Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Формула (4.10) доказана.Теперь докажем формулу (4.11). Имеемℋ1 (W) =W ∩ (1⊕W ∩ 1⊕ ++ 2⊕ )W ∩ 2⊕W∩(1⊕ +2⊕ )W∩(1⊕ +2⊕ )⊕W∩1W∩1⊕==.W∩1⊕ +W∩2⊕W∩2⊕W∩1⊕W∩2⊕ ∩1⊕Заметим, что⊕00W ∩ 2⊕ = −limlim→ lim←− W(, ) ∩ 2 = −→ lim←− (, / ) = (, ).>>Здесь мы использовали теорему 2 из [23] для когерентного пучка 0 /− -модулей /на 1-мерной схеме −−1 = (, 0 /− ). Следовательно, используя это и формулу (4.10),имеемW ∩ 2⊕ 0 (, )=. 0 (, 0 )W ∩ 2⊕ ∩ 1⊕120Следовательно, чтобы доказать формулу (4.11), мы должны проверить, чтоW ∩ (1⊕ + 2⊕ )= 0 (, /0 ).⊕W ∩ 1(4.13)В силу предложения 9 имеем 1 ( ∖ , 0 ) = 0. Следовательно, из точной тройкипучков на кривой 0 −→ 0 −→ −→ /0 −→ 0мы имеем 0 ( ∖ , /0 ) =W 0 ( ∖ , )W + 1⊕==. 0 ( ∖ , 0 )W ∩ 1⊕1⊕Теперь, беря индуктивный предел комплексов из теоремы 2 в [23], получаем, чтоW + 1⊕ 1⊕ + 2⊕ (, /0 ) =∩,1⊕1⊕0⊕.где пересечение рассматривается в -векторном пространстве (())(())1⊕Существует естественный изоморфизм -подпространств в -векторном простран(())(())⊕стве:⊕1W1⊕ + 2⊕W ∩ (1⊕ + 2⊕ )=∩.W ∩ 1⊕W ∩ 1⊕1⊕Таким образом, мы проверили формулу (4.13).

Следовательно, мы доказали формулу(4.11).Докажем теперь формулу (4.12). Имеем1 1 (, /0 ) = lim−→ (, /0 ) = lim−→<0<0 ·1⊕1⊕W∩ ·1⊕1⊕+2⊕⊕2 ∩1⊕=(())(())⊕.W + 1⊕ + 2⊕Здесь мы использовали комплекс из теоремы 2 в [23], чтобы вычислить первые когомологии когерентного пучка /0 на схеме −−1 = (, 0 /− ), < 0.

Формула (4.12)доказана.4.2Группа Пикара и функтор Пикара риббонаВ этом разделе излагаются результаты о группе Пикара и о функторе Пикара риббона PicX̊∞ .4.2.1Функция порядкаВ этом разделе доказываются основные свойства функции порядка, определенной наструктурном пучке риббона. Функция порядка играет важную роль при изучении группыПикара риббона.Для произвольного топологического пространства через (Z) обозначим пучок функций на со значениями в Z.

Пусть X̊∞ — риббон над нетеровой схемой .Предположим, что для любой точки ∈ существует точка ∈ X̊∞, , такая что(,1 ) (,−1 ) = (,0 ) и что топологическое пространство риббона X̊∞, неприводимо.Предположим также, что морфизм : → имеет локально конечный тип.121Замечание 50. Эти предположения выполнены, например, в случае риббонов вида X̊∞, ,где → Spec — замена базы, а X̊∞ — риббон над алгебраически замкнутым полем снеприводимым топологическим пространством и с гладкой точкой.Действительно, в этом случае для каждой ∈ подлежащее топологическое пространство риббона X̊∞, является неприводимой кривой в силу [150, vol.I, ch.III, §15, th.40,cor.1] (см.

также [27, ch. II, ex.3.20]), и — морфизм конечного типа. Если — гладкаяточка риббона X̊∞ , и — замкнутая точка , отображающаяся в , то — гладкая точкариббона X̊∞, . Причина состоит в том, что мы можем поднять элементы ∈ 1, , ′ ∈ −1,с ′ = 1 до аналогичных элементов ∈ 1, , ′ ∈ −1, . Тогда, например, рассужденияиз доказательства предложения 12 показывают, что гладка.Определение 66 (Функция порядка). Определим морфизм пучков множеств (функциюпорядка)ord : * → (Z),deford ()() = max{|| ∈ , ( )},где ∈ * ( ) для открытого ⊂ , ∈ , = ().Определение корректно благодаря следующему предложению.Предложение 16.

Пусть X̊∞ — риббон над полем с неприводимой кривой в качестветопологического пространства. Предположим, что существует точка ∈ , такаячто 1, −1, = 0, . Тогда функция порядка совместима с гомоморфизмами ограничения * ( ) → * ( ) для произвольных открытых ⊂ , и она является гомоморфизмомиз * ( ) в Z для любого открытого .Доказательство Как было показано в доказательстве предложения 12, существует обра-тимый элемент ∈ 1, ∖2, такой, что −1 ∈ −1, . Таким образом, существует открытое ∋ такое, что ∈ 1 ( ), −1 ∈ −1 ( ).Нам потребуется следующая лемма.Лемма 37. Рассмотрим риббон (, ), где – неприводимая кривая над полем .Пусть пучок удовлетворяет условию (*) (см.

