Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Определим пучок порождающих сечений ℬ(ℱ) (пучок множеств) по правилуℬ(ℱ)( ) = { сечения ∈ ℱ( ) с ℱ| = | · },где открыто в × . Имеем ℬ(ℱ)( ) = ∅ или (после выбора одной порождающей)ℬ(ℱ)| ≃ * | . Таким образом, ℬ(ℱ) — торсор над пучком групп * .Напомним, что для любого топологического пространства мы обозначили черезZ пучок локально постоянных функций на со значениями в Z.Определение 73. Пусть ℬ — категория аффинных нетеровых -схем. Определим кон-′̃︂травариантный функтор X̊∞ из ℬ в категорию абелевых групп:′def̃︂X̊∞ () = {группа классов изоморфных пар (ℱ, )},где ℱ ∈ (X̊∞, ), и : ℬ(ℱ) → Z× — морфизм пучков множеств, такой что()() = ord ()() + ()()для всех ∈ * ( ), ∈ ℬ(ℱ)( ), открытых ⊂ × и ∈ .
Две пары (ℱ, ) и (ℱ ′ , ′ )изоморфны, если существует изоморфизм пучков -модулей ℱ и ℱ ′ , согласованный с, ′ . Кроме того,(ℱ1 , 1 ) ⊗ (ℱ2 , 2 ) = (ℱ1 ⊗ ℱ2 , ),где (1 ⊗ 2 ) = 1 (1 ) + 2 (2 ).Пример 22. Любой локально свободный пучок ранга 1 на X̊∞ обладает фильтрацией(см. пример 21), т.e.
этот пучок — пучок без кручения на X̊∞ в смысле определения 51.Замена базы дает некоторый пучок ℱ ∈ (X̊∞, ), который также обладает фильтрацией.Определим морфизм порядка : ℬ(ℱ) → × (Z) (где × — пучок всех функций на × со значениями в Z) по правилу()() = max{| | ∈ (ℱ ), },где ∈ ℬ(ℱ)( ) для открытого ⊂ × , ∈ , = (), — открытое множествов , которое получается из заменой базы → , ℱ — пучок после замены базы.145Легко проверить, что — морфизм пучков множеств.
Более того, согласно разделу 4.2.1он пропускается через подпучок Z× ⊂ × . Кроме того, имеем()() = ord()() + ()()для всех ∈ * ( ), поскольку ord — морфизм пучков групп по предложению 19. Таким′̃︂образом, (ℱ, ) ∈ (X̊∞, ).Определим еще пучок групп на × по правилу:def∐︁ℑ = Ker (ord : * → Z× ) = *,0 ,(4.37) 0где последнее равенство следует из предложения 19.̃︂Определение 74. Определим контравариантный функтор X̊∞ из ℬ в категорию абелевых групп:def̃︂X̊∞ () = 1 ( × , ℑ ),где отображения ограничения — композиции естественных отображений 1 ( × , ℑ ) → 1 ( × , ( × )* (ℑ ′ )) → 1 ( × ′ , ℑ ′ ),где второе отображение — вложение из спектральной последовательности Картана-Лередля морфизма : ′ → .Имеется очевидный морфизм функторов′̃︂̃︂X̊∞ −→ X̊∞ ,такой что для любой ∈ Ob(ℬ) имеется вложение абелевых групп:′̃︂̃︂X̊∞ () ˓→ X̊∞ ().Предложение 25. Предположим, что риббон X̊∞ удовлетворяет условию (**).
Тогдаимеется естественный изоморфизм функторов′̃︂̃︂X̊∞ ≃ X̊∞ .′̃︂Доказательство Пусть ∈ Ob(ℬ). Пучок автоморфизмов пары (ℱ, ) ∈ X̊∞ () (т.e.,пучок автоморфизмов -модуля ℱ , которые сохраняют функцию ) равен пучку ℑ . Кроме того, по замечанию 52, пара (ℱ, ) изоморфна паре ( , ord) локально на × .Следовательно, используя стандартные рассуждения со скрученными формами (см., например, [92], ch.III, §4), мы получим утверждение предложения.̃︂Определение 75. Обозначим через PicX̊∞ пучок на большом сайте Зарисского схемы̃︂Spec , ассоциированный с предпучком ↦→ X̊∞ ().Аналогично, обозначим через PicX̊∞ пучок на большом сайте Зарисского схемыSpec , ассоциированный с предпучком ↦→ X̊∞ ().Замечание 65.
Из определений 75, 74 и 68 следует, что для любой нетеровой схемы ̃︂ () = 0 (, 1 * ℑ )PicX̊∞где : × → — морфизм проекции.,̃︂ () = 0 (, 1 * * ),Pic,X̊∞146̃︂В виду теоремы 27, предложений 18 и 25, важно доказать, что пучок PicX̊∞ является -групповой схемой. Наша первая цель — доказать это при некоторых учловиях, а затем̃︂мы сравним пучок PicX̊∞ с пучком PicX̊∞ .Теорема 30.
Пусть X̊∞ — риббон, удовлетворяющий условиям, сформулированным вначале раздела. Предположим, чтоCoker( 0 (, ) −→ 0 (, /0 )) = ℋ1 (A) = 0.(4.38)̃︂Тогда пучок PicX̊∞ — формальная групповая схема, которая изоморфна (неканонически)̂︁ .произведению Pic∞ × BrX̊∞Замечание 66. Условие 4.38 из теоремы не является слишком ограниченным: оно выполняется, например, для риббонов, происходящих из нормализаций спектральных поверхностей колец коммутирующих ДО.Доказательство Достаточно доказать, что для любой аффинной нетеровой схемы над следующая последовательность точна и расщепима (см. следствие 20 для объясненияпоследнего члена):0 −→ 1 ( × , *,0 ) −→ 1 ( × , ℑ ) −→ 1 (, /0 ) ⊗ 0 (, ) −→ 0,(4.39)и расщепление функториально по .
(Напомним, что когерентный пучок — нильрадикал схемы ). Действительно, по предложению 24 пучок Зарисского, ассоциированный спредпучком ↦→ 1 ( × , *0 ), является схемой Pic∞ . По замечанию 59 имеем̂︁ ) = 1 (, /0 ) ⊗ 0 (, ).Hom .ℎ. (, BrX̊∞̂︁ ) является пучком в тополоС другой стороны, предпучок ↦→ Hom .ℎ. (, BrX̊∞гии Зарисского, поскольку это следует из [62, 1.10.4.6] и пучковых свойств .Теперь докажем, что (4.39) точна.
Эта последовательность — часть длинной точнойкогомологической последовательности, происходящей из короткой точной последовательности0 −→ *,0 −→ ℑ −→ (/0 ) −→ 0.Покажем, что последовательность (4.39) точна слева благодаря нашему предположению (4.38). Достаточно показать, что отображение̂︀ ) −→ 0 ( × , (/0 ) ) 0 ( × , сюръективно (см. формулу (4.37)), или что отображения̂︀ ) −→ 0 ( × , ( /0 ) ) 0 ( × , сюръективны для всех < 0.Для всех < 0, ℎ ≥ 0 определимdef,ℎ = Coker( 0 (, /ℎ ) −→ 0 (, /0 )).Имеются следующие точные последовательности:0 → 0 (, 0 /ℎ ) → 0 (, /ℎ ) →ℎ 0 (, /0 ) → ,ℎ → 0,(4.40)1470 → 0 (, 0 /ℎ ) ⊗ 0 (, ) → 0 (, /ℎ ) ⊗ 0 (, ) → 0 (, /0 ) ⊗ 0 (, ) → ,ℎ ⊗ 0 (, ) → 0. (4.41)Так как — проективная кривая, проективные системы{ 0 (, 0 /ℎ )}ℎ∈N ,{ 0 (, /ℎ )}ℎ∈N ,{ 0 (, 0 /ℎ ) ⊗ 0 (, )}ℎ∈N ,{ 0 (, /ℎ ) ⊗ 0 (, )}ℎ∈Nудовлетворяют МЛ-условию.
