Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

2, §3]), так какдля каждой ∈ ( ) ( ) -модули ( /+1 ) и (0 / ) являются плоскими ( ) ( ) модулями по предположению индукции по и по (3c) в определении 42(49). Поэтому мыполучаем из точной последовательности (4.2) что (0 /+1 ) является плоским ( ) ( ) модулем.В третьих, мы покажем, что локально окольцованное пространство это схема длякаждой ≥ 0.

Рассмотрим любое аффинное открытое подмножество ⊂ . Последовательность (4.1) ведет к следующей точной тройке:0 → /+1 ( ) −→ 0 /+1 ( ) −→ 0 / ( ) −→ 0.(4.3)Эта последовательность является точной последовательностью, потому что пучок /+1 является когерентным пучком на , и – это аффинное множество.

Имеем, что 0 /+1 ( ) и 0 / ( ) кольца, и мы хотим показать, что (, (0 /+1 )| ) ≃Spec(0 /+1 ( )).Ясно, что топологическое пространство Spec(0 /+1 ( )) = . В силу этого /+1 ( ) является нильпотентным идеалом в кольце 0 /+1 ( ), из точной последовательности (4.3), по индукции по получаем, что тождественное отображение на кольце0 /+1 ( ) индуцирует хорошо определенный морфизм пучков на :^ : 0 /+1 ( ) −→ (0 /+1 ) | ,̃︀ обозначим соответствующий квазикогерентгде для любого 0 /+1 ( )-модуля из ный пучок на Spec(0 /+1 ( )). Отображение это изоморфизм, что вытекает из следующей точной диаграммы пучков на :^^0 −→ /0^/ ( ) −→ 0+1 ( ) −→ 0 /+1 ( ) →↓↓↓0 −→ ( /+1 )| −→ (0 /+1 )| → (0 /+1 )| −→ 095Левая вертикальная стрелка этой диаграммы является изоморфизмом (3c) из 49. Праваявертикальная стрелка является изоморфизмом по индукции по .

Следовательно, средняявертикальная стрелка также изоморфизм. Таким образом, мы доказали, что это схемадля каждого ≥ 0. Это завершает доказательство первого утверждения предложения.Докажем второе утверждение предложения. Как и выше, доказательство проведемпо индукции по . Мы имеем следующую точную тройку -модулей:0 −→ + /++1 −→ /++1 −→ /+ −→ 0.По определению, пучок + /++1 является когерентным пучком на , и плоскимпучком над .

Пучок /+ является когерентным пучком −1 -модулей, и плоскимпучком над , по предположению индукции. Поэтому этот пучок также является когерентным пучком модулей , так как обе модульные структуры совпадают на этом пучке.Тем самым, пучок /++1 является когерентным (см. [27, prop. 5.7]) и плоским над (см.

[27, prop. 9.1]). Мы доказали второе утверждение предложения.Третье утверждение предложения легко следует из точной последовательности (4.1).1. Морфизм риббонов над Определение 50. : (, ) → ( ′ , ′ )— это морфизм окольцованных пространств над , сохраняющий фильтрации, т. е.для отображения ♯ : ′ → * (), для любых ∈ Z верно♯ (′ ) ⊂ * ( ).2. Изоморфизм риббонов — это морфизм, который имеет правый и левый обратный.Замена базыОбозначение. Будем также обозначать риббон (, ) как X̊∞ .Для ленты X̊∞ = (, ) над , и морфизма : ′ −→ нетеровых схем определим′следующим образом ленту с заменой базы X̊∞ = ( ′ , ′ ) над ′ : ′ := × ′ ,′′ := ←lim−( /+ ) ≥1для любого ∈ Z. Из утверждения 2 предложения 7 для всех ∈ Z, ≥ 0 имеем(+1 /++1 ) ′ ⊆ ( /++1 ) ′ .Следовательно, имеем.

