Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 31
Текст из файла (страница 31)
. , Fk . Ñîõðàíÿÿîáîçíà÷åíèÿ, ïðîäîëæèì êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè íà âñþ îêðåñòíîñòü O(ρ), ïîëàãàÿèõ ïîñòîÿííûìè âäîëü òðàåêòîðèé ïîëåé sgrad(Fi ) è sgrad(qj ). Òîãäà íàáîð ôóíêöèéF1 , x2 , F2 , x4 , . . . , Fk , x2k , Fk+1 , q1 , . . . , Fn , qn−kîïðåäåëÿåò èñêîìûå êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû íà O(ρ). Ëåììà 5 äîêàçàíà 2.Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî èíòåãðàëû F2 , . . . Fn , áóäó÷è de' facto îïðåäåëåííûìèíà òðàíñâåðñàëüíîì ê òîðàì Ëèóâèëëÿ äèñêå Dn , àâòîìàòè÷åñêè îïðåäåëåíû íàíåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U òîðà T0n .
Íóæíûå íàì ñâîéñòâà ýòèõ ôóíêöèé ñâÿçàíûñ ïîâåäåíèåì èõ äèôôåðåíöèàëîâ íà ÿäðàõ ω .  ïðîöåññå äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 5150áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî íà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè ρ ∈ T0n îïðåäåëåíîëîêàëüíîå äåéñòâèå ãðóïïû Rn , ñîõðàíÿþùåå êàê ôîðìó ω , òàê è ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ,ò.å., ñîõðàíÿþùåå ëþáûå èíòåãðàëû èñõîäíîé ñèñòåìû. Ïîýòîìó F2 , .
. . , Fn èìåþòíóæíûå ñâîéñòâà íà âñåé îêðåñòíîñòè U . Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî â êàæäîé òî÷êå y ∈U ∩ Θ âûïîëíåíî dFi (Zy ) = 0, à ôîðìû dF2 , . . . , dFk íåçàâèñèìû íà ïîäïðîñòðàíñòâåΠy . Ïîýòîìó ïëîñêîñòü Πy ∩ Ty T n íàòÿíóòà íà ïðåäåëüíûå íàïðàâëåíèÿ sgrad(Fα ).Ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ïîëÿ sgrad(F1 ) â òî÷êå y ëåæèò â Zy \ Πy , ïîñêîëüêó âêàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ îíî îïðåäåëÿåòñÿ âåêòoðîì ∂/∂x2 (3.26). Îòñþäà ïðÿìîâûòåêàþò âñå óòâåðæäåíèÿ î ïðåäåëüíûõ ïîëîæåíèÿõ (ñîáñòâåííûõ è íåñîáñòâåííûõ)êîñûõ ãðàäèåíòîâ F1 , .
. . , Fn â êàñàòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ê òîðàì Ëèóâèëëÿ. Ýòèíàïðàâëåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ êîììóòèðóþùèìè ïîëÿìè v1 , vα , sgrad(Fi ), òðàåêòîðèèêîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ êâàçèïåðèîäè÷åñêèìè îáìîòêàìè òîðîâ T n ⊂ UÊàê ïðåæäåïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî 2 ≤ α ≤ k è k + 1 ≤ i ≤ n.Èíòåãðàëû Fk+1 , . . . , Fn ìîæíî âûðàçèòü ÿâíûìè ôîðìóëàìè. Çàôèêñèðóåìâëîæåííûé â T0n òîð11T0n−k =e Sk+1× Sk+2× .
. . × Sn1 ,òàê ÷òî âëîæåíèå êàæäîé èç îêðóæíîñòåé Si1 ðåàëèçóåò íåíóëåâîé ýëåìåíò H1 (T0n , Z),è íàáîð ýòèõ ýëåìåíòîâ ìîæåò áûòü äîïîëíåí äî áàçèñà ãðóïïû H1 (T0n , Z). ÒîðT0n−k âûáåðåì òàê, ÷òîáû â êàæäîé ñâîåé òî÷êå y îí áûë òðàíñâåðñàëåí k - ìåðíîéïëîñêîñòè Zy ∩ Ty T0n . Çàôèêñèðóåì íà T0n−k öèêëû γi , ãîìîëîãè÷íûå ëèíèÿì êàêèõíèáóäü óãëîâûõ êîîðäèíàò ϕi . Çàòåì âêëþ÷èì γi â ãëàäêîå ñåìåéñòâî öèêëîâ, êàæäûéèç êîòîðûõ âëîæåí â íåêîòîðûé òîð Ëèóâèëëÿ T n .
Ïóñòü ïðè êàæäîì i ðàçíûåêðèâûå γi ëåæàò â ðàçíûõ òîðàõ T n , è îêðåñòíîñòü U ⊃ T0n ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåìòîðîâ T n ⊃ ∪i γi . Åñëè U äîñòàòî÷íî ìàëà, òî íà êàæäîì T n ⊂ U öèêëû γiîïðåäåëÿþò òîð T n−k ⊂ T n , êîòîðûé â êàæäîé ñâîåé òî÷êå y òðàíñâåðñàëåí â T nïëîñêîñòè Zy ∩ Ty T n .Ïî îòíîñèòåëüíîé ëåììå Ïóàíêàðå â îêðåñòíîñòè èçîòðîïíîãî òîðà T0n ôîðìà ωòî÷íà, ò.å. ω = dβ äëÿ íåêîòîðîé 1-ôîðìû β . ÏîëîæèìZ1Fi =β,k+1≤i≤n .2π γi(3.27)Î÷åâèäíî, ÷òî âñå Fi ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëàìè èñõîäíîãî, ïóàññîíîâà äåéñòâèÿ.Ïðîâåðèì, ÷òî êàæäàÿ èç ýòèõ ôóíêöèé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ dFi (Zy ) ≡ 0.Ãëàäêî ïðîäåôîðìèðóåì êðèâóþ γi , òàê ÷òîáû â ïðîöåññå åå èçîòîïèè ïîëó÷èëàñü2 - ìåðíàÿ ïëåíêà σ , êîòîðàÿ èìååò îäíîìåðíîå ïåðåñå÷åíèå ñ ïðîõîäÿùèì ÷åðåç151ëþáóþ òî÷êó y ∈ γi èíòåãðàëüíûì ìíîãîîáðàçèåì Zy2k ðàñïðåäåëåíèÿ Z . Çàìåòèì,÷òî íà ìíîãîîáðàçèè Zy2k èíòåãðàëû Fk+1 , . .
. , Fn , ïîñòðîåííûå ïðè äîêàçàòåëüñòâåëåììû 5 è de' facto îïðåäåëåííûå íà U ⊃ T0n , ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè, à F1 , . . . , Fkôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìû âáëèçè y . Ïîýòîìó äåôîðìàöèþ êðèâîé γi ìîæíîïðîèçâåñòè òàê, ÷òîáû îíà îñòàâàëàñü âëîæåííîé â òîò èëè èíîé òîð Ëèóâèëëÿ.Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò îïèñàòü: êàê èìåííî â ïðîöåññå äåôîðìàöèè äîëæíû ìåíÿòüñÿçíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ Fα ? Ýòîãî íåäîñòàòî÷íî, ò.ê.
â êàæäîì Zy2k ñóùåñòâóåò åùå kêîîðäèíàò, íî íàñ íå èíòåðåñóåò òî÷íûé âèä äåôîðìàöèè. Èíà÷å ãîâîðÿ íåâàæíî,êàê èìåííî êðèâàÿ γi ñìåùàåòñÿ íà òîðàõ Ëèóâèëëÿ â ïðîöåññå ñâîåé èçîòîïèè.Äëÿ áîëüøåé ÿñíîñòè â âîïðîñå î äåôîðìàöèè çàìåòèì, ÷òî 1-ôîðìó µ (òåîðåìà5) ìîæíî ñ÷èòàòü ãëàäêî çàâèñÿùåé îò òî÷êè y ∈ γi . Ïðè ýòîì 2-ôîðìà dµíåâûðîæäåíà íà 2k − 2 ìåðíîé ïëîñêîñòè Πy ⊂ Zy , ÷òî âìåñòå ñ îðèåíòàöèåé ïîëÿïðåäåëüíûõ íàïðàâëåíèé sgrad(F1 ) (èíöèäåíòíûõ ÿäðàì è íîðìàëüíûõ ïëîñêîñòÿìΠy ), à òàêæå íàïðàâëåíèåì ðîñòà èíòåãðàëà F1 îïðåäåëÿåò íåïðåðûâíîå ïîëåîðèåíòàöèé ïîäìíîãîîáðàçèé Zy2k , ãäå y ∈ γi . Ïîýòîìó â êàæäîì Zy2k ìîæíî âûáðàòüäèñê Dk (y) öåíòðîì y , òðàíñâåðñàëüíûé ñîâìåñòíûì óðîâíÿì èíòåãðàëîâ Fα è ãëàäêîçàâèñÿùèé îò y ∈ γi .
Ïîñêîëüêó ïîëÿ v1 , vα ëåæàò íà ýòèõ ñàìûõ óðîâíÿõ è ëèíåéíîíåçàâèñèìû, íà äèñêàõ Dk (y) ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ïîëå îðèåíòàöèé. Ïîñëåäíååîáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò ïîëíîñòüþ îïðåäåëèòü äåôîðìàöèþ êðèâîé γi ,... åñëè áûâ ýòîì áûëà íåîáõîäèìîñòü.Î÷åâèäíî, ÷òî ìîæíî îáåñïå÷èòü èíöèäåíòíîñòü ïëåíêè σ ñ ëþáûì, íàïåðåäçàäàííûì îòðåçêîì D1 ⊃ Zy2k , ïðîõîäÿùèì ÷åðåç ëþáóþ, ôèêñèðîâàíóþ òî÷êó y ∈ T0n(ñ öåëüþ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè (3.27) ïî íàïðàâëåíèþ D1 ).
Åñëè ïëåíêàσ îêàçàëàñü ëåæàùåé â Θ (ò.å., ìû âû÷èñëÿåì ïðîèçâîäíóþ âäîëü Θ ∩ Zy2k ), òîZω=0.σÅñëè æå σ íå âëîæåíà â Θ, à ëèøü ïåðåñåêàåòñÿ ñ Θ ïî êðèâîé γi , òîRσω = 0ñ òî÷íîñòüþ äî áåñêîíå÷íî ìàëûõ âûñøåãî ïîðÿäêà ïî îòíîøåíèþ ê äåôîðìàöèè.Îòñþäà è èç ôîðìóëû Ñòîêñà ñëåäóåò, ÷òî ïðè äåôîðìàöèè ïåòëè γi âåëè÷èíàFi (3.27) èçìåíèòñÿ íà áåñêîíå÷íî ìàëóþ âûñøåãî ïîðÿäêà ïî îòíîøåíèþ êäåôîðìàöèè. Ïîýòîìó â ëþáîé òî÷êå y ∈ Θ ∩ U ôóíêöèÿ Fi èìååò íóëåâóþïðîèçâîäíóþ âäîëü ëþáîé ëèíèè, êàñàþùåéñÿ ÿäðà Zy .Òåïåðü ïðîâåðèì, ÷òî dFi ëèíåéíî íåçàâèñèìû â êàæäîé òî÷êå òîðà T0n .152Ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìàëàÿ äåôîðìàöèÿδ : T0n−k × Dn−k → U¡¢¡¢òîðà T0n−k = δ T0n−k × {0} , ÷òî êàæäûé òîð δ T0n−k × {b} âëîæåí â íåêîòîðûé òîð¡¢Ëèóâèëëÿ T n è òðàíñâåðñàëåí Zx â êàæäîé òî÷êå x = δ {a} × {b} .
 ðåçóëüòàòåýòîé äåôîðìàöèè ïîëó÷èòñÿ 2n − 2k ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå N 2n−2k , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿñèìïëåêòè÷åñêèì îòíîñèòåëüíî ôîðìû ω|N 2n−2k . Òîðû Ëèóâèëëÿ T n âûñåêàþò íà¡¢íåì ëàãðàíæåâî ñëîåíèå íà òîðû δ T0n−k × {b} , ïîýòîìó ôîðìóëû (3.27) îïðåäåëÿþòâáëèçè òîðà T0n−k ⊂ N 2n−2k êîîðäèíàòû äåéñòâèÿ íà N 2n−2k . Ñëåäîâàòåëüíî,äèôôåðåíöèàëû ôóíêöèé Fi |N 2n−2k ëèíåéíî íåçàâèñèìû â êàæäîé òî÷êå T0n . Ýòèìçàâåðøàåòñÿ ïðîâåðêà ôîðìóë (3.27). Òåîðåìà 7 äîêàçàíà 2 .Ïðèìåð 8.
 èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå Î.È. Áîãîÿâëåíñêîãî ñèñòåìà sgrad(H)êîððåêòíî îïðåäåëåíà íà M =e S 2 × S 1 × R (§2.3). Ìíîãîîáðàçèå Θ =e S 2 × S 1,ÿâëÿþùååñÿ íóëåâûì óðîâíåì èíòåãðàëà f = F1 íà M , ñîñòîèò èç êîíòàêòíûõòî÷åê [14]. Äëÿ êàæäîãî òîðà Ëèóâèëëÿ T 2 ⊂ Θ âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 7ïðè k = 1.
Èç íàéäåííûõ çíà÷åíèé èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà ñëåäóåò, ÷òî äëÿïî÷òè âñåõ T 2 ⊂ Θ èíòåãðàëüíûå êðèâûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïðÿìûõ [sgrad∞± (F1 )], àòàêæå òðàåêòîðèè ïîëÿ sgrad(H) ÿâëÿþòñÿ âñþäó ïëîòíûìè îáìîòêàìè òîðà [14].Ñëåäñòâèå 8 Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 7, äëÿ ëþáîãî òîðà Ëèóâèëëÿ T n ⊂ U ∩ ΘðàñïðåäåëåíèåT n 3 y 7−→ Πy ∩ Ty T nÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìûì. Åñëè k > 1, òî êàæäîå åãî èíòåãðàëüíîå, k − 1ìåðíîå ïîäìíîãîîáðàçèå åñòü ëåæàíäðîâî â íåêîòîðîì, îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííîìêîíòàêòíîììíîãîîáðàçèè(K 2k−1 , Π),êîòîðîåÿâëÿåòñÿèíòåãðàëüíûìïîäìíîãîîáðàçèåì 2k − 1 ìåðíîãî (èíòåãðèðóåìîãî) ðàñïðåäåëåíèÿU ∩ Θ 3 y 7−→ Zy ∩ Ty Θ . ñëåäóþùåì ïðèìåðå êàæäîå èç òàêèõ ëåæàíäðîâûõ ïîäìíîãîîáðàçèé ÿâëÿåòñÿèíúåêòèâíî ïîãðóæåííîé â òîð Ëèóâèëëÿ T 2 ïðÿìîé R (äëÿ ïî÷òè âñåõ T 2 ) èëèîêðóæíîñòüþ S 1 .Ïðèìåð 9. Ââåäåì íà òîðå K = T 3 c óãëîâûìè êîîðäèíàòàìè (ϕ, ψ, θ)ñëåäóþùèå ôîðìû:α = cos ϕ dψ + sin ϕdθ,dα = (sin ϕ dψ − cos ϕ dθ) ∧ dϕ .153Ïðîèçâîëüíîå íóëåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî Πρ ôîðìû α íàòÿíóòî íà âåêòîðû∂,∂ϕv = sin ϕ∂∂− cos ϕ.∂ψ∂θÒîãäà dα(v, ∂/∂ϕ) = 1 6= 0 , ñëåäîâàòåëüíî ôîðìà dα íåâûðîæäåííà íà Πρ .
Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî α ÿâëÿåòñÿ êîíòàêòíîé ôîðìîé íà K . Ôîðìà ω = d(t2 π ∗ α) îïðåäåëÿåòíà M 4 = K × R(t) còðóêòóðó ñèìïëåêòè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ ñ îñîáåííîñòüþ, ãäåπ : M 4 → K åñòü ïðîåêöèÿ íà ñîìíîæèòåëü. Ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ = K × {0} ñîñòîèòèç êîíòàêòíûõ òî÷åê, â êàæäîé èç êîòîðûõ ω = 0.
Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f (t, ϕ, ψ, θ)èìååìsgrad(f ) = ∂f− 1t cos ϕ ∂ψ− 1t sin ϕ ∂f,∂θ∂f2sin ϕ ∂ψ− t22 cos ϕ ∂f,t2∂θ∂f1cos ϕ ∂f− t22 sin ϕ ∂ϕ,t∂t∂f1sin ϕ ∂f+ t22 cos ϕ ∂ϕ.t∂tÏàðà êîììóòèðóþùèõ ôóíêöèé F1 = t è F2 = sin ϕ îïðåäåëÿåò ïóàññîíîâî äåéñòâèåãðóïïû R2 íà M 4 . Äëÿ êàæäîãî òîðà Ëèóâèëëÿ t = 0, ϕ = const âûïîëíåíû óñëîâèÿ∞òåîðåìû 7 ïðè k = 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
