Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Если 0 (, * /*0 ) = Z для некоторого ̸= 0, то 1 (, * /*0 ) – конечнаяабелева группа порядка меньше либо равного −1 , если > 1, и равного 0 иначе.2. Если 0 (, * /*0 ) = 0, то rk( 1 (, * /*0 )) ≤ − 1 если > 1, и 1 (, * /*0 ) = 0иначе.В обоих случаях – число критических точек * /*0 , т.е. = ♯( ∖ ).Доказательство Если ∈ * ∩ (, ∖+1, ), где ∈ – точка и ∈ * – обратный к, то ∈ * ∩ (−, ∖−+1, ). Тогда , = 0, . Соотношения , = 0, , −, = 0, и = 1 расширяются на окрестность точки .Поскольку /+1 – пучок без кручения, получаем, что если ∈ * ( ), то существует единственное ∈ Z такое, что ∈ , ∖+1, , и обратное удовлетворяет ∈ −, ∖−+1, , и | = 0 | , − | = 0 | . Таким образом, в этом случае получаем инъекцию* /*0 → Z , ↦→ = ord()(Z – постоянный пучок на ).
Это изоморфизм тогда и только тогда, когда 1 , −1 –взаимнодвойственные обратимые 0 -модули.По нашему предположению либо * = *0 , либо существует наименьшее целое положительное такое, что существует точка и элемент ∈ * порядка . Тогда существуетнаибольшее открытое множество , где , − – обратимые взаимнодвойственные модули.Тогда * /*0 ⊂ Z и коядро является пучком с носителем в ∖ . Если0 (, * /*0 ) = 0, то по крайней мере один росток пучка Z/(* /*0 ) в этих точкахравен Z. Если 0 (, * /*0 ) = Z, то ростки пучка Z/(* /*0 ) в этих точках являются конечными группами, чьи порядки меньше либо равны .
Теперь, используя длиннуюточную когомологическую последовательность короткой последовательности0 → * /*0 → Z → () → 0,получим доказательство. (Мы пользуемся тем, что первые когомологии постоянного пучкана неприводимом пространстве равны нулю в топологии Зарисского.)Следствие 17. Если существует точка на неприводимой кривой такая, что1, −1, = 0, , то выполнены следующие свойства.ordВложение пучков * /*0 → Z является изоморфизмом на открытом подмножестве ⊂ .
Кроме того, в оставшихся точках ∖ , ростки (* /*0 ) являются циклическими подгруппами Z из Z. Если 0 (, * /*0 ) = Z при > 0, тогда все являются делителями .Доказательство очевидно.Пример 19. Если кривая не является неприводимой, то тогда функция порядка необязательно является гомоморфизмом из ( )* в Z для открытого ⊂ .Например, если мы возьмем алгебраизуемый риббон из примера 10, где – аффинная плоскость и – кривая, заданная уравнением = 0, то элементы и будут обратимыми элементами нулевого порядка для любого открытого ⊂ такого, что содержитточку ( = 0, = 0). () – обратимый элемент из ( ), и, следовательно, −1 = ()−1 , −1 = ()−1 . Но ord () = 1, таким образом, ord не является гоморфизмом.12437:Функция порядка особенно хорошо ведет себя, если выполняется условие из леммыОпределение 67. Скажем, что пучок риббона (, ) удовлетворяет условию (**), еслисуществует покрытие кривой открытыми аффинными множествами { }∈ , такое чтодля любого ∈ существует обратимое сечение ∈ 1 ( ) ⊂ ( ) c −1 ∈ −1 ( ).Замечание 51.
Условие (**) выполняется, например, для риббонов, приходящих из ал-гебраической поверхности и дивизора Картье. В этом случае элементы — локальныеуравнения дивизора Картье на поверхности.Если выполняется условие (**), то автоматически выполняются условия из началаэтого раздела.
Доказательство такое же как в замечании 50.Предложение 18. Предположим, что пучок риббона (, ) удовлетворяет условию(**). Пусть пучок без кручения ранга удовлетворяет следующему условию: пучок0 /1 локально свободен на . Тогда пучок — локально свободный ранга на риббоне(, ).Доказательство Докажем, что если открытое аффинное множество кривой таково,что ⊂ для некоторого ∈ (см. определение 67) и 0 /1 | ≃ ⊕ , то | ≃ ⊕ | .Пусть ¯1 , . . . , ¯ ∈ 0 /1 ( ) — базис над ( ). Выберем некоторые элементы1 , .
. . , ∈ 0 ( ), такие что для любого 1 ≤ ≤ элемент отображается в элемент¯ при естественном отображении 0 ( ) −→ 0 /1 ( ). (По предложению 9, последнееотображение сюръективно, следовательно, такие элементы 1 , . . . , существуют.)Рассмотрим отображение | -модулей:⨁︁∑︁ : ⊕ | −→ |( ) = · ,1≤≤1≤≤где ∈ ( ) для 1 ≤ ≤ и открытого ⊂ .Сначала покажем, что отображение сюръективно.
Пусть элемент ∈ ( ), ̸= 0для открытого ⊂ . Тогда ∈ 1 ( ) ∖ 1 +1 ( ) для некоторого 1 ∈ Z. Следовательно,элемент 1 = −1 · ∈ 0 ( )∖1 ( ), где элемент ∈ 1 ( )∖2 ( ) таков, что −1 ∈ −1 ( ).Пусть ¯1 ∈ 0 /1 ( ) — образ элемента 1 . Имеем∑︁¯1 =¯1, · ¯ ,1≤≤где ¯1, ∈ ( ), 1 ≤ ≤ . Выберем некоторые элементы 1, ∈ 0 ( ), такие что длялюбого 1 ≤ ≤ образ элемента 1, в 0 ( )/∑︀ 1 ( ) = ( ) совпадает с элементом ¯1,(см. также предложение 9). Теперь если 1 ̸= 1≤≤ 1, · , то элемент(1 −∑︁1, · )∈2 ( ) ∖ 2 +1 ( )1≤≤для некоторого 2 ∈ N, где 2 ≥ 1.
Следовательно, элемент∑︁2 = −2 · (1 −1, · ) ∈ 0 ( ) ∖ 1 ( ).1≤≤И мы можем повторить ту же процедуру с 2 как с 1 выше, и т.д.Теперь элемент⨁︁⨁︁2, + . . .)) = 1 · (1, + 2 · (1≤≤1≤≤125корректно определен в ( )⊕ как сходящийся ряд, поскольку ( ) — полное пространство, и ≥ 1 при > 1. И, по построению, () = , поскольку ( )⊕ — хаусдорфовопространство. Следовательно, сюръективно.Далее, покажем, что — инъективное отображение ⊕ | -модулей. Пусть пучок — ядро отображения . Пусть ∈ ( ), ̸= 0 для некоторого открытого ⊂ . Имеем ∈ ( )⊕ ∖ +1 ( )⊕ для некоторого ∈ Z, тогда − · ∈ 0 ( )⊕ ∖ 1 ( )⊕ .
Пусть = (1 , . . . , ) ∈ ( )⊕ — образ − · при естественном отображении. Так как − · ∈ ,имеем∑︁ · ¯ = 0.1≤≤Следовательно, для любого 1 ≤ ≤ = 0, поскольку ¯1 , . . . , ¯ — базис над ( ).Отсюда − · ∈ 1 ( )⊕ . Противоречие.Теперь мы хотим определить условия, при которых ord является морфизмом пучковгрупп, и при которых он пропускается через пучок Z ⊂ (Z) локально постоянныхфункций. Мы также хотим описать в этих случаях ядро функции порядка.Если = Spec , где — поле, то определение функции порядка совпадает с определением 55.