определение 54) со следующим дополнительным свойством: для любого открытого из (*) существует обратимое сечение ∈ 1 ( )∖2 ( ) такое, что −1 ∈ −1 ( ).Тогда функция порядка ord уважает гомоморфизмы ограничения * ( ) → * ( )для открытых ⊂ , и функция порядка ord является гоморфизмом из * ( ) в Z длялюбого открытого .Доказательство Первое утвержддение леммы следует из второго.

Действительно, если ⊂ – два открытых подмножества и ∈ * ( ), ord () = , тогда ord (−1 ) = − . Имеем ord (| ) ≥ ord (). Если мы предположим, что ord (| ) > ord (), то ord ((| )−1 ) <− = ord (−1 ). Но (| )−1 = −1 | и ord (−1 | ) ≥ ord (−1 ) = − , получаем противоречие.Теперь докажем следующее утверждение леммы. Для начала, докажем его для любого . Заметим, что для любого ∈ * ( ) и любого ∈ Z имеем ord ( ) = ord ()+ ,где – обратимый элемент из 1 ( )∖2 ( ) такой что −1 ∈ −1 ( ).

В самом деле, поопределению риббона ord () ≥ ord () + ord () для любых , ∈ * ( ). Пустьord () > ord () + 1. Тогдаord () = ord (−1 ) ≥ ord () − 1 > ord (),и мы приходим к противоречию.Заметим, что ord () = ord () + ord () если ord () = 0. В самом деле, если быord () > ord (), то тогда это бы означало, что ¯¯ = 0, где ¯ ∈ ord() ( )/ord()+1 ( ),122¯ ∈ ( )0 ( )/1 ( ). Но ¯, ¯ ̸= 0, и ord() /ord()+1 – пучок без кручения, по определению, следовательно, приходим к противоречию.Для любых , ∈ * ( ) имеемord () = ord (− ord() ord() ) = ord (− ord() )+ord (ord() ) =ord () + ord ().Рассуждения из начала доказательства показывают, что для любого открытого ⊂ ord (| ) = 1, и ord ((| )−1 ) = −1.

Следовательно, ord – также гомоморфизм на* ( ).Предположим теперь, что – произвольное открытое не пустое подмножество в .Тогда = ∪ ( ∩ ), и ord ∩ – гомоморфизм для любого . Пусть ∈ * ( ), ord () = . Предположим, что существует такое, что ord ∩ (| ∩ ) = > . Тогда для любого имеем ∩ ∩ ̸= ∅ и ord ∩ ∩ (| ∩ ∩ ) = и, следовательно, ord ∩ (| ∩ ) = .Поскольку является подпучком , это бы означало, что ∈ ( ). Противоречие.Таким образом, для любых , ∈ * ( ) имеемord () = ord ∩ (()| ∩ ) = ord ∩ (| ∩ ) + ord ∩ (| ∩ ) = ord () + ord ().Лемма доказана.В силу леммы функция порядка является гомоморфизмом на и на всех открытыхподмножествах из .

Пусть ⊂ , ̸= , * –открытое множество. Поскольку — приведенная неприводимая кривая, то должно быть аффинным и ∩ такжеаффинное. Без потери общности можем положить ∩ = ( ′ ), где = Spec(), ′ ∈ , = ( ). Пусть – представитель ′ в 0 ( ). Ясно, что он является обратимым0 ( ∩ ). Пусть = | ∩ . Знаем, что обратим, ord() = 1, ord(−1 ) = −1. Посколькупучки 1 /2 , −1 /0 когеренты и ∩ аффинное, существует натуральное такое, что mod 2 ( ∩ ) = ( ′ ) (¯), −1mod 0 ( ∩ ) ( ′ ) (−1 ),где ( ′ ) : ( ) → (( ′ )) – гомоморфизм ограничения, и ¯ ∈ 1 /2 ( ), −1 ∈−1 – представители ¯−1 /0 ( ), в силу [27, lemma 5.3] и по предложению 9.

Пусть ˜, ̃︁, −1−1 ) ≥ 0 ив 1 ( ), −1 ( ) соответственно. Тогда ord (˜̃︁−1 ) ≤ ord−1˜ ̃︁ord (˜̃︁ ∩ ( ( ′ ) ( ))−1 ) = 2 mod ( ∩ ), откуда ord (˜−1̃︁по свойствам . Но ( ′ ) (˜̃︁1 ) = 0 .Заметим, что для любого ∈ ( ) имеем ord () = ord ()+ord (), если ord () =¯ = 0, где ¯ ∈0. Действительно, если бы ord () > ord (), то это бы означало, что ¯ord() ( )/ord()+1 ( ), ¯ ∈ ( ).

Но кривая является приведенной и неприводимой,и ord() /ord()+1 является пучком без кручения по определению. Откуда мы получаемпротиворечие.Теперь, повторяя рассуждения из доказательства леммы 37, получаем ord (˜ ) =ord () + для любого целого и для любых , ∈ * ( )ord()ord()−1−1˜ord() ) = ord (̃︁ord () = ord (̃︁) + ord (˜ord() ) = ord () + ord ().Наконец, если = , то можем применить рассуждения из окончания доказательства леммы 37.Предложение доказано.В ситуации, когда выполнены условия предложения 16, можно сказать нечто прогруппу 1 (, * ).123Предложение 17.

Пусть X̊∞ – риббон с неприводимой кривой . Предположим, чтофункция порядка ord является гомоморфизмом из * ( ) в Z для любого открытого ⊂ . Тогда * /*0 ⊆ Z .Пусть пучок * /*0 | является постоянным для любого открытого множества ,равным Z. (Мы предполагаем, что это максимально.) Имеем следующее.1.

Характеристики

Список файлов диссертации