Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

Пусть ⊂ — кольцо коммутирующих ДО, удовлетворяющееусловиям теорем 18 и 24. Тогда тройка (, , ℒ) из теоремы 18 изоморфна тройке(, , ℱ) (части геометрических данных) из теоремы 24. В частности, пучок ℱ когерентен. В этом случае также имеет место равенствоrk(ℱ)( 2 ) = 2 = 2 ,где — ранг данных (, , ℱ), соответствующих кольцу .Доказательство Напомним, что поверхность и дивизор из теоремы 24 строятся по гра-дуированному кольцу ˜, которое определяется по кольцу ⊂ [[]](()) (ср.

раздел 3.5.3).Таким образом, имеется естественный изоморфизм : → , ↦→ 1 ( −1 ), который˜ ≃ ˜, откуда мы получаем изоморфизм поверхностей и дивииндуцирует изоморфизм зоров.Более того, заметим, что отображение : → , ↦→ 1 ( −1 mod 1 + 2 )дает изоморфизм -модуля и -модуля , поскольку −1 — подкольцо псевдодифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, см. доказательство теоремы 21, и() = 1 ( −1mod 1 + 2 ) = 1 ( −1 ( −1 ) mod 1 + 2 ) == 1 ( −1 mod 1 + 2 )1 ( −1 ) = ()().Таким образом, индуцирует изоморфизм пучков ℒ и ℱ , и этот изоморфизм согласованс изоморфизмом поверхностей.Последее утверждение следует из доказательства теоремы 24 и замечания 30.Непосредственным следствием теоремы 32 являетсяПредложение 27.

Если пучок ℱ геометрических данных (, , ℱ) (см. также определе-ние 45) когерентен, то он Коэно-Маколеев вдоль кривой . В частности, ℱ являетсясвободным -модулем.Доказательство Так как пучок ℱ без кручения, имеем dim ℱ = dim( /Ann (ℱ )) = 2для любой точки ∈ . Таким образом, нужно показать, что depth ℱ = 2.В доказательстве теоремы 32 мы показали, что для любой ∈ существует регулярная последовательность в , , происходящая из последовательности / , / в˜( ) для некоторого , где / ∈/ ( ) или, эквивалентно, ′ () = −.

Покажем, что этапоследовательность регулярна также для ℱ .˜ ). Таким образом, достаточно доказать,Как мы уже напоминали, ℱ ≃ Proj(˜ ( ) /( / )˜ ( ) . Пусть =что элемент / не является делителем нуля в модуле ˜ ( ) — такой элемент, что ∈˜ ( ) . Заметим, что последнее условие / ∈ / ( / )161эквивалентно условию () = − + , где 0 ≤ < (см. аналогичные аргументы вдоказательстве теоремы). Но тогда () = −( + ) + , откуда по той же причине(︂ )︂ ˜ ( ) .· ∈/Значит, / — не делитель нуля и depth ℱ = 2 для любой ∈ .Последнее утверждение следует из [91, ch.

6, § 16, exer. 4], поскольку — регулярнаяточка.Оказывается, что ранг пучка ℱ (в случае когда он когерентен) всегда больше либоравен рангу данных (, , ℱ). Равенство рангов — особо хороший случай, который описывается следующим критерием.Предложение 28.

Пусть (, , , ℱ, , ) — геометрические данные ранга из опре-деления 45. Пучок ℱ — когерентный пучок ранга тогда и только тогда, когда индекссамопересечения дивизора ( 2 ) = .˜ ). ПоДоказательство Как мы уже напоминали в доказательствах выше, ℱ ≃ Proj(этому, если пучок ℱ когерентен ранга , то в силу [27, ch.II, ex. 5.9] 0 (, ℱ( ′ )) ≃ ≃ [, ]/(, )+1 для ≫ 0. Тогда, также как в доказательстве теоремы 18, пункт4, получаем( + 1) · ( + 2)for ≫ 0,(, ℱ( ′ )) =2и из формулы (2.2) следует, что 2 = .Обратно, пусть индекс самопересечения ( 2 ) = . Пусть ′ = — очень обильный дивизор Картье. Тогда для любого когерентного пучка ℱ ′ коэффициент при степени2 многочлена (, ℱ ′ ( ′ )) равен 2 (rk ℱ ′ )/2 (см. формулу (2.2)).

Рассмотрим пучок˜ ′ ), где ˜ ′ — градуированный ˜-подмодуль в ˜ , порожденный элементамиℱ ′ = Proj(из для достаточно больших . Заметим, что rk ℱ ′ ≥ . Действительно, существуютэлементы 1 , . . . , в с (1 ) = −1, . . . , ( ) = − (поскольку для = , ≫ 0,по определению 45 и разделу 3.5.3 имеем ≃ 0 (, ℱ( ′ )) ≃ [[, ]]/(, )+1 и = − 0 (, ℱ( ′ )), где пространство рассматривается как подпространство в[[, ]] посредством вложения из определения 45, пункт 6), и следовательно, они линейно˜ ′ , и так как Proj —независимы над ˜.

Таким образом, существует вложение ˜⊕ ˓→ ⊕˜ ′ ), откудаточный функтор (см. [63, prop. 2.5.4]), мы получаем вложение ˓→ Proj(˜ ′ ) на имеет рангrk ℱ ′ ≥ . Те же рассуждения показывают, что пучок ℱ ′ | = Proj(gr не меньше .С другой стороны, для больших мы имеем′≤ dim [, ]/(, )+1 ,(, ℱ ′ ( ′ )) = dim ′так как ⊂ ≃ [, ]/(, )+1 , см. раздел 3.5.3. Таким образом, коэффициент пристепени 2 многочлена (, ℱ ′ ( ′ )) не больше чем 2 2 /2.

Следовательно, rk ℱ ′ = иrk ℱ ′ | = . Далее, (, ℱ ′ | ( ′ )) = 2 2 + (ℱ ′ ), где (ℱ ′ ) ∈ Z.Рассмотрим теперь два таких когерентных пучка ℱ1′ ⊂ ℱ2′ ⊂ ℱ . Тогда на имеютсяточные последовательности0 → ( ′ ) → ℱ1′ | ( ′ ) → ℱ2′ | ( ′ ) → ( ′ ) → 0для всех , где и — когерентные пучки с конечным носителем. Следовательно, 1 (, ℱ1′ | ( ′ )) = 1 (, (ℱ1′ /)| ( ′ )),162и для всех ≫ 0 таких что 1 (, (ℱ1′ /)| ( ′ )) = 0 имеем 1 (, ℱ2′ | ( ′ )) = 0.

Фиксируем одно такое 0 . Заметим, что это число зависит лишь от ℱ1′ , и не зависит от ℱ2′ .Таким образом, для всех ≥ 0 и для всех когерентных пучков ℱ2′ ⊃ ℱ1′ имеем˜ ′ ), где ˜′ — 1 (, ℱ2′ | ( ′ )) = 0. Возьмем > 0 и рассмотрим пучок ℱ2′ = Proj(˜ , порожденный элементами из . Тогда получаемградуированный ˜-подмодуль в (, ℱ2′ | ( ′ )) = dim 0 (, ℱ2′ | ( ′ )) = 2 2 + (ℱ2′ )для некоторого числа (ℱ2′ ) ∈ Z.˜ ′ ()) ≃ Proj(˜ ′ () ()) в силу [63,Заметим, что для всех мы имеем Proj(˜ ′ () эквивалентен ⊕∞ ′ ), и Proj(˜ ′ () ()) ≃prop. 2.4.7] (напомним, что =0 +˜ ′ () )() ≃ ℱ ′ ( ′ ) по [27, ch.

II, prop. 5.12]. Таким образом,Proj(2˜ ′ ())). 0 (, ℱ2′ ( ′ )) = 0 (, Proj(Лемма 44. (ср. лемму 25) Имеются естественные изоморфизмы˜ ′ ())) = ′ . 0 (, Proj(′˜ ′ ()0 ⊂ 0 (, Proj(˜ ′ ())).=Доказательство По определению, имеем ′˜ ′ ())), ∈˜ ′ ())( ) ,Пусть ∈ 0 (, Proj(/ . Тогда = (1 , . . . , ), где ∈ (и ∈ ˜ — порождающие пространства ˜ , такие что 1 = , = ′ (где ′ ∈ ) и = в ˜ .′˜1 /1 и 1 > 0, так как ∈/ .˜ = ′ , ′ ∈ ′ + ), 1 = Имеем = ˜ / (где ′′′˜˜˜Действительно, если ˜1 ∈ ()0 = , то = ˜1 , так как — -модуль без кручения,противоречие. Таким образом,′1 ∈ ′ 1 + ∖′ 1 +−1 .Тогда для ′ ∈ ∖−1 (такая порождающая существует, поскольку все элементыиз −1 ⊂ лежат в идеале, определяющем дивизор ) имеем ′ ∈ ∖ −1 , иследовательно ′1 ′ ∈ ′ 1 + + ∖ ′ 1 + +−1 .

С другой стороны, имеется равенство˜ 1 , следовательно ′1 ′ = ′ , но˜1 = ′ ∈ ′ + ⊂ ′ 1 + +−1 ,′противоречие. Таким образом, ∈ .Теперь имеем 0 (, ℱ2′ | ( ′ )) ⊃ 0 (, ℱ2′ ( ′ ))/ 0 (, ℱ2′ (( − 1) ′ )).По лемме и по определению пучка ℱ2′ имеем′′ 0 (, ℱ2′ ( ′ ))/ 0 (, ℱ2′ (( − 1) ′ )) = /(−1)= /(−1) .Таким образом, получаем (ℱ2′ ) ≥ dim( /(−1) ) − 2 2 .С другой стороны, для больших ′′/(−1)⊂ /(−1) 0 (, ℱ2′ | ( ′ )) = 0 (, ℱ2′ ( ′ ))/ 0 (, ℱ2′ (( − 1) ′ )) = и dim ( /(−1) ) − 2 2 = const = для всех ≥ 0. Следовательно,(ℱ2′ ) = dim 0 (, ℱ2′ | ( ′ )) − 2 2 ≤ .′′˜′ =˜,Отсюда (ℱ2′ ) = , /(−1)= /(−1) для всех ≥ 0, и следовательно ′т.е. ℱ = ℱ2 — когерентный пучок ранга на .163Замечание 71.

Пучок ℱ из геометрических данных ранга может не быть когерентным,как показывает следующий пример. Пусть = ⟨ − |, ≥ 0, − ≤ 0⟩ и = [−2 , −2 ]— два подпространства в [[]](()). Тогда легко видеть, что — не конечно порожденный -модуль. Таким образом, геометрические данные, построенные по этим подпространствам (см. теорему 23) будут иметь квазикогерентный, но не когерентный пучок ℱ .Когерентность пучка ℒ, построенного по кольцу ДО в теореме 18, следовала из специальных условий на кольцо (см. пункт 1 этой теоремы). Эти условия могут не выполняться для общего 1-квази-эллиптического вполне допустимого кольца (см. теорему 24),даже если это кольцо является кольцом ДО, как показывает пример выше: действительно,кольцо выше соответствует кольцу = [22 , 1 2 ], см.

теорему 21. Тем не менее, предложение выше гарантирует, что для поверхности и дивизора, удовлетворяющих некоторымгеометрическим условиям, пучок ℱ должен быть когерентным.Замечание 72. Ранг пучка ℱ из геометрических данных в определении 45 может бытьбольше чем ранг данных, даже если пучок ℱ когерентен (как это легко следует из рассуждений в предложении 28, ранг ℱ не может быть меньше, чем ранг данных).Например, рассмотрим кольцо ДО = [2 , 1 2 + 12 ].