В предложениях 16, 17 мы привели некоторые достаточные условия для того,чтобы функция порядка была гомоморфизмом (очевидно, в этом случае она локальнопостоянна), см. также контр-пример 19.Лемма 38. При наших предположениях (см. начало раздела) имеем: для каждой точки существует аффинная окрестность ⊂ , такая что все пучки | являютсяобратимыми пучками 0 | -модулей и − | = −1 | .Доказательство Во-первых, докажем, что естественный гомоморфизм , -модулей(−1 /0 ) ⊗, (1 /2 ) −→ (0 /1 ) = ,(4.14)является изоморфизмом.Поскольку, по нашим предположениям, существует изоморфизм[(−1 /0 ) ⊗, ()] ⊗, [(1 /2 ) ⊗, ()] ≃ , ,гомоморфизм (4.14) сюръективен по лемме Накаямы.
Пусть — ядро этого отображения.Тогда, так как , — плоский , -модуль, следующая последовательность точна (всилу [1, ch.2, ex.26]):0 −→ ⊗, () −→ ((−1 /0 ) ⊗, (1 /2 ) ) ⊗, () −→ , −→ 0.Так как((−1 /0 ) ⊗, (1 /2 ) )⊗, () ≃ [(−1 /0 ) ⊗, ()]⊗, [(1 /2 ) ⊗, ()],мы получаем 0 = ⊗, () = /ℳ . Следовательно, = 0 по лемме Накаямы.Теперь пусть — аффинная окрестность, в которой существуют элементы ¯′ ∈−1 /0 ( ), ¯ ∈ 1 /2 ( ), такие что ¯¯′ = 1. Тогда, в силу предложения 9, мы можемподнять элементы ¯, ¯′ и найти ′ ∈ −1 ( ), ∈ 1 ( ), такие что ′ = 1. Тогда для любого имеем | = (0 | ) (сравни с рассуждениями в доказательстве предложения12).Замечание 52. Если для любого ∈ риббон X̊∞, удовлетворяет условию (**) из опре-деления 67, то утверждения леммы справедливы для пучков на всем пространстве (не только в окрестности ).
Доказательство то же.126Рассмотрим несколько случаев.Случай 1. Пусть — целая схема. Мы утверждаем, что отображение порядка на * |пропускается через Z | , и является морфизмом пучков абелевых групп. Более того,(* /*0 )| ≃ Z | .Пусть ∈ * ( ), и — наибольшее целое число, такое что ∈ ( ). Тогда =ord()() для любого ∈ . Действительно, по лемме 38 существует обратимый элемент ∈ 1 ( ). Значит, = 0 с 0 ∈ 0 ( )∖1 ( ). Если −1 ∈ ( )∖+1 ( ),то −1 = 0 , 0 ∈ 0 ( )∖1 ( ). Тогда 1 = −1 = 0 0 + , откуда + ≤ 0 и0 0 = −− ∈/ 1 ( ), поскольку 0 ( )/1 ( ) ≃ ( ) не имеет делителей нуля,так как неприводима и приведена, как следует из наших предположений (см.
замечание53 ниже).*−1−Следовательно, + = 0, 0 = −1= −10 и 0 ∈ 0 ( ), = 0 , 0 . Очевидно,что это свойство сохраняется при замене базы → , следовательно = ord()() длялюбой точки ∈ . Таким образом, отображение порядка пропускается через Z | , иявляется, очевидно, морфизмом пучков абелевых групп с (* /*0 )| ≃ Z | , так какord()| = 1.Замечание 53. неприводима, поскольку неприводима. Действительно, предположимобратное. Тогда существуют два открытых подмножества 1 ⊂ , 2 ⊂ с 1 ∩ 2 = ∅.Так как : → плоский и локально конечного типа, он открыт, и следовательно (1 ) ∩ (2 ) ̸= ∅.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
