Главная » Просмотр файлов » Симплектические многообразия с контактными особенностями

Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 31

Файл №1097875 Симплектические многообразия с контактными особенностями (Симплектические многообразия с контактными особенностями) 31 страницаСимплектические многообразия с контактными особенностями (1097875) страница 312019-03-13СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

. , Fk . Ñîõðàíÿÿîáîçíà÷åíèÿ, ïðîäîëæèì êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè íà âñþ îêðåñòíîñòü O(ρ), ïîëàãàÿèõ ïîñòîÿííûìè âäîëü òðàåêòîðèé ïîëåé sgrad(Fi ) è sgrad(qj ). Òîãäà íàáîð ôóíêöèéF1 , x2 , F2 , x4 , . . . , Fk , x2k , Fk+1 , q1 , . . . , Fn , qn−kîïðåäåëÿåò èñêîìûå êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû íà O(ρ). Ëåììà 5 äîêàçàíà 2.Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî èíòåãðàëû F2 , . . . Fn , áóäó÷è de' facto îïðåäåëåííûìèíà òðàíñâåðñàëüíîì ê òîðàì Ëèóâèëëÿ äèñêå Dn , àâòîìàòè÷åñêè îïðåäåëåíû íàíåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U òîðà T0n .

Íóæíûå íàì ñâîéñòâà ýòèõ ôóíêöèé ñâÿçàíûñ ïîâåäåíèåì èõ äèôôåðåíöèàëîâ íà ÿäðàõ ω .  ïðîöåññå äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 5150áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî íà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè ρ ∈ T0n îïðåäåëåíîëîêàëüíîå äåéñòâèå ãðóïïû Rn , ñîõðàíÿþùåå êàê ôîðìó ω , òàê è ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ,ò.å., ñîõðàíÿþùåå ëþáûå èíòåãðàëû èñõîäíîé ñèñòåìû. Ïîýòîìó F2 , .

. . , Fn èìåþòíóæíûå ñâîéñòâà íà âñåé îêðåñòíîñòè U . Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî â êàæäîé òî÷êå y ∈U ∩ Θ âûïîëíåíî dFi (Zy ) = 0, à ôîðìû dF2 , . . . , dFk íåçàâèñèìû íà ïîäïðîñòðàíñòâåΠy . Ïîýòîìó ïëîñêîñòü Πy ∩ Ty T n íàòÿíóòà íà ïðåäåëüíûå íàïðàâëåíèÿ sgrad(Fα ).Ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ïîëÿ sgrad(F1 ) â òî÷êå y ëåæèò â Zy \ Πy , ïîñêîëüêó âêàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ îíî îïðåäåëÿåòñÿ âåêòoðîì ∂/∂x2 (3.26). Îòñþäà ïðÿìîâûòåêàþò âñå óòâåðæäåíèÿ î ïðåäåëüíûõ ïîëîæåíèÿõ (ñîáñòâåííûõ è íåñîáñòâåííûõ)êîñûõ ãðàäèåíòîâ F1 , .

. . , Fn â êàñàòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ê òîðàì Ëèóâèëëÿ. Ýòèíàïðàâëåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ êîììóòèðóþùèìè ïîëÿìè v1 , vα , sgrad(Fi ), òðàåêòîðèèêîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ êâàçèïåðèîäè÷åñêèìè îáìîòêàìè òîðîâ T n ⊂ UÊàê ïðåæäåïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî 2 ≤ α ≤ k è k + 1 ≤ i ≤ n.Èíòåãðàëû Fk+1 , . . . , Fn ìîæíî âûðàçèòü ÿâíûìè ôîðìóëàìè. Çàôèêñèðóåìâëîæåííûé â T0n òîð11T0n−k =e Sk+1× Sk+2× .

. . × Sn1 ,òàê ÷òî âëîæåíèå êàæäîé èç îêðóæíîñòåé Si1 ðåàëèçóåò íåíóëåâîé ýëåìåíò H1 (T0n , Z),è íàáîð ýòèõ ýëåìåíòîâ ìîæåò áûòü äîïîëíåí äî áàçèñà ãðóïïû H1 (T0n , Z). ÒîðT0n−k âûáåðåì òàê, ÷òîáû â êàæäîé ñâîåé òî÷êå y îí áûë òðàíñâåðñàëåí k - ìåðíîéïëîñêîñòè Zy ∩ Ty T0n . Çàôèêñèðóåì íà T0n−k öèêëû γi , ãîìîëîãè÷íûå ëèíèÿì êàêèõíèáóäü óãëîâûõ êîîðäèíàò ϕi . Çàòåì âêëþ÷èì γi â ãëàäêîå ñåìåéñòâî öèêëîâ, êàæäûéèç êîòîðûõ âëîæåí â íåêîòîðûé òîð Ëèóâèëëÿ T n .

