Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Это верно при = 0,потому, что /+1 — пучок без кручения на . Имеем следующую коммутативнуюдиаграмму для произвольного ≥ 10 → Γ( ∖, + /++1 ) → Γ( ∖, /++1 ) → Γ( ∖, /+ ) → 0↓ + /++10→↓ /++1→(+ /++1 )( /++1 )↓ /+→( /+ )‖( /+ )−1→ 0,поскольку + /++1 — когерентный -модуль и структура -модуля на /+точно такая же, как структура −1 -модуля.
Следовательно, по гипотезе индукции, левыеи правые вертикальные стрелки являются вложениями. Следовательно, средняя стрелкатакже является вложением.Отображение /++1 является вложением для пучка /++1 . Следовательно,отображение /++1 ∘ /++1 является вложением для пучка /++1 .При = 0 имеем̂︀ , ≃ (())[]/+1 ,0 /+1 ⊗ , ⊗ потому что мы зафиксировали формальные локальные параметры , нашего риббона в.При > 0 имеем̂︀ , ≃ · (())[]/+1 /++1 ⊗ , ⊗ ̂︀ , ≃ (())[]/++1 .как идеал в 0 /+1+ ⊗ , ⊗ По определению гладкой точки на риббоне, имеем естественное спаривание при < 0(\/++1 ) ⊗ (−\/−++1 ) → (\0 /+1 ) ,и элемент − mod ̃︀−+, ∈ (−\/−++1 ) . Тогда, по индукции по ≥ 0 получим, что−×+1(\/++1 ) −→ (\0 /+1 ) ≃ (())[]/является изоморфизмом. Следовательно,\lim−→ lim←− ( /++1 ) ≃ (())(()).≥0Кроме того, = −lim→ lim←− /++1 .
Следовательно, кольцо≥0A := −lim→ lim←− Γ( ∖, /++1 ) ⊂ (())(())≥0является –подалгеброй, которая удовлетворяет условиям теоремы.116Аналогично, используя тривиализацию и формальные локальные параметры , ,получим изоморфизм⊕\lim−→ lim←− ( /++1 ) ≃ (())(())≥0и подпространство⊕W := −lim→ lim←− Γ( ∖, /++1 ) ⊂ (())(())≥0– это -подпространство, которое удовлетворяет условиям теоремы.Таким образом, имея геометрические данные (, , , , , , ) из определения 62,мы построили пару Шура (A, W) из определения 64.Сейчас мы построим геометрические данные, имея пару Шура. Во-первых, отметим,чтоΓ(Spec , ∖, /++1 ) −lim→ Γ( , /++1 (, )),≥0где , — эффективный дивизор Картье на , который был построен 34 выше.Рассмотрим -подпространства при > ∈ ZA(, ) ⊂ (())⊕(−)и (, ) = − · [[]]⊕(−) ⊂ (())⊕(−) .⨁︀Если = 0, то пространство ≥0 ( (0, ) ∩ A(0, )) — градуированное кольцо.
Положим−1 = Proj(⨁︁( (0, ) ∩ A(0, ))).≥0⨁︀⨁︀Образ вложения ≥0 (−1 (0, 1) ∩ A(0, 1)) в ≥0 ( (0, 1) ∩ A(0, 1)) – однородный идеал,который определяет точку⨁︀ ∈ 0 .Если > ∈ Z, то ⨁︀≥0 ( (, ) ∩ A(, )) является градуированным модулем надградуированным кольцом ≥0 ( (0, − ) ∩ A(0, − )). Тогда определим(, ) =⨁︁^( (, ) ∩ A(, )),≥0т.е. это когерентный пучок на (−) , который связан с соответствующим градуированныммодулем.
Поскольку не существует делителей нулей в поле (()), пучок (, +1) — пучокбез кручения на для любого .Для всех > ∈ Z имеем сюръективные морфизмы (, + 1) → (, ) и инъективные морфизмы (, ) → ( − 1, ). Также, из определений, мы имеем отображения длявсех < , < A(, ) ⊗ A(, ) −→ A( + , min( + , + )),(4.8)которые также хорошо определены, если мы перейдем к проективным пределам по и .Таким образом, мы определяем пучки , , ∈ Z следующим образом := −lim→ lim←− (, ),≥ = ←lim− (, ).≥Отображение, заданное формулой (4.8), определяет умножение · ⊂ + .
Крометого, ̃︀0, = [[, ]], и, следовательно, , — формальные локальные параметры риббона(0 , ) в точке .117Аналогично, определим пучки модулей , , ∈ Z следующим образом := −lim→ lim←− (, ),≥ = ←lim− (, ),≥̃︀ , = ⨁︀ ((− · [[]]⊕(−) ) ∩ W(, )), т.е. (, ) — когерентный пучокгде (, ) = ≥0(−−1) –модулей, который связан с соответствующим градуированным модулем, при всех > . По построению, имеем естественный изоморфизм̃︀0, → [[, ]]⊕ .
: Только что построенное отображение (A, W) ↦→ (0 , , , , , , ) является обратным к отображению, которое было построено в первой части доказательства этой теоремы,^так как пучок / ≃ Γ* ( /+1 ) для всех > ∈ Z, где градуированный модуль⨁︁Γ* ( / ) =Γ(−−1 , / (,−−1 )),≥0определяет когерентный пучок на схеме⨁︁−−1 = Proj(Γ(−−1 , −−1 (,−−1 ))),≥0поскольку −−1 (,−−1 ) — обильный пучок на −−1 . Последнее вытекает из следующей леммы.Лемма 35.
Для любых > 0 пучок (, ) — обильный пучок на .Доказательство — собственная схема (так как 0 — проективная кривая). Поэтому,с учетом [27, ch.III, prop.5.3] достаточно доказать, что для любого > 0 для любогокогерентного пучка ℱ на существует 0 > 0 такое, что для любого > 0 ( , ℱ ⊗ (, )) = 0.Воспользуемся индукцией по . Если = 1, то ,1 — точка на проективной кривой = 0 , т.е.
она является обильным дивизором. Если > 1, рассмотрим точную последовательность –модулей0 → ℱ ⊗ −1 / ⊗ (, ) → ℱ ⊗ (, ) →ℱ ⊗ (0 /−1 ) ⊗ (, ) → 0.Структура –модуля модулей ℱ ⊗ −1 / и ℱ ⊗ (0 /−1 ) совпадает соструктурой −1 –модуля. Следовательно, их когомологии на совпадают с когомологиями на −1 . Таким образом, из длинной точной последовательности когомологий попредположению индукции получаем для всех > 0 и всех > 0 ( , ℱ ⊗ (, )) = 0.Теорема доказана.Замечание 48. Конструкции подпространств и геометрических данных, приведенные втеореме, являются обобщениями отображений Кричевера, построенных в работах [118],[23].
Если геометрические данные взять на риббоне, который получается из поверхности иприведенного эффективного дивизора Картье на ней, как в примере 10, то эти конструкции совпадут.1184.1.6«Картинные» когомологииВ этом разделе вводится понятие «картинных» когомологий — когомологии некоторого комплекса, построенного по паре пространств (A, W) — и устанавливается связьэтих когомологий с когомологиями пучка без кручения на риббоне, построенных по паре (A, W).
В случае, когда риббон и пучок происходят из геометрических спектральныхданных, эти когомологии совпадают с когомологиями спектрального пучка на поверхности. Преимуществом этих когомологий является их легкая вычислимость и наглядность.Результаты этого раздела используются в главе 5.Пусть W — -подпространство в (())(())⊕ . Пусть1 = (())[[]],2 = [[]](())— -подпространства в (())(()). Рассмотрим следующий комплекс.(W ∩ 2⊕ ) ⊕ (W ∩ 1⊕ ) ⊕ (1⊕ ∩ 2⊕ ) −→ W ⊕ 2⊕ ⊕ 1⊕ −→ (())(())⊕(4.9)где первое отображение определено как(0 , 1 , 2 ) ↦→ (1 − 0 , 2 − 0 , 2 − 1 ),а второе как(01 , 02 , 12 ) ↦→ 01 − 02 + 12 .Замечание 49.
Предположим, что -подпространство ⊂ (())(())⊕ — часть обоб-щенной пары Шура(A, W) ⊂ (())(()) ⊕ (())(())⊕ .Пусть, по теореме 27, пара (A, W) соответствует данным (, , , , , , ). Предположим, что риббон (, ) происходит из алгебраической проективной поверхности , пучокбез кручения происходит из локально свободного пучка ℱ на , и.
т.д. Это означает,что данные (, , , , , , ) происходят из данных (, , ℱ, , , , ), где — алгебраическая проективная поверхность, — приведенный эффективный дивизор Картье,ℱ — локально свободный пучок ранга на , ∈ — гладкая точка на и , , — формальные локальные параметры в , такие что = 0 задает кривую на вформальной окрестности точки на , — формальная тривиализация пучка ℱ в .Предположим также, что — поверхность Коэно-Маколея, и — обильный дивизор на .
В этой ситуации в работах [23, 118] было доказано, что группы когомологий комплекса(4.9) совпадают с группами когомологий * (, ℱ).Наша цель теперь состоит в том, чтобы в общей ситуации сравнить когомологиикомплекса (4.9) с когомологиями пучков , где — пучок без кручения на риббоне (, ),в случае когда, например, этот риббон не происходит из алгебраической поверхности.Лемма 36. Когомологии комплекса совпадают со следующими -векторными простран-ствами:ℋ0 (W) = W ∩ 1⊕ ∩ 2⊕ ,W ∩ (1⊕ + 2⊕ )ℋ (W) =,W ∩ 1⊕ + W ∩ 2⊕1ℋ2 (W) =(())(())⊕.W + 1⊕ + 2⊕119Доказательство Имеется следующая точная последовательность:0 −→ 1⊕ ∩ 2⊕ −→ 1⊕ ⊕ 2⊕ −→ 1⊕ + 2⊕ −→ 0,где 1⊕ + 2⊕ рассматривается как -подпространство в (())(())⊕ .
Теперь возьмемфактор-комплекс комплекса (4.9)по следующему ацикличному комплексу:1⊕ ∩ 2⊕ −→ 1⊕ ∩ 2⊕ −→ 0.Получаем следующий комплекс:(W ∩ 2⊕ ) ⊕ (W ∩ 1⊕ ) −→ W ⊕ (2⊕ + 1⊕ ) −→ (())(())⊕ .Группы когомологий последнего комплекса совпадают с группами когомологий комплекса(4.9). А потому утверждение леммы теперь очевидно.Определение 65. Пространства ℋ (W), 0 ≤ ≤ 2 называются «картинными когомоло-гиями» пространства W.Теорема 28. Пусть W — часть пары Шура(A, W) ⊂ (())(()) ⊕ (())(())⊕ .Пусть (, , , , , , ) — соответствующие этой паре данные. Тогдаℋ0 (W) = 0 (, 0 ), 0 (, /0 )(4.10),(4.11)ℋ2 (W) = 1 (, /0 ).(4.12)ℋ1 (W) = 0 (, ) 0 (,0 )Доказательство По определению пучка без кручения на риббоне, имеем 0 = lim 0 / .←−>0Следовательно,0⊕⊕⊕ 0 (, 0 ) = lim←− (, 0 / ) = lim←−(W(0, ) ∩ 2 ) = W ∩ 1 ∩ 2 .>0>0Здесь мы использовали теорему 2 из [23], где соответсвтующий комплекс строился длявычисления в нашем случае когомологий когерентных пучков 0 / -модулей 0 / на1-мерной схеме −1 = (, 0 / ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
