Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 28
Текст из файла (страница 28)
У нас есть точная тройка:̂︀̂︀0 → (\−1 / ) → , → −1 , → 0.̂︀ , — элементы с (˜Пусть ˜, ˜ ∈ ) = , (˜) = . Из определения гладкой точ̂︀, -модуля (\ки следует, что ˜−1 является порождающим −1 / ) . Следовательно,̂︀ , ≃ [[]][]/ .Переходя к проективному пределу по , получаем требуемое.Определение 59. Произвольные элементы , из предложения 13 называются формаль-ными локальными параметрами риббона (, ) в гладкой точке .Определение 60.
Пусть X̊∞ = (, ) — риббон над полем . Будем говорить, что точка ∈ — это гладкая точка пучка без кручения на X̊∞ если выполнены следующиеусловия.1. — гладкая точка X̊∞ .\\̂︀2. (\^, ( /+1 ) → (+ /++1 ) – изоморфизм , -модулей, и это /+1 ) ⊗отображение индуцировано отображением из определения : · ⊂ + .Аналогично предложению 13 мы имеем следующее предложение.Предложение 14. Пусть — гладкая точка пучка без кручения ранга на риббонеX̊∞ над полем .
Тогда̃︀0, ≃ ̃︀⊕ ,0,\̃︀0, = lim (где ←− 0 / ) .≥0Доказательство С помощью индукции по и с помощью точной последовательности\\0 → (\−1 / ) → (0 / ) → (0 /−1 ) → 0⊕\\мы доказываем, что (0 / ) ≃ (0 / ) . Затем мы переходим к проективному пределу.Пример 18. Пусть X̊∞ — риббон из примера 10. Пусть — локально свободный пучокранга на поверхности . ТогдаE̊ := −lim→ lim←− ()/()является пучком без кручения ранга на X̊∞ .
Любая точка ∈ ⊂ , гладкая на ина , будет гладкой точкой на E̊ .̃︀0, и ̂︀0, , гдеЗамечание 45. Аналогично определению 57 мы имеем два 0, -модуля: последний является ℳ –адическим дополнением модуля 0, . Проводя схожие рассуждения, что и в доказательстве предложения 11, мы получим, что если dim 0, /ℳ 0, <∞, то естественный гомоморфизм 0, –модулей ̃︀̂︀0, →0,сюръективен.Если — гладкая точка пучка без кручения ранга , то ̂︀0, ≃ ̃︀0, ,dim( ) 0, /ℳ 0, = и следовательно является изоморфизмом ̃︀0, –модулей.112По геометрическим данным (, , ℱ) из предыдущей главы, где ℱ — когерентныйпучок, каноническим образом строится риббон с пучком без кручения конечного ранга(равного рангу ℱ ) с гладкой точкой.Предложение 15. По геометрическим данным = (, , , ℱ, , ) из определения 45,где ℱ — когерентный пучок ранга (не обязательно совпадающий с рангом данных),каноническим образом строятся геометрические данные ˜, состоящие из риббона (, )над полем , пучка без кручения ранга с гладкой точкой , формальные локальныепараметры ′ , ′ и тривиализация : ^0, → ^0, ≃ [[′ , ′ ]] .
Таким образом, имеетсяотображениеΦ : ↦→ ˜.Конструкция данных ˜ обобщает конструкцию геометрического риббона из примера 10.Доказательство Пусть (, , , ℱ, , ) — геометрические данные из определения 45, иℱ — когерентный пучок ранга на ( не обязательно равен рангу данных).Тогда мы можем определить риббон X̊∞ = (, ) и пучок без кручения на немследующим образом.
Напомним, что по этим данным определены подпространства , ˜ , ℱ ≃ Proj(˜ ).в [[]](()) (см. раздел 3.5.3) и ≃ Proj()Пусть ∞ = (, ^0 ) — формальная схема, пополнение вдоль . Определим се\˜мейство пучков = ℬ^− = Proj((−))на ∞ . Так как функтор ℬ ↦→ ℬ^ — точныйфунктор (см. например [27, Corol. 9.8]), имеем ⊃ +1 для всех .
Очевидно, для всех пучки ℬ /ℬ−1 ≃ ℬ^ /ℬ^−1 без кручения на и 0 /1 ≃ . Умножение в кольце индуцирует отображение умножения ℬ ℬ ⊂ ℬ+ , и следовательно, отображение умножения ⊂ + . Таким образом, пучок = −lim→ определяет структуру риббона(, ) согласно определению 49. Аналогичным образом определим пучок = lim−→ , где\˜ (−)). Пучки / = ℱ^ = Proj(не имеют кручения и когерентны для всех .−+1Покажем, что — пучок без кручения ранга на риббоне (, ) в смысле определения 51, и что точка — гладкая для пучка . Так как — гладкая точка на , мыдолжны проверить, что отображение\\(ℱ\^, (ℬ /ℬ−1 ) −→ (ℱ+ /ℱ+−1 ) , /ℱ−1 ) ⊗индуцированное отображением умножения ℱ · ℬ ⊂ ℱ+ , — изоморфизм.
Это следует изтого, что (ℱ /ℱ−1 ) ≃ ,, (ℬ /ℬ−1 ) ≃ , (т.к. они без кручения, и — гладкаяточка на ). Из последних фактов также следует, что — пучок без кручения ранга (ср. следствие 27).4.1.5Обобщенное отображение Кричевера–ПаршинаВ этом разделе доказывается основной результат раздела 4.1: теорема классификации данных на риббоне в терминах пар (A, W).Докажем вначале одну техническую лемму.Лемма 34. Пусть (, , , , ) – риббон над полем с гладкой –точкой и формаль-ными локальными параметрами , . Тогда ∈ ˜0, определяет эффективный дивизорКартье , на схеме для любых такой, что * , = ,−1 и ,1 = , где : −1 → является каноническим отображением.113̂︀ , ≃ [[]][]/ , так как — гладкаяДоказательство В силу предложения 13 имеем ̂︀ , .
Пусть ′, := ˜, ∩ ,точка рибона (, ). За ˜, = ·[[]][]/ обозначим идеал в — идеал в , .Для некоторого > 0 имеем ℳ · [[]][]/ ⊂ ˜, , где ℳ — максимальный идеал , . Следовательно, ℳ , ⊂ ′, . Пусть ˜ ∈ , такой элемент, что (˜) совпадает^ , где , ^ – следующие естественные отображенияс (): , −→ , /ℳ‖̂︀ , −→ ̂︀ , /ℳ̂︁^ : ̂︀ , = ˜, . Следовательно, ′ · ̂︀ , = ˜, , и ′ = ˜ , определяетТогда ˜ ∈ ,′ и ˜ · ,,эффективный дивизор Картье , в некоторой аффинной открытой окрестности точки ∈ (и на ).
По построению, * , = ,−1 .Замечание 46. По построению идеала ′, (или дивизора , ) получаем, что он однознач-̂︀ , = · ̂︀ , , * , = ,−1 , и ′,1 = ℳ ⊂ , .но определяется свойствами ′, · Дадим теперь определения классифицируемых объектов. Сначала определим данныена риббонах.′Определение 61. Пусть (X̊∞ , ), (X̊∞ , ′ ) — два риббона над полем с двумя пучками′без кручения ранга на них. Будем говорить, что пара (X̊∞ , ) изоморфна паре (X̊∞ , ′ ),если существует изоморфизм′ : X̊∞ −→ X̊∞риббонов (см. определения 50) и изоморфизм : ′ → * ( )градуированных ′ -модулей, т.е. (′ ) = * ( ) и () = ♯ ()() для любых сечений ∈ ′ ( ), ∈ ′ ( ) над открытым ⊂ ′ .Определение 62.
Рассмотрим следующие геометрические данные (, , , , , , ),где∙ (, ) — риббон над полем ,∙ — пучок без кручения ранга на (, ),∙ ∈ — гладкая –точка пучка ,∙ , — формальные локальные параметры риббона в ,̃︀0, → ̃︀⊕ ≃ [[, ]]⊕ — изоморфизм ̃︀0, –модулей.∙ : 0,Будемговорить,чтоданные(, , , , , , ) изоморфны( ′ , ′ , ′ , ′ , ′ , ′ , ′ ), если существует изоморфизм (см. определения 61)данным(, ) : (, , ) −→ ( ′ , ′ , ′ )̃︁′ 0, → ̃︀0, — изоморфизмтакой, что ( ) = ′ , ♯ (′ ) = , ♯ (′ ) = , где ♯ : ♯локальных колец, индуцированный отображением , и диаграмма̃︁′ 0, →̃︀0,↓ ′↓ ♯̃︁′ 0,→̃︀0,коммутативна, где изоморфизм индуцирован отображением .114Определение 63. Пусть = (())(()) — двумерное локальное поле.
Определим следу-ющие -подпространства в :() = (())[[]]для любых . Для любых -подпространств W ⊂ ⊕ и любых > ∈ Z определимW(, ) =W() = ∩ ()⊕и ∩ ()⊕W ∩ (())[[]]⊕.W ∩ +1 (())[[]]⊕Имеем естественный изоморфизм ()/() = (())⊕(−) , следовательно, W(, ),W() — -подпространства пространства (())⊕(−) , (()) соответственно.
Отметим,что последнее пространство имеет естественную локально линейно компактную топологию. -подпространство W в (())(())⊕ называется обобщенным Фредгольмовым подпространством, если для любого ∈ Z -подпространство W() в (())⊕ являетсяФредгольмовым подпространством (по отношению к [[]]⊕ ).Определение 64. Пусть W — -подпространство в ⊕ = (())(())⊕ , A — -подалгебрав = (())(()). (Можно рассматривать ⊕ как -модуль, так что произведение A·W ⊂ ⊕ определено.)Предположим, что A·W ⊂ W, и A(, +1) ⊂ (()) — подпространства Фредгольма поотношению к [[]], W(, + 1) ⊂ (())⊕ — подпространства Фредгольма по отношениюк [[]]⊕ для любых ∈ Z. Тогда пару -подпространств (A, W) ⊂ ⊕ ⊕ назовемобобщенной парой Шура .Замечание 47. По индукции по − > 0 имеем, что если W(, + 1) — подпространствоФредгольма в (())⊕ по отношению к [[]]⊕ для любых ∈ Z, то W(, ) — подпространство Фредгольма в (())⊕(−) по отношению к [[]]⊕(−) для любых > .
Аналогично,если A(, + 1) — подпространство Фредгольма в (()) по отношению к [[]] для любых ∈ Z, то A(, ) — подпространство Фредгольма в (())⊕(−) по отношению к [[]]⊕(−)для любых > .Основной результат раздела — следующаяТеорема 27. Обобщенные пары Шура (A, W) находятся во взаимно-однозначном соот-ветствии с данными (, , , , , , ) из определения 62 с точностью до изоморфизма,при этом мы дополнительно предполагаем, что — проективная неприводимая кривая.Следствие 16. -подалгебры A из определения 64 находятся взаимно–однозначном со-ответствии с данными (, , , , ) с точностью до изоморфизма, где должна бытьпроективной неприводимой кривой.Доказательство Следствие следует из теоремы, если возьмем = , W = A, и = 1.Докажем теперь теорему.
Имеем следующую диаграмму отображений для любогокогерентного пучка на схеме и для любого ≥ 0.̂︀ , ∖, )Γ( ∖, ) →Γ(Spec , ∖, ) →Γ(Spec ‖‖̂︀ , ⊗ , ⊗ , ⊗ где — общая точка схемы .115Пусть теперь = /++1 для некоторого . Тогда, по утверждению 1 предложения 9 и утверждения 2 предложения 7, — когерентный пучок на схеме . С помощьюиндукции по покажем, что отображение является вложением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
