Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Таким образом, если ∈ (1 ) ∩ (2 ), то ∩ 1 ̸= ∅, ∩ 2 ̸= ∅, иследовательно приводима, что противоречит нашему предположению.Чтобы доказать, что приведен, предположим противное. Мы можем предполагать,что аффинна и нильрадикалы ( ( )) ̸= 0 для любого открытого . Пусть ′ —нормализация и ′ : ′ → ′ — замена базы. Так как плоска над , имеем ( ′ ( × ′ )) ̸= 0 для любого аффинного ⊂ , поскольку имеется вложение ( ( )) ˓→ ( ′ ( × ′ )). Для любой точки ∈ ′ коразмерности 1 пусть ∈ ′ с ′ ( ) = .Тогда мы имеем ( ′ , ) ̸= 0. Но ′ , — плоский ′ , -модуль, и ′ , — регулярноелокальное кольцо размерности 1.
Более того, ′ , ⊗ () ≃ ′ , / ′ , ≃ ′ , , где —порождающая максимального идеала кольца ′ , , не имеет делителей нуля, поскольку,по нашим предположениям, — неприводимая кривая. Следовательно, ′ , / ′ , ≃ ′ ,, / ′ ,, , где ′ ,, = ′ , / ( ′ , ). Заметим также, что не являетсяделителем нуля в ′ ,, , так как он не является делителем нуля в ′ , по локальномукритерию плоскости ( [2, ch.III, §5, th.1] или [27, ch.III, lemma 10.3.A]).
Следовательно, ′ ,, — плоский ′ , -модуль по этому критерию. Отсюда ( ′ , ) ⊗ () = 0, и полемме Накаямы ( ′ , ) = 0, противоречие.Замечание 54. В ситуации замечания 52 утверждения нашего случая справедливы длявсего пространства . Доказательство то же.Теперь мы утверждаем, что отображение порядка на * пропускается через Z навсем пространстве (хотя и может быть (* /*0 ) ̸≃ Z ).Действительно, пусть — окрестность точки ∈ , ∈ * ( ). Тогда в силу предложения 16 и по определению, для всех точек ∈ , где = (), имеем ord()() = ord()(), поскольку неприводима.
Так как неприводима, имеем ∩ ̸= ∅ для всех ∈ . Тогда, рассуждая как выше, имеем ord()() = ord()()для всех ∈ ∩ . Аналогично, для ′ ∈ , ′ = (′ ) имеем ord()(′ ) = ord()() длявсех ∈ ∩ ′ . Так как ∩ ′ ∩ ̸= ∅, получаем ord()() = ord()(′ ) для всех′ ∈ .127Замечание 55. Мы можем определить отображение в нашем случае как в определе-нии 55:def() = max{| ∈ ( )},∈Zгде ∈ ( ). Тогда мы утверждаем, что () = ord()() для всех ∈ .Действительно, мы доказали выше, что ord()() = ord()(′ ) для всех ′ ∈ и*ord(| ∩ )() = (| ∩ ) ≥ ()для всех ∈ ∩ .
Если бы (| ∩ ) > (), то это бы означало, что образ элемента ¯ ∈ () /()+1 ( ) при отображении : () /()+1 ( ) →(() /()+1 ) ( ), где — общая точка на , равен нулю. Но — инъективноеотображение, поскольку () /()+1 ( ) — плоский ( ( ))-модуль, () /()+1— когерентный пучок, и отображение ( ( )) → , — вложение. Таким образом,(| ∩ ) = () и () = ord()() для всех ∈ .Случай 2. Пусть — приведенная схема. Мы утверждаем, что имеют место те же утвер-ждения, что и в Случае 1.Пусть ∈ * ( ) и = ord()(), где мы можем предположить, что ∈ — такаяточка, что = () принадлежит нескольким неприводимым компонентам 1 , . . .
(безограничения общности мы можем предположить = 1 ∪. . .∪ ). По Случаю 1 мы знаем,что 0 = − | ∈ * ,0 ( , ). Для всех , ∈ Z имеются точные последовательностипучков фильтрованных 0 -модулей0 −→ ,1 ∪(2 ∪...∪ ) −→ ,1 × ,(2 ∪...∪ ) −→ ,1 ∩(2 ∪...∪ ) −→ 0.Следовательно, используя очевидные индуктивные рассуждения и точные последовательности, мы получаем 0 ∈ 0 ( ). Аналогично, 0 = −1 ∈ 0 ( ) и 0 0 = 1. Такимобразом, 0 , 0 ∈ *0 ( ).Значит, ord() локально постоянна на .Замечание 56. В ситуации замечания 52 утверждения нашего случая справедливы длявсего пространства . Доказательство то же.Чтобы показать, что ord() локально постоянна на любом ⊂ , мы можем повторить рассуждения из конца Случая 1, поскольку неприводима (а значит, ∩ ̸= ∅,и ∩ ∩ × ̸= ∅ для всех = 1, .
. . (то есть, ∩ ′ ∩ ̸= ∅ для ′ ∈ , ∈ {1, . . . , })).Заметим, что, используя замечание 55 и рассуждения выше, элемент ∈ * ( ) сord() ≡ 0 должен принадлежать *0 ( ).Случай 3. Пусть — произвольная нетерова схема. Пусть −→ и −→ — морфиз-мы схем. Рассмотрим = × с естественными отображениями проекции : −→ и : −→ . Пусть ℱ — пучок -модулей на , и — пучок -модулей на . Напомним определение пучка -модулей ℱ на :defℱ = * (ℱ) ⊗ * ().Замечание 57. Пусть ℳ — пучок ′ -модулей на ′ . Тогда построим пучок ′ , -модулей̂︀ ℳ := lim( /+ ) ℳ на ′ для всех ∈ Z, и пучок ′ -модулей ̂︀ ℳ := ←−≥1̂︀′lim−→ ℳ на .