. . ⊂ ′+1 ⊂ ′ ⊂ ′−1 ⊂ . . . ,и определим′′ := −lim→ .∈ZПо определению имеем= ( /+1 ) ′ для любого ∈ Z, и все аксиомы изопределения риббона выполняются.′ /′+1′Предложение 8. Для риббона X̊∞ = ( ′ , ′ ), полученного с помощью замены базы ′ → , выполняются следующие свойства:∙ ′ = × ′ для любого ≥ 0.∙ ′ /′++1 = ( /++1 ) ′ для любого ∈ Z и любого ≥ 0.Доказательство. Доказательство ясно из определения риббона и предложения 7.964.1.3Когерентные пучки на риббонеСпособом, аналогичным определению ленты, можно определить понятие пучка безкручения на ленте.Определение 51.

Пусть X̊∞ = (, ) – риббон над схемой . Будем говорить, что —пучок без кручения ранга на X̊∞ , если — пучок -модулей на с убывающей фильтрацией ( )∈Z в по 0 -подмодулям, который удовлетворяет следующим аксиомам.1. ⊆ + для любых , .2. Для каждого пучок /+1 — когерентный пучок на , плоский над , и длялюбого ∈ пучок /+1 | имеет когерентный подпучок с конечным носителем,и изоморфен ⊕ на открытом плотном множествеlim3. = −lim− /+ для каждого .→ и = ←>0Замечание 37. Из утверждения 2 определения 51 следует, что если (для ∈ )является неприводимой кривой, то пучок /+1 | — это пучок без кручения ранга на для любых ∈ Z.Если в этом определении ослабить условие 2, сказав, что /+1 — квазикогерентный пучок -модулей, мы получим определение инд-про-квазикогерентного пучка.Инд-про-квазикогерентные пучкиОпределение 52.

Пусть X̊∞ = (, ) – риббон, и ℱ – пучок -модулей. Будем называтьℱ инд-про-когерентным (Инд-про-квазикогерентным) на X̊∞ если он имеет убывающуюфильтрацию пучка (ℱ )∈Z со следующими свойствами.1. ℱ ⊆ ℱ+ .2. ℱ /ℱ+1 является когерентным (квазикогерентным) -модулем для любого .3. ℱ = ←lim− ℱ /ℱ+ .4. ℱ = −lim→ ℱ .Напомним, что проективная система ( , ∈ N) абелевых групп с отображениями′ удовлетворяют МЛ-условию (условию Миттаг–Леффлера), тогда и только тогда, когда для каждого ∈ N убывающее семейство подгрупп {′ (′ ) ⊂ | ′ ≥ ∈ N}стабилизируется.Нам понадобится следующая лемма, которую легко доказать, с помощью [27,prop. 9.1].Лемма 31.

Если0 −→ ( ) −→ ( ) −→ ( ) −→ ( ) −→ 0— точная последовательность проективных систем абелевых групп по отношению к N,и проективные системы ( , ∈ N) и ( , ∈ N) удовлетворяют МЛ-условию, тогдаиндуцированная последовательность проективных пределов0 −→ lim←− −→ lim←− −→ lim←− −→ lim←− −→ 0∈N∈N∈N∈Nтакже точна.97Предложение 9. Пусть X̊∞ = (, ) – это риббон и ℱ – инд-про-квазикогерентныйпучок на X̊∞ . Тогда верно следующее.1. ℱ /ℱ++1 – квазикогерентный -модуль для любых ≥ 0, ∈ Z.2. ℱ ( )/ℱ ( ) → (ℱ /ℱ )( ) – изоморфизм для всех < и для любого аффинногооткрытого подмножества ⊂ .3. Если X̊∞ – это риббон над артиновым кольцом, тогда для любого аффинного открытого подмножества ⊂ имеем 1 (, ℱ ) = 1 (, ℱ) = 0.Доказательство Доказательство утверждения 1 данного предложения аналогично до-казательству утверждения 2 предложения 7.Докажем утверждение 2 предложения.

У нас всегда есть точная последовательность0 → ℱ ( ) → ℱ ( ) → (ℱ /ℱ )( ),и для < < имеем точные последовательности0 → (ℱ /ℱ )( ) → (ℱ /ℱ )( ) → (ℱ /ℱ )( ) → 0,поскольку, согласно утверждению 1, ℱ /ℱ – это квазикогерентный пучок −−1 модулей.Далее, поскольку ℱ ( ) = ←lim−(ℱ /ℱ )( ) и все отображения (ℱ /ℱ+1 )( ) →≥(ℱ /ℱ )( ) сюръективны, мы также имеем сюръекции ℱ ( ) → (ℱ /ℱ )( ) (см. Лемма 31).Докажем утверждение 3 предложения.

Поскольку — это кривая над артиновым кольцом, каждое открытое подмножество открытого аффинного множества снова аффинно. Возьмем вложение ℱ ˓→ в вялый пучок, тогда 1 (, ℱ ) – коядро ( ) → (/ℱ)( ), и мы должны показать, что любое сечение (/ℱ)( ) поднимается до сечения ( ).Поскольку пространство , с которым мы имеем дело является нетеровым, мы имеемсамое большое открытое множество ′ ⊆ в котором существует подъем ′ заданногосечения. Мы покажем, что предположение ′ $ ведет к противоречию. Пусть ∈ ∖ ′ ,тогда найдем окрестность ′′ ⊂ точки и подъем ′′ на ′′ заданного сечения.

Еслибы ′ ∩ ′′ = ∅, мы бы могли расширить ( ′ , ′ ) до ( ′ ∪ ′′ , ′ на ′ , ′′ на ′′ ). Если ′ ∩ ′′ ̸= ∅, то получаем сечение = ′ − ′′ из ℱ ( ′ ∩ ′′ ).Мы утверждаем, что ℱ ( ′ ) ⊕ ℱ ( ′′ ) → ℱ ( ′ ∩ ′′ ) сюръективно, поэтому можемзаписать = ′ − ′′ , где ′ ∈ ℱ ( ′ ), ′′ ∈ ℱ ( ′′ ). Тогда | ′ = ′ − ′ и | ′′ = ′′ − ′′определили бы подъем в ′ ∪ ′′ , и тем самым ′ было бы не максимальным.Доказательство утверждения.

Имеем точную последовательность проективных систем↓↓↓′′′′′′0 → ℱ /ℱ+1 ( ∪ ) → ℱ /ℱ+1 ( ) ⊕ ℱ /ℱ+1 ( ) → ℱ /ℱ+1 ( ′ ∩ ′′ ) → 0↓↓↓′′′′′′0 → (ℱ /ℱ )( ∪ ) → (ℱ /ℱ )( ) ⊕ (ℱ /ℱ )( ) → (ℱ /ℱ )( ′ ∩ ′′ ) → 0↓↓↓где все стрелки сюръективны. Тем самым проективный предел остается точным (см. Лемма 31). Для ℱ это утверждение выполнено, поскольку когомологии коммутируют с lim−→.98Следствие 12. Пусть X̊∞ = (, ) – это риббон над , где – это артиново кольцо.Пусть ℱ – инд-про-квазикогерентный пучок на X̊∞ , и – это проективная кривая над.1.

Если = 1 ∪ 2 , где 1 и 2 аффинные открытые подмножества, тогда имеемточную последовательность0 → 0 (, ℱ) → 0 (1 , ℱ) ⊕ 0 (2 , ℱ) → 0 (1 ∩ 2 , ℱ) → 1 (, ℱ) → 0.2. Если ℱ инд-про-когерентный пучок, тогда* * (, ℱ) = −lim→ lim←− (− , ℱ /ℱ+1 ).≥Доказательство Первое утверждение этого следствия – это точная последовательