xs3 . . .0xsn00000−xs3000− x2...............000000...−xsn00000. . . − x22... ......020 0 0 0 .0 ... 2x2 0(3.35)Êàæäàÿ èç êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé sj è ϕj , ãäå 2 ≤ j ≤ n, áóäó÷è êîíñòàíòîéíà ëþáîé òðàåêòîðèè ïîëÿ sgrad(F ) = ∂/∂ϕ1 , ôàêòè÷åñêè îïðåäåëåíà íà âñåììíîæåñòâå U .  îòíîøåíèè ôóíêöèè f ìû ýòîãî ïîêà ñêàçàòü íå ìîæåì. Çàìåòèì,÷òî âñå sj ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëàìè èñõîäíîé ñèñòåìû.Òîð T0n ðàññëîåí n − 1 ìåðíûìè, ëåæàíäðîâûìè òîðàìè, êàæäûé èç êîòîðûõèìååò âñå ñâîéñòâà òîðà T0n−1 , èñïîëüçîâàííûå âûøå, è ïîëó÷àåòñÿ èç íåãî íåêîòîðûìf ëþáîãî òàêîãî òîðà Ten−1 â êîîðäèíàòàõñäâèãîì â ïîòîêå ∂/∂ϕ1 .
 îêðåñòíîñòè W0(x, fe, s2 , ϕ2 , . . . , sn , ϕn ) ôîðìà ω âûãëÿäèò àíàëîãè÷íî (3.34). Ïðè ýòîì ìíîæåñòâîf ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì ñäâèãîì W â ïîòîêå sgrad(F ) = ∂/∂ϕ1 . ÊîîðäèíàòíûåW161ëèíèè f è fe ëåæàò íà òðàåêòîðèÿõ sgrad(F ) (ò.ê. ïîòîê ñîõðàíÿåò âñå îñòàëüíûåêîîðäèíàòû). Ïîýòîìó êàæäîìó âåêòîðó ∂/∂f ïðè ñäâèãå îòâå÷àåò âåêòîð, êîòîðûéïðîïîðöèîíàëåí ∂/∂ fe. Îäíàêî êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè äîëæåí áûòüðàâåí 1, ïîñêîëüêó ω ñîõðàíÿåòñÿ ïîòîêîì ∂/∂ϕ1 è, â ñèëó (3.35), èìååò ìåñòî:ω1,2 = ω³∂³∂∂ ´∂ ´,=ω,=x.∂x ∂f∂x ∂ feÏîñêîëüêó, êàê ìû òîëüêî ÷òî âèäåëè, âåêòîðíîå ïîëå ∂/∂f ñîõðàíÿåòñÿ ïðèñäâèãàõ êîîðäèíàòû ϕ1 , ôóíêöèÿ f òàêæå ñîõðàíÿåòñÿ âäîëü ϕ1 .
Òàêèì îáðàçîì,(ìíîãîçíà÷íàÿ) ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà âñåì ìíîæåñòâå U è îíà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ââèäå f = T · ϕ1 , ãäå ôóíêöèÿ T = T (x, s2 , ϕ2 , . . . , sn , ϕn ) âñþäó îòëè÷íà îò íóëÿ. Äëÿîïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü åå ïîëîæèòåëüíîé. Ïîñêîëüêó ïîòîê ∂/∂ϕ1 ñîõðàíÿåòôóíêöèþ f , ôîðìó ω è ÿâëÿåòñÿ 2π - ïåðèîäè÷åñêèì, èç (3.34) ñëåäóåò òîæäåñòâîdx ∧ dT = 0.
Ïîýòîìó ôóíêöèÿ T ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî îò ïåðåìåííîé x. Òîãäàpçàìåíîé ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ s2 , . . . , sn íà s2 /T, . . . , sn /T è èíòåãðàëà x íà x T (x),ôîðìà ω ïðèâîäèòñÿ ê èñêîìîìó, êàíîíè÷åñêîìó âèäó.  ñàìîì äåëå,nn³ x2 ¡³ x2 ³´´XX¢´ω=ddf +sj dϕj = dd(T ϕ1 ) +sj dϕj=22j=2j=2n³ x2 ³´´X=dT (x)dϕ1 +sj dϕj=d2j=2á p!¢2n´Xx T (x) ³sjdϕ1 +dϕj.2T (x)j=2Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà (n − 1 ìåðíûå, ìàêñèìàëüíûå) èíòåãðàëüíûåìíîãîîáðàçèÿ (3.28) íå ÿâëÿþòñÿ êîìïàêòíûìè.
Òîãäà êàê óãîäíî áëèçêî îò T0níàéäåòñÿ òîð Ëèóâèëëÿ Te0n ⊂ U ∩ Θ, íà êîòîðîì âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå êîìïàêòíîñòèäëÿ àíàëîãè÷íîãî (3.28) ðàñïðåäåëåíèÿ. Äåëî â òîì, ÷òî êàæäîå òàêîå èíòåãðàëüíîåìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ îðáèòîé ïóàññîíîâà äåéñòâèÿ ãðóïïû Rn−1 , ãåíåðàòîðàìèêîòîðîãî ñëóæàò ïîëÿ vj = sgrad(χ2 Fj /2), ãäå 2 ≤ j ≤ n. Ïðè ýòîì èíòåãðàë χ ðàâåííóëþ íà ãèïåðïîâåðõíîñòè U ∩Θ. Ïî ëåììå 5 âáëèçè ëþáîé òî÷êè ρ ∈ T0n ñóùåñòâóþòòàêèå êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû x, ÷òî x1 = χ è êàæäàÿ ôóíêöèÿ x2j−1 , áóäó÷è de'facto çàäàííîé íà U , ïîñòîÿííà íà êàæäîì òîðå Ëèóâèëëÿ T n ⊂ U . Èç äîêàçàòåëüñòâàëåììû 5 âèäíî, ÷òî êîîðäèíàòû x2 , x2j ìîæíî âûáðàòü ëîêàëüíî ñîâïàäàþùèìè ñóãëîâûìè êîîðäèíàòàìè ϕ1 , . .
. , ϕn . Òîãäà äëÿ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè O(ρ) (ïîêà åùåíå îêðåñòíîñòè òîðà T0n !) êîíòàêòíàÿ ôîðìà âûãëÿäèò òàê:µ = µ|O(ρ)∩Θ = dϕ1 +nXj=2162x2j−1 dϕj . ðàññìàòðèâàåìûõ óãëîâûõ êîîðäèíàòàõ ïîëÿ vj îïðåäåëÿþòñÿ ÷àñòîòàìèωj,1 , . . . , ωj,n , êîòîðûå ïîñòîÿííû íà òîðàõ Ëèóâèëëÿ. Ïîñêîëüêó µ(vj ) = 0, òîωj,1 +nXx2l−1 · ωj,l = 0 .l=2Çàìåòèì, ÷òî ýòî ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî äëÿ êàæäîãî 2 ≤ j ≤ n. Ïîñêîëüêó Qn−1âñþäó ïëîòíî â Rn−1 , êàê óãîäíî áëèçêî îò T n íàéäåòñÿ òîð Ten , íà êîòîðîì âñå ÷èñëà00x2l−1 ðàöèîíàëüíû, ò.å., âñå òðàåêòîðèè êàæäîãî èç ïîëåé vj ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè.Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî âñå (n − 1 ìåðíûå, ìàêñèìàëüíûå) èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿðàñïðåäåëåíèÿ âèäà (3.28) íà òîðå Ten ÿâëÿþòñÿ êîìïàêòíûìè.0e òîðà Ten ñóùåñòâóþòÏî äîêàçàííîìó âûøå, íà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U0e òàê,êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû èñêîìîãî âèäà.
Ìîæíî ëè âûáðàòü îêðåñòíîñòü Ue ìîæíî÷òîáû â íåé îêàçàëñÿ èñõîäíûé òîð T0n ? Îòâåò ïîëîæèòåëüíûé, ò.ê. Uñ÷èòàòü ñîâïàäàþùåé ñ U ⊃ T0n ïðè ñëåäóþùèõ óñëîâèÿõ.1. Îêðåñòíîñòü U ñòÿãèâàåòñÿ íà U ∩ Θ âäîëü íîðìàëåé â êàæäîé òî÷êå.2. Îêðåñòíîñòü U ñòÿãèâàåòñÿ íà T0n âäîëü íîðìàëüíûõ äèñêîâ â êàæäîé òî÷êå.3. Ôîðìà dµ íåâûðîæäåíà íà êàæäîé ïîâåðõíîñòè Nc2n−2 ⊂ U .4. Èíòåãðàë F : U → R íå èìååò êðèòè÷åñêèõ òî÷åê, êðîìå ëåæàùèõ â U ∩ Θ.Óñëîâèå 1 ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ôîðìû µ (3.29), â ñèëó îòíîñèòåëüíîéëåììû Ïóàíêàðå (ñì. äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1). Ëåììà Ïóàíêàðå òàêæå ïðèìåíÿåòñÿïðè îïðåäåëåíèè ôóíêöèè f íà îêðåñòíîñòè W , îò êîòîðîé òðåáóåòñÿ òîëüêîáûòü ñòÿãèâàåìîé íà òîð T0n−1 âäîëü íîðìàëåé. Ïîñëåäíåå çàâåäîìî èìååò ìåñòîâ ñèëó 2.
Óñëîâèå 3 ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ôîðìó dµ äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîîðäèíàòsj , ϕj íà ïîâåðõíîñòÿõ Nc2n−2 . Ïðè ýòîì ïåðåìåííûå äåéñòâèÿ sj îáû÷íûì îáðàçîìâûðàæàþòñÿ èíòåãðàëàìè îò ôîðìû µ. Óñëîâèå 4 îáåcïå÷èâàåò îïðåäåëåííîñòüêîîðäèíàòû ϕ1 íà U . Äëÿ ïîâòîðåíèÿ ïîñòðîåíèé òîãî cëó÷àÿ, êîãäà ñóùåñòâóåòe = U îáëàäàåò âñåìè íåîáõîäèìûìèëåæàíäðîâ òîð T0n−1 ⊂ T0n , îêðåñòíîñòü Uñâîéñòâàìè ïî îòíîøåíèþ ê ëþáîìó, ëåæàíäðîâó òîðó Ten−1 ⊂ Ten . Òåîðåìà 800äîêàçàíà 2 .Ïðèìåð 10. Ïóñòü n > 1 è íà ìíîãîîáðàçèè M = T n × Rn äàíà ôîðìà ω âêàíîíè÷åñêîì âèäå :n³ x2 ¡X¢´sj dϕj .dϕ1 +ω=d2j=2163Òîãäà êàíîíè÷åñêóþ êîíòàêòíóþ ñòðóêòóðó íà Θ =e T n × Rn−1 îïðåäåëÿåò ôîðìàα = dϕ1 +nXsj dϕj .j=2Êîììóòèðóþùèå ôóíêöèè x, sj îïðåäåëÿþò ïóàññîíîâî äåéñòâèå íà M \ Θ, à òîðàìèËèóâèëëÿ ÿâëÿþòñÿ âñå ïîäìíîãîîáðàçèÿ T n × {p}, ãäå p ∈ Rn .
Ïëîñêîñòè Πy ∩ Ty T0níàòÿíóòû íà âåêòîðû −sj ∂/∂ϕ1 +∂/∂ϕj , ãäå 2 ≤ j ≤ n. Ëåæàíäðîâû ïîäìíîãîîáðàçèÿêîìïàêòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòÿ áû îäíî sj ∈ Q. Äëÿ ëþáîãî T0n ⊂ Θâûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 8 2. ñëó÷àå, åñëè dim Zρ < dim M â íåêîòîðîé òî÷êå ρ ∈ T n , ñóùåñòâóåòïî÷òè î÷åâèäíîå ïðåïÿòñòâèå äëÿ ïðèâåäåíèÿ ôîðìû ω ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó âîêðåñòíîñòè òîðà Ëèóâèëëÿ T n ⊂ Θ.Ïðåäëîæåíèå 15 Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 7 ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåêîòîðûõêîîðäèíàòàõ (x1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