Оно удовлетворяет условиямтеоремы 18. Это также вполне допустимое кольцо, = 1, так что ранг соответствующихгеометрических данных равен 1 (см. теорему 23). С другой стороны, для больших мыимеем dim ∼ 2 /4 и dim ∼ 2 /2 (в обозначении теоремы 18). Следовательно,rk ℱ = 2 (см. доказательство теоремы 18).Таким образом, в общем случае имеем rk ℱ ≥ , где — ранг данных.5.3.2Отображение ограничения и Коэно-Маколеевость спектрального пучкаДля дальнейшего изучения свойств спектральных пучков, а также для построенияявных примеров спектральных данных и соответствующих им колец коммутирующих операторов определяется расширение функтора, строящего по геометрическим данным соответствующую им пару Шура, на более широкий класс пучков.Пусть , , ′ , и , ⊂ (для вложения или для морфизма : → )обозначают то же, что и в разделе 3.5.2.

Пусть также ⊂ [[]](()) = [−1 ] строится также как и в разделе 3.5.3. Начнем со следующего замечания.˜ дляЗамечание 73. Заметим, что мы можем построить похожие пространства , любых пучков без кручения ℱ (а не только для пучков из геометрических данных), длякоторых дополнительно определено вложение -модулей ℱ ˓→ [[, ]]. Наиболее важный для нас пример таких пучков с вложением — когерентные Коэно-Маколеевы пучкибез кручения ранга один (или даже более общие когерентные пучки ℱ локально свободныеранга один в точке ), где мы дополнительно предполагаем, что ранг данных = 1 (т.е.вложение задает изоморфизм , ≃ ).В этом случае слой ℱ — свободный -модуль. Пусть ′ : ℱ ≃ — некотораятривиализация; мы можем определить вложение как композицию тривиализации ′ сизоморфизмом . Заметим, что при выборе другой тривиализации пучка ℱ новое пространство будет отличаться от старого умножением на элемент ∈ [[, ]]* , а кольцо не изменится.

Отметим также, что свойство ≃ 0 (, ℱ( ′ )) может не выполнятьсядля произвольных пучков.В дальнейшем нам понадобятся следующие обозначения. Если ⊂ [−1 ] — модуль, то определена фильтрация = − ∩ (совместимая с фильтрацией на ),и как следствие определены ˜-модули˜˜ = ˜+ ),()(()˜ () (˜ () = ˜ + )164и квазикогерентные пучки на :˜ℬ = Proj(()),˜ ()),ℱ = Proj(причем ℬ ⊂ ℬ+1 , ℱ ⊂ ℱ+1 . Заметим, что1. ℬ ≃ ( ′ ), и если происходит из геометрических данных, то ℱ ≃ ℱ( ′ ).В общем случае ℱ ≃ ℱ0 ( ′ ), поскольку по [63, prop.2.4.7] имеем ℱ =˜ ()) ≃ Proj(˜ () ()) и Proj(˜ () ()) ≃ Proj(˜ () )() ≃ ℱ0 ( ′ ) для люProj(бого .2. Если ℱ — квазикогерентный пучок с вложением ℱ ⊂ * (эквивалентно, ℱ ⊂ ),индуцирующим вложение = 0 (∖, ℱ) ⊂ [−1 ], то ℱ( ′ ) ⊆ ℱ .3.

Если ℱ — квазикогерентный пучок без кручения, и если ℱ — свободный модульранга один, то существует вложение ℱ ⊂ (определенное выбором образующегопри изоморфизме ℱ ≃ , ⊂ ). Получающиеся пучки ℱ не зависят от выбораобразующего с точностью до изоморфизма, согласованного с вложениями ℱ ⊂ ℱ ⊂ℱ+1 .4.

Характеристики

Список файлов диссертации