Следовательно, по лемме 31 последовательности проективных пределов также точны, т.е., используя лемму 40, получаем точные последовательности0 → 0 (, 0 ) → 0 (, ) → 0 (, /0 ) → lim←− ,ℎ → 0,ℎ∈N(4.42)̂︀ ) → 0 ( × , ̂︀ ) →0 → 0 ( × , 0 00 ( × , ( /0 ) ) → lim←−(,ℎ ⊗ (, )) → 0. (4.43)ℎТаким образом, наше утверждение будет следовать из того, что ,ℎ = 0.defВо-первых, заметим, что = lim←− ,ℎ = 0. Действительно, по предположению (4.38)ℎ∈Nи из последовательности (4.42) имеем0 = Coker( 0 (, ) → 0 (, /0 )) = lim−→ .Рассмотрим следующую точную диаграмму:00↓↓0000 → (, 0 ) → (, )→ (, /0 ) → → 0‖↓↓↓0000 → (, 0 ) → (, −1 )→ (, −1 /0 ) → −1 → 0↓↓00 (, −1 / ) = (, −1 / )Диаграммный поиск показывает, что отображение → −1 инъективно.
Следовательно,должно быть = 0 для всех < 0.Теперь, если ,ℎ ̸= 0 для некоторых ℎ > 0, то это означало бы, что ̸= 0. Действительно, имеем ℎ+1 ( 0 (, /ℎ+1 )) ⊂ ℎ ( 0 (, /ℎ )) для всех ℎ (см. последовательность (4.40)). Таким образом, если ,ℎ ̸= 0, то ℎ ( 0 (, /ℎ )) ̸= 0 (, /0 ), ипрообраз в 0 (, /0 ) произвольного ненулевого элемента из ,ℎ дает ненулевой элемент в . Следовательно, ,ℎ = 0.Покажем, что (4.39) точна справа. Это следует из того, что отображение 2 ( × , *,0 ) → 2 ( × , ℑ )является изоморфизмом. Действительно, это отображение — часть следующей диаграммы, которая точна по лемме 40, следствию 20 этой леммы и определениям:0 → 2 ( × , *,0 ) → 2 ( × , * ,0 ) → 0↓‖220 → ( × , ℑ ) → ( × , ℑ ) → 0148(Мы использоали здесь точные последовательности:̂︀ −→ *,0 −→ * ,0 −→ 0,0 −→ 0 ̂︀ −→ ℑ −→ ℑ −→ 0,0 −→ и * ,0 = ℑ .)Теперь покажем, что (4.39) расщепляется, и что существует расщепление, котороефункториально по .
Рассмотрим следующую диаграмму, которая точна по лемме 40,следствию 20, определениям и предположениям:00↓↓̂︀ ) 1 ( × , 0 → 1 ( × , *,0 ) 1 ( × , * ,0 )↓↓‖111̂︀ ( × , )→ ( × , ℑ ) ( × , ℑ )↓↓ 1 ( × , (/0 ) ) = 1 (, /0 ) ⊗ 0 (, )↓↓00Расщепление левой вертикальной точной последовательности задается системой совместимых -линейных сечений сюръективных отображений 1 (, /ℎ ) → 1 (, /0 ),ℎ > 0, < 0 и тензорного произведения (над ) этих сечений с тождественным отображением на 0 (, ). Это дает функториальное по расщепление последовательности(4.39). (Ср. с доказательством предложения 23.) Теорема доказана.Замечание 67.
Первые отображения в строках последней диаграммы являются вложе-ниями. Чтобы показать это, достаточно доказать, что отображение 0 ( × , *,0 ) → 0 ( × , * ,0 )сюръективно.Если ∈ 0 ( × , ,0 ) — обратимый элемент, то его образ в 0 ( × , × )должен быть также обратим. Теперь, используя следствие 21 леммы 40 и ряды для ()и (1+), поскольку мы предположили, что char = 0, мы можем свести доказательствок следующему факту: отображение 0 ( × , ,1 ) −→ 0 ( × , ,1 )сюръективно. Последний факт следует из таких наблюдений:1) используя те же рассуждения, что и в доказательстве леммы 40, имеем00 0 ( × , ,1 ) ≃ lim←−( (, 1 / ) ⊗ (, )),>100 0 ( × , ,1 ) ≃ lim←−( (, 1 / ) ⊗ ( , ));>12) имеются короткие точные последовательности0 → 0 (, 1 / ) ⊗ 0 (, ) → 0 (, 1 / ) ⊗ 0 (, ) → 0 (, 1 / ) ⊗ 0 ( , ) → 0 (4.44)для всех > 1, и проективная система { 0 (, 1 / ) ⊗ 0 (, )}>1 удовлетворяетМЛ-условию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