Ïóñòü ïðè êàæäîì i ðàçíûåêðèâûå γi ëåæàò â ðàçíûõ òîðàõ T n , è îêðåñòíîñòü U ⊃ T0n ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåìòîðîâ T n ⊃ ∪i γi . Åñëè U äîñòàòî÷íî ìàëà, òî íà êàæäîì T n ⊂ U öèêëû γiîïðåäåëÿþò òîð T n−k ⊂ T n , êîòîðûé â êàæäîé ñâîåé òî÷êå y òðàíñâåðñàëåí â T nïëîñêîñòè Zy ∩ Ty T n .Ïî îòíîñèòåëüíîé ëåììå Ïóàíêàðå â îêðåñòíîñòè èçîòðîïíîãî òîðà T0n ôîðìà ωòî÷íà, ò.å. ω = dβ äëÿ íåêîòîðîé 1-ôîðìû β . ÏîëîæèìZ1Fi =β,k+1≤i≤n .2π γi(3.27)Î÷åâèäíî, ÷òî âñå Fi ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëàìè èñõîäíîãî, ïóàññîíîâà äåéñòâèÿ.Ïðîâåðèì, ÷òî êàæäàÿ èç ýòèõ ôóíêöèé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ dFi (Zy ) ≡ 0.Ãëàäêî ïðîäåôîðìèðóåì êðèâóþ γi , òàê ÷òîáû â ïðîöåññå åå èçîòîïèè ïîëó÷èëàñü2 - ìåðíàÿ ïëåíêà σ , êîòîðàÿ èìååò îäíîìåðíîå ïåðåñå÷åíèå ñ ïðîõîäÿùèì ÷åðåç151ëþáóþ òî÷êó y ∈ γi èíòåãðàëüíûì ìíîãîîáðàçèåì Zy2k ðàñïðåäåëåíèÿ Z . Çàìåòèì,÷òî íà ìíîãîîáðàçèè Zy2k èíòåãðàëû Fk+1 , . .

. , Fn , ïîñòðîåííûå ïðè äîêàçàòåëüñòâåëåììû 5 è de' facto îïðåäåëåííûå íà U ⊃ T0n , ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè, à F1 , . . . , Fkôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìû âáëèçè y . Ïîýòîìó äåôîðìàöèþ êðèâîé γi ìîæíîïðîèçâåñòè òàê, ÷òîáû îíà îñòàâàëàñü âëîæåííîé â òîò èëè èíîé òîð Ëèóâèëëÿ.Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò îïèñàòü: êàê èìåííî â ïðîöåññå äåôîðìàöèè äîëæíû ìåíÿòüñÿçíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ Fα ? Ýòîãî íåäîñòàòî÷íî, ò.ê.

â êàæäîì Zy2k ñóùåñòâóåò åùå kêîîðäèíàò, íî íàñ íå èíòåðåñóåò òî÷íûé âèä äåôîðìàöèè. Èíà÷å ãîâîðÿ íåâàæíî,êàê èìåííî êðèâàÿ γi ñìåùàåòñÿ íà òîðàõ Ëèóâèëëÿ â ïðîöåññå ñâîåé èçîòîïèè.Äëÿ áîëüøåé ÿñíîñòè â âîïðîñå î äåôîðìàöèè çàìåòèì, ÷òî 1-ôîðìó µ (òåîðåìà5) ìîæíî ñ÷èòàòü ãëàäêî çàâèñÿùåé îò òî÷êè y ∈ γi . Ïðè ýòîì 2-ôîðìà dµíåâûðîæäåíà íà 2k − 2 ìåðíîé ïëîñêîñòè Πy ⊂ Zy , ÷òî âìåñòå ñ îðèåíòàöèåé ïîëÿïðåäåëüíûõ íàïðàâëåíèé sgrad(F1 ) (èíöèäåíòíûõ ÿäðàì è íîðìàëüíûõ ïëîñêîñòÿìΠy ), à òàêæå íàïðàâëåíèåì ðîñòà èíòåãðàëà F1 îïðåäåëÿåò íåïðåðûâíîå ïîëåîðèåíòàöèé ïîäìíîãîîáðàçèé Zy2k , ãäå y ∈ γi . Ïîýòîìó â êàæäîì Zy2k ìîæíî âûáðàòüäèñê Dk (y) öåíòðîì y , òðàíñâåðñàëüíûé ñîâìåñòíûì óðîâíÿì èíòåãðàëîâ Fα è ãëàäêîçàâèñÿùèé îò y ∈ γi .

Ïîñêîëüêó ïîëÿ v1 , vα ëåæàò íà ýòèõ ñàìûõ óðîâíÿõ è ëèíåéíîíåçàâèñèìû, íà äèñêàõ Dk (y) ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ïîëå îðèåíòàöèé. Ïîñëåäíååîáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò ïîëíîñòüþ îïðåäåëèòü äåôîðìàöèþ êðèâîé γi ,... åñëè áûâ ýòîì áûëà íåîáõîäèìîñòü.Î÷åâèäíî, ÷òî ìîæíî îáåñïå÷èòü èíöèäåíòíîñòü ïëåíêè σ ñ ëþáûì, íàïåðåäçàäàííûì îòðåçêîì D1 ⊃ Zy2k , ïðîõîäÿùèì ÷åðåç ëþáóþ, ôèêñèðîâàíóþ òî÷êó y ∈ T0n(ñ öåëüþ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè (3.27) ïî íàïðàâëåíèþ D1 ).

Åñëè ïëåíêàσ îêàçàëàñü ëåæàùåé â Θ (ò.å., ìû âû÷èñëÿåì ïðîèçâîäíóþ âäîëü Θ ∩ Zy2k ), òîZω=0.σÅñëè æå σ íå âëîæåíà â Θ, à ëèøü ïåðåñåêàåòñÿ ñ Θ ïî êðèâîé γi , òîRσω = 0ñ òî÷íîñòüþ äî áåñêîíå÷íî ìàëûõ âûñøåãî ïîðÿäêà ïî îòíîøåíèþ ê äåôîðìàöèè.Îòñþäà è èç ôîðìóëû Ñòîêñà ñëåäóåò, ÷òî ïðè äåôîðìàöèè ïåòëè γi âåëè÷èíàFi (3.27) èçìåíèòñÿ íà áåñêîíå÷íî ìàëóþ âûñøåãî ïîðÿäêà ïî îòíîøåíèþ êäåôîðìàöèè. Ïîýòîìó â ëþáîé òî÷êå y ∈ Θ ∩ U ôóíêöèÿ Fi èìååò íóëåâóþïðîèçâîäíóþ âäîëü ëþáîé ëèíèè, êàñàþùåéñÿ ÿäðà Zy .Òåïåðü ïðîâåðèì, ÷òî dFi ëèíåéíî íåçàâèñèìû â êàæäîé òî÷êå òîðà T0n .152Ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìàëàÿ äåôîðìàöèÿδ : T0n−k × Dn−k → U¡¢¡¢òîðà T0n−k = δ T0n−k × {0} , ÷òî êàæäûé òîð δ T0n−k × {b} âëîæåí â íåêîòîðûé òîð¡¢Ëèóâèëëÿ T n è òðàíñâåðñàëåí Zx â êàæäîé òî÷êå x = δ {a} × {b} .

 ðåçóëüòàòåýòîé äåôîðìàöèè ïîëó÷èòñÿ 2n − 2k ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå N 2n−2k , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿñèìïëåêòè÷åñêèì îòíîñèòåëüíî ôîðìû ω|N 2n−2k . Òîðû Ëèóâèëëÿ T n âûñåêàþò íà¡¢íåì ëàãðàíæåâî ñëîåíèå íà òîðû δ T0n−k × {b} , ïîýòîìó ôîðìóëû (3.27) îïðåäåëÿþòâáëèçè òîðà T0n−k ⊂ N 2n−2k êîîðäèíàòû äåéñòâèÿ íà N 2n−2k . Ñëåäîâàòåëüíî,äèôôåðåíöèàëû ôóíêöèé Fi |N 2n−2k ëèíåéíî íåçàâèñèìû â êàæäîé òî÷êå T0n . Ýòèìçàâåðøàåòñÿ ïðîâåðêà ôîðìóë (3.27). Òåîðåìà 7 äîêàçàíà 2 .Ïðèìåð 8.

 èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå Î.È. Áîãîÿâëåíñêîãî ñèñòåìà sgrad(H)êîððåêòíî îïðåäåëåíà íà M =e S 2 × S 1 × R (§2.3). Ìíîãîîáðàçèå Θ =e S 2 × S 1,ÿâëÿþùååñÿ íóëåâûì óðîâíåì èíòåãðàëà f = F1 íà M , ñîñòîèò èç êîíòàêòíûõòî÷åê [14]. Äëÿ êàæäîãî òîðà Ëèóâèëëÿ T 2 ⊂ Θ âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 7ïðè k = 1.

Èç íàéäåííûõ çíà÷åíèé èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà ñëåäóåò, ÷òî äëÿïî÷òè âñåõ T 2 ⊂ Θ èíòåãðàëüíûå êðèâûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïðÿìûõ [sgrad∞± (F1 )], àòàêæå òðàåêòîðèè ïîëÿ sgrad(H) ÿâëÿþòñÿ âñþäó ïëîòíûìè îáìîòêàìè òîðà [14].Ñëåäñòâèå 8 Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 7, äëÿ ëþáîãî òîðà Ëèóâèëëÿ T n ⊂ U ∩ ΘðàñïðåäåëåíèåT n 3 y 7−→ Πy ∩ Ty T nÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìûì. Åñëè k > 1, òî êàæäîå åãî èíòåãðàëüíîå, k − 1ìåðíîå ïîäìíîãîîáðàçèå åñòü ëåæàíäðîâî â íåêîòîðîì, îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííîìêîíòàêòíîììíîãîîáðàçèè(K 2k−1 , Π),êîòîðîåÿâëÿåòñÿèíòåãðàëüíûìïîäìíîãîîáðàçèåì 2k − 1 ìåðíîãî (èíòåãðèðóåìîãî) ðàñïðåäåëåíèÿU ∩ Θ 3 y 7−→ Zy ∩ Ty Θ . ñëåäóþùåì ïðèìåðå êàæäîå èç òàêèõ ëåæàíäðîâûõ ïîäìíîãîîáðàçèé ÿâëÿåòñÿèíúåêòèâíî ïîãðóæåííîé â òîð Ëèóâèëëÿ T 2 ïðÿìîé R (äëÿ ïî÷òè âñåõ T 2 ) èëèîêðóæíîñòüþ S 1 .Ïðèìåð 9. Ââåäåì íà òîðå K = T 3 c óãëîâûìè êîîðäèíàòàìè (ϕ, ψ, θ)ñëåäóþùèå ôîðìû:α = cos ϕ dψ + sin ϕdθ,dα = (sin ϕ dψ − cos ϕ dθ) ∧ dϕ .153Ïðîèçâîëüíîå íóëåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî Πρ ôîðìû α íàòÿíóòî íà âåêòîðû∂,∂ϕv = sin ϕ∂∂− cos ϕ.∂ψ∂θÒîãäà dα(v, ∂/∂ϕ) = 1 6= 0 , ñëåäîâàòåëüíî ôîðìà dα íåâûðîæäåííà íà Πρ .

Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî α ÿâëÿåòñÿ êîíòàêòíîé ôîðìîé íà K . Ôîðìà ω = d(t2 π ∗ α) îïðåäåëÿåòíà M 4 = K × R(t) còðóêòóðó ñèìïëåêòè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ ñ îñîáåííîñòüþ, ãäåπ : M 4 → K åñòü ïðîåêöèÿ íà ñîìíîæèòåëü. Ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ = K × {0} ñîñòîèòèç êîíòàêòíûõ òî÷åê, â êàæäîé èç êîòîðûõ ω = 0.

Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f (t, ϕ, ψ, θ)èìååìsgrad(f ) = ∂f− 1t cos ϕ ∂ψ− 1t sin ϕ ∂f,∂θ∂f2sin ϕ ∂ψ− t22 cos ϕ ∂f,t2∂θ∂f1cos ϕ ∂f− t22 sin ϕ ∂ϕ,t∂t∂f1sin ϕ ∂f+ t22 cos ϕ ∂ϕ.t∂tÏàðà êîììóòèðóþùèõ ôóíêöèé F1 = t è F2 = sin ϕ îïðåäåëÿåò ïóàññîíîâî äåéñòâèåãðóïïû R2 íà M 4 . Äëÿ êàæäîãî òîðà Ëèóâèëëÿ t = 0, ϕ = const âûïîëíåíû óñëîâèÿ∞òåîðåìû 7 ïðè k = 2.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее