Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Èíòåãðàëüíûå êðèâûå ðàñïðåäåëåíèé [sgrad∞± (F1 )] è sgrad (F2 )îáðàçóþò îðòîãîíàëüíóþ ñåòü íà êàæäîì òîðå Ëèóâèëëÿ T 2 (ψ, θ). Äëÿ âñåõ t è ïî÷òèâñåõ ϕ ýòè êâàçèïåðèîäè÷åñêèå îáìîòêè îäíîâðåìåííî âñþäó ïëîòíû íà òîðå.Íåñìîòðÿ íà íàëè÷èå íàáîðà èíòåãðàëîâ ñ êîððåêòíî îïðåäåëåííûìè ïîòîêàìè,ñèòóàöèÿ òåîðåìû 7 ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò êëàññè÷åñêîé òåîðåìû Ëèóâèëëÿ, ò.ê.íå âñå ýòè èíòåãðàëû ìîãóò ñëóæèòü êîîðäèíàòàìè â îêðåñòíîñòè òîðà T n ⊂ Θ.Ñëåäñòâèå 9 Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 7 íà Uñóùåñòâóåòòàêîéíàáîðêîììóòèðóþùèõ èíòåãðàëîâ Φ1 , . . . , Φk , Fk+1 , . . .
, Fn , ÷òî âñå ãàìèëüòîíîâûïîëÿ sgrad(Φj ) è sgrad(Fi ) êîððåêòíî îïðåäåëåíû è ëèíåéíî íåçàâèñèìû íà âñåéîêðåñòíîñòè U . Ýòè èíòåãðàëû ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìû â êàæäîé òî÷êå U \ Θ,îäíàêî dy Φj = 0 äëÿ âñåõ y ∈ U ∩ Θ è âñåõ 1 ≤ j ≤ k .Äîêàçàòåëüñòâî.  äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 5 ëåãêî âèäåòü, ÷òî Φ1 = F12 /2 è Φα =F12 Fα /2, ãäå 2 ≤ α ≤ k 2.Ñëåäñòâèå 10 Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 7, ïóñòü íà âñåì ìíîãîîáðàçèè Mêîððåêòíî îïðåäåëåíà íåðåçîíàíñíàÿ, èíòåãðèðóåìàÿ, ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìàsgrad(H), êîòîðàÿ èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî äàííîãî ïóàññîíîâà äåéñòâèÿ. Òîãäàâ êà÷åñòâå îäíîãî èç èíòåãðàëîâ Fk+1 , .
. . , Fn ìîæíî âçÿòü ãàìèëüòîíèàí H , àîñòàëüíûå èíòåãðàëû îïðåäåëèòü ôîðìóëîé (3.27).154Äîêàçàòåëüñòâî. Èñõîäíûå ãåíåðàòîðû f1 , . . . , fn ïóàññîíîâà äåéñòâèÿ ÿâëÿþòñÿèíòåãðàëàìè sgrad(H) íà M \ Θ, à òîãäà àâòîìàòè÷åñêè íà âñåì M . Âðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå, ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 7 ìîæíî èñïîëüçîâàòüôîðìóëó òîëüêî (3.27) äëÿ îïðåäåëåíèÿ n − k − 1 èç èíòåãðàëîâ Fi , à â êà÷åñòâååùå îäíîãî èíòåãðàëà (íàïðèìåð Fk+1 ) âçÿòü ãàìèëüòîíèàí H .  ñàìîì äåëå, â ñèëóóñëîâèÿ dH(Zy ) ≡ 0 êîâåêòîð dρ H íå ìîæåò ëèíåéíî âûðàæàòüñÿ ÷åðåç ëþáûå n − 2èç êîâåêòîðîâdρ Fk+1 , .
. . , dρ Fn .Òàêèì îáðàçîì, îäèí èç èíòåãðàëîâ Fk+1 , . . . , Fn ìîæíî çàìåíèòü íà H , ñîõðàíÿÿíåçàâèñèìîñòü íàáîðà F1 , . . . , Fn õîòÿ áû âáëèçè òîðà T0n 2 .Ïðåäëîæåíèå 14 Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 7 â ëþáîì íàáîðå èíòåãðàëîâ f1 , . . . , fníàéäåòñÿ íå ìåíåå k − 1 ôóíêöèé fα , ó êîòîðûõ íà òîðå T0n è âñåõ áëèçêèõê íåìó òîðàõ Ëèóâèëëÿ T n ⊂ U ∩ Θ îïðåäåëåíû ïîëÿ sgrad∞ (fα ), ÿâëÿþùèåñÿíåñîáñòâåííûìè ïðåäåëüíûìè ïîëîæåíèÿìè êâàçè-ïîðÿäêà 2. Ïðè ýòîì êîñîéãðàäèåíò õîòÿ áû îäíîãî èç îñòàâøèõñÿ n − k + 1 èíòåãðàëîâ èìååò íåñîáñòâåííîåïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå êâàçè-ïîðÿäêà δ = 1 â êàæäîé òî÷êå U ∩ Θ, äîñòàòî÷íîáëèçêîé ê òîðó T0n .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ρ åñòü ëþáàÿ òî÷êà òîðà T0n .
Âûáåðåì â îêðåñòíîñòè ρòàêèå êîîðäèíàòû, ÷òî ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ρ êîîðäèíàòíûå ëèíèè xn+1 , . . . , x2n ëåæàòíà òîðå T0n , ëèíèè x2 , . . . , xk êàñàþòñÿ êîíòàêòíîé ïëîñêîñòè Πρ , à ëèíèÿ x1 êàñàåòñÿÿäðà Zρ . Ìàòðèöà ßêîáè ôóíêöèé f1 , . . . , fn â òî÷êå ρ âûãëÿäèò òàê:∂f1∂x1 ... ∂fk ∂x1 ∂f k+1 ∂x1 ...∂fn∂x1∂f1∂x2...∂f1∂xk∂f1∂xk+1...∂f1∂xn..................∂fk∂x2∂fk+1∂x2...∂fk∂xk∂fk+1∂xk∂fk∂xk+1∂fk+1∂xk+1......∂fk∂xn∂fk+1∂xn..................∂fn∂x2...∂fn∂xk∂fn∂xk+1...∂fn∂xn...0...0...
... ... 0 ... 0 .0 ... 0 ... ... ... 0 ... 0Èç íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû ßêîáè ñëåäóåò, ÷òî ñòîëáöû ñ íîìåðàìè îò 2 äîk ëèíåéíî íåçàâèñèìû, ÷òî âëå÷åò çà ñîáîé ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü íåêîòîðûõêîâåêòîðîâµ∂fj1∂fj1, ...,∂x2∂xk¶µ,...,155∂fjk−1∂fjk−1, ...,∂x2∂xk¶.Ñëåäîâàòåëüíî âûïîëíåíî dfjs (Πρ ) 6= 0, ãäå 1 ≤ s ≤ k − 1.
Èç (3.26) ñëåäóåò, ÷òîêàæäàÿ èç âåëè÷èí sgrad(fjs ) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîðÿäêà 2 ïî îòíîøåíèþê χ−1 , ãäå χ åñòü ðàññòîÿíèå äî Θ â ëþáîé ðèìàíîâîé ìåòðèêå.Àíàëîãè÷íî, ñòîëáöû ñ íîìåðàìè îò 1 äî k ëèíåéíî íåçàâèñèìû, ÷òî âëå÷åò çàñîáîé ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü íåêîòîðûõ êîâåêòîðî⵶¶µ∂fi1∂fi1∂fik∂fik, ...,, ...,, ...,.∂x1∂xk∂x1∂xkÑëåäîâàòåëüíî, õîòÿ áû îäíà èç ïðîèçâîäíûõ ∂fi1 /∂x1 , . . . , ∂fik /∂x1 îòëè÷íà îò íóëÿ.Äîïóñòèì, ÷òî ∂fi1 /∂x1 (ρ) 6= 0.
Åñëè ïðè ýòîì õîòÿ áû îäíà èç ïðîèçâîäíûõ∂fi1 /∂x2 , . . . , ∂fi1 /∂xk îòëè÷íà îò íóëÿ, òî sgrad(fi1 ) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîéïîðÿäêà χ−2 â òî÷êå ρ. Èíà÷å sgrad(fi1 ) èìååò â ýòîé òî÷êå íåñîáñòâåííîå ïðåäåëüíîåïîëîæåíèå êâàçè-ïîðÿäêà δ = 1 (3.26).Ïðèäîêàçàòåëüñòâåòåîðåìû7áûëïîñòðîåííàáîðêîììóòèðóþùèõ,íåçàâèñèìûõ âåêòîðíûõ ïîëåé â îêðåñòíîñòè U òîðà T0n , ñîõðàíÿþùèõ ëþáîé íàáîðèíòåãðàëîâ äàííîé ñèñòåìû. Ýòè ïîëÿ òàêæå ñîõðàíÿþò ïîëå ïëîñêîñòåé Πy , à òàêæåîñîáóþ ïîâåðõíîñòü Θ è ãàìèëüòîíîâû ïîëÿ èíòåãðàëîâ íà ìíîæåñòâå U \Θ. Ïîýòîìóâûøåóêàçàííûå ñâîéñòâà ôóíêöèé f1 , .
. . , fn , ñâÿçàííûå ñ òî÷êîé ρ, èìåþò ìåñòî âêàæäîé òî÷êå òîðà T0n 2.Òàêèì îáðàçîì, ïîâåäåíèå ïîòîêîâ èíòåãðàëîâ íà òîðàõ Ëèóâèëëÿ T n ⊂ Θ,êîòîðîå îïèñàíî â òåîðåìå 7, íå ìîæåò áûòü "óëó÷øåíî" çà ñ÷åò âûáîðà äðóãîãîíàáîðà èíòåãðàëîâ.Ëåììà 8 Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 7 ïðåäïîëîæèì, ÷òîdim Zy = dim M > 2∀y ∈ Θ ∩ U .Åñëè îêðåñòíîñòü U ⊃ T0n äîñòàòî÷íî ìàëà, òî ñóùåñòâóåò òàêîé áîòòîâñêèéèíòåãðàë F íà U , ÷òî ïîòîê sgrad(F ) êîððåêòíî îïðåäåëåí íà U è âñå åãîèíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè ñ ïåðèîäîì 2π .Èíòåãðàë F ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òîáû íà òîðå T0n âñå òðàåêòîðèè sgrad(F )áûëè ãîìîëîãè÷íû ëþáîìó, íàïåðåä çàäàííîìó, íåíóëåâîìó öèêëó γ ∈ H1 (T0n , Z),íåêîòîðûé ïðåäñòàâèòåëü êîòîðîãî ñ ëþáûì ìàêñèìàëüíûì, n − 1 ìåðíûì,èíòåãðàëüíûì ïîäìíîãîîáðàçèåì (èíòåãðèðóåìîãî) ðàñïðåäåëåíèÿT0n 3 y 7−→ Πy ∩ Ty T0nïåðåñåêàåòñÿ â åäèíñòâåííîé òî÷êå è òðàíñâåðñàëüíî â T0n156(3.28)Äîêàçàòåëüñòâî.
Îáîçíà÷èì χ èíòåãðàë F1 , ââåäåííûé ïðè äîêàçàòåëüñòâåòåîðåìû 7.  ñèëó ëåììû 1 ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ω = d(χ2 β) . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþZZ1χ22F =χβ=β,2π γ2π γãäå öèêë γ íà òîðå Ëèóâèëëÿ T n ⊂ U ãëàäêî çàâèñèò îò T n . Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ χïîñòîÿííà íà êàæäîì òîðå Ëèóâèëëÿ, åå ìîæíî âûíîñèòü èç-ïîä çíàêà èíòåãðàëà.Ïîñêîëüêó dF = 0 â êàæäîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè U ∩ Θ, òî ïî òåîðåìå 1 ïîëå sgrad(F )êîððåêòíî îïðåäåëåíî íà U .  äîñòàòî÷íî ìàëîé, íåïåðåñåêàþùåé Θ îêðåñòíîñòèV ëþáîãî òîðà Ëèóâèëëÿ T n ⊂ U \ Θ ôóíêöèÿ F ÿâëÿåòñÿ êîîðäèíàòîé äåéñòâèÿäëÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ω|V .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íà âñåì ìíîæåñòâå U \Θ èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè sgrad(F ) ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè ñ ïåðèîäîì 2π . Òî æåñàìîå áóäåò è íà ãèïåðïîâåðõíîñòè U ∩ Θ, ò.ê. çàìêíóòîñòü âñåõ òðàåêòîðèé íà U \Θ íåñîâìåñòèìà ñ èõ ïëîòíîñòüþ íà íåêîòîðûõ òîðàõ T n ⊂ U ∩ Θ.  ñàìîì äåëå,äëÿ êàæäîãî òîðà Ëèóâèëëÿ â U îïðåäåëåí ãëàäêî çàâèñÿùèé îò íåãî áàçèñ â Rn .Ñòàíäàðòíûé áàçèñ e1 , . . . , en ñâÿçàí ñ íèì ïîñðåäñòâîì íåêîòîðîé ìàòðèöû (aij ),òàê ÷òî ïîëþ v1 = sgrad(F ) îòâå÷àåò ñòðîêà 1.
Åñëè ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ,ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ åå ýëåìåíòîânXkj a1j = 0 ,kj ∈ Z ,j=1òî âñå èíòåãðàëüíûå êðèâûå ïîëÿ v1 çàìêíóòû íà ñîîòâåòñòâóþùåì òîðå. Ïîíåïðåðûâíîñòè èçìåíåíèÿ öåëûõ ÷èñåë kj , âñå îíè ïîñòîÿííû. Ïîýòîìó âñåòðàåêòîðèè íà òîðå T n ⊂ U ∩ Θ ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè. Ïî íåïðåðûâíîñòè îíè òàêæåèìåþò ïåðèîä 2π .Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà áîòòîâîñòè èíòåãðàëà F : U → R (îïðåäåëåíèå 1, § 2.1)íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî d2 F 6= 0 â êàæäîé òî÷êå U ∩ Θ. Íî ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òîZβ 6= 0 .γÏîñëåäíåå îáóñëîâëåíî òðàíñâåðñàëüíîñòüþ êðèâîé γ êîíòàêòíûì ïëîñêîñòÿì Πy , âñèëó ÷åãî β|γ 6= 0 â êàæäîé òî÷êå êðèâîé γ 2 .Çàìåòèì, ÷òî Θ ∩ U ñîñòîèò èç êðèòè÷åñêèõ òî÷åê èíòåãðàëà F . Èç ïðåäëîæåíèÿ7 ñëåäóåò, ÷òî sgrad(F ) ñîõðàíÿåò êàíîíè÷åñêóþ êîíòàêòíóþ ñòðóêòóðó íà U ∩ Θ.Òåîðåìà 8 Ïóñòü n > 1 è íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè ñ îñîáåííîñòüþ(M 2n , ω) çàäàíû ôóíêöèè f1 , .
. . , fn , îïðåäåëÿþùèå íåðåçîíàíñíîå, ïóàññîíîâî157äåéñòâèå ãðóïïû Rn íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè (M 2n \Θ, ω). Ïðåäïîëîæèì,÷òî îáðàç ìíîæåñòâà Θ îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà F = (f1 , . . . , fn )èìååò ìåðó íîëü â Rn , è íåêîòîðûé òîð Ëèóâèëëÿ T0n ⊂ Θ ñîñòîèò èç êîíòàêòíûõòî÷åê ρ, â êîòîðûõ Zρ = Tρ M .Òîãäà íà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U òîðà T0n îïðåäåëåíû íåçàâèñèìûå ôóíêöèèx, s2 , . . . , sn , ÿâëÿþùèåñÿ èíòåãðàëàìè ïóàññîíîâà äåéñòâèÿ íà U \ Θ.
Íà îòêðûòîììíîæåñòâå U îïðåäåëåíû òàêèå êîîðäèíàòû(x, s2 , . . . , sn , ϕ1mod 2π, . . . , ϕnmod 2π) ,÷òî (ìíîãîçíà÷íûå) ôóíêöèè ϕ1 , . . . , ϕn ÿâëÿþòñÿ óãëîâûìè êîîðäèíàòàìè íàòîðàõ Ëèóâèëëÿ T n ⊂ U , è ôîðìà ω èìååò íà ìíîæåñòâå U êàíîíè÷åñêèé âèä:n³ x2 ¡X¢´ω=ddϕ1 +sj dϕj .2j=2Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ìàêñèìàëüíûå, èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ n−1 ìåðíîãî,èíòåãðèðóåìîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (3.28) ÿâëÿþòñÿ êîìïàêòíûìè. Èç äîêàçàòåëüñòâàëåììû 5 âèäíî, ÷òî íà êàæäîì èç íèõ îïðåäåëåíû n − 1 êîììóòèðóþùèõ,íåçàâèñèìûõ ïîëåé sgrad(F12 Fα /2), ïîýòîìó â êîìïàêòíîì ñëó÷àå ýòè ìíîãîîáðàçèÿÿâëÿþòñÿ òîðàìè. Àëüòåðíàòèâà ñîñòîèò â òîì, ÷òî êàæäîå èõ íèõ ïðåäñòàâëÿåòñîáîé èíúåêòèâíî ïîãðóæåííîå â T0n ïðîèçâåäåíèå Rn−1−m × T m , ãäå 0 ≤ m < n − 1,òàê ÷òî îáðàç ïîãðóæåíèÿ ïëîòåí â T0n .
Ýòîò ñëó÷àé áóäåò òàêæå ðàññìîòðåí íèæå.Çàôèêñèðóåì ëþáîé èç òàêèõ èíòåãðàëüíûõ òîðîâ (ëåæàíäðîâûõ ïî ñëåäñòâèþ8) è îáîçíà÷èì åãî T0n−1 . Âûáåðåì íà T0n öèêë γ òàê, ÷òîáû îí èìåë åäèíñòâåííîåè òðàíñâåðñàëüíîå íà T0n ïåðåñå÷åíèå ñ êàæäûì èíòåãðàëüíûì ïîäìíîãîîáðàçèåìðàñïðåäåëåíèÿ (3.28). Ñîîòâåòñòâóþùèé γ èíòåãðàë F èç ëåììû 8 îïðåäåëÿåò íàU ïîëå sgrad(F ), â ïîòîêå êîòîðîãî òîð T0n−1 îáõîäèò T0n âäîëü òðàåêòîðèé èâîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíîå ïîëîæåíèå (êàæäàÿ òî÷êà âîçâðàùàåòñÿ íà ñâîå ìåñòî).Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî F ≥ 0 íà U .Âêëþ÷èì òîð T0n−1 â ãëàäêîå, n − 1 ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî òîðîâ T n−1 ,êàæäûé èç êîòîðûõ âëîæåí â íåêîòîðûé òîð Ëèóâèëëÿ T n ⊂ U ∩ Θ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