Теперь пусть — когерентный пучок -модулей на . Тогда имеем128̂︀ = и ̂︀ = . В самом деле, второе утверждение следует из первого, поскольку тензорное произведение коммутирует с индуктивным пределом. Чтобыдоказать первое утверждение, заметим, что оно очевидно когда = ⊕ , и что функтор̂︀ (·) — точный функтор на категории когерентных пучков на . Теперь, используя рассуждения, похожие на доказательство предложения 10.13 из книги [1], мы получаем,̂︀ является изоморфизмом.что естественное отображение −→ defПусть = Ker ( → ) — нильрадикал.
Так как — когерентный пучок на , из рассуждений замечания 57 следует, чтоdef = * ( ) ⊗ = Ker ( → ),иdef 0 = * ( ) ⊗ 0 = Ker (0 → ,0 )* = * /(1 + ),* ,0 = *0 /(1 + 0 ).Так как /0 плоский над , мы получаем, сравнивая точные последовательности0 → 0 → 0 → ,0 → 0,0 → → → → 0,что ∩ 0 = 0 , и следовательно 1 + 0 = (1 + ) ∩ *0 .Заметим, что, по определению, функция порядка на * совпадает с функцией порядка на * . Суммируя все сказанное выше, получаем1.
Если X̊∞ — риббон над нетеровой схемой , удовлетворяющийпредположениям в начале раздела, тоПредложение 19.(a) Функция порядкаord : * −→ Z— морфизм пучков групп.(b) Существуют окрестности ⊂ , такие что для каждой отображениеord | — сюръективный морфизм.(c) Имеет место равенство пучковKer (ord ) = *0 · (1 + ) ≃ *0∐︁(1 + ),1+ 0defгде в правой части стоит амальгамированная сумма, и = * ( )⊗ =Ker ( → ).2. Если X̊∞ — риббон, полученный заменой базы из риббона (, ) над полем , удовлетворяющего условию (**), то(a) Утверждение (1b) этого предложения выполняется для = .(b) Используя экспоненциальное и логарифмическое отображения, можно записать равенства пучков∐︁Ker (ord ) = *0 , 0где = * ( ) ⊗× * (), , — проекции × на и соответственно.129(c) Имеют место следующие точные последовательности пучков1 −→ Ker (ord ) −→ * −→ Z −→ 0,0 −→ /0 −→ * /*0 −→ Z −→ 0,1 −→ *0 −→ Ker (ord ) −→ /0 −→ 0.Доказательство Доказательство утверждений 1 было дано выше.
Доказательство утверждений 2 получается, если использовать степенные ряды для log(1 + ) при отождествлении: 1 + ≃ , 1 + 0 ≃ 0 и 1 + /((1 + ) ∩ *0 ) = 1 + /1 + 0с / 0 = /0 .4.2.2Группа Пикара риббонаВ этом разделе приведен результат о строении группы Пикара риббона, определенного над артиновым кольцом.Напомним, что для окольцованного пространства X̊∞ = (, ) группа Пикара определена как (X̊∞ ) = 1 (, * ), и для окольцованного пространства ∞ = (, 0 ) группаПикара (∞ ) = 1 (, *0 ) соответственно.Предложение 20.
Пусть X̊∞ = (, ) – риббон над артиновым кольцом . Предполо-жим, что – это либо проективная, либо аффинная кривая над Spec . Тогда (∞ ) = lim←− ( ).≥0Доказательство Для любых ≥ ≥ 0 обозначим следующие пучки , =Тогда имеем следующие точные последовательности:1++11++1**1 −→ , −→ −→ −→ 1.на .(4.15)Для любого ≥ 0 обозначим следующий пучок = 1 + +1 ⊂ *0 на . Тогда = ←lim− , .≥Для любых ≥ ≥ 0 имеем следующие точные последовательности:1 −→ ,+1 −→ ,+1 −→ , −→ 1.(4.16)Для любого ≥ 0 имеем ,+1 ≃ +1 /+2 .
Следовательно, из последовательности (4.16)получим, что для любого аффинного открытого подмножества ⊂ отображения 0 (, ,+1 ) → 0 (, , ) сюръективны для любых ≥ ≥ 0, и по индукции по получаем, что 1 (, , ) = 0 для любых ≥ ≥ 0. Следовательно, рассуждая так же, как ипри доказательстве утверждения 3 предложения 9, получим, что 1 (, ) = 0 для любого ≥ 1.Поскольку является кривой над артиновым кольцом, существует некоторые аффинные открытые подмножества 1 и 2 из такие что = 1 ∪ 2 .
Следовательно,следующая последовательность Майера-Виеториса точна:0 → 0 (, ) → 0 (1 , ) ⊕ 0 (2 , ) → 0 (1 ∩ 2 , ) → 1 (, ) → 0.(4.17)Также для любых ≥ ≥ 0 имеем следующие точные последовательности:0 → 0 (, , ) → 0 (1 , , ) ⊕ 0 (2 , , ) → 0 (1 ∩ 2 , , ) → 1 (, , ) → 0. (4.18)130Отметим, что для любого фиксированного ≥ 0 проективная система ( 0 (1 , , ) ⊕ 0 (2 , , ), ≥ ) удовлетворяет МЛ-условию, поскольку отображения в этой системесюръективны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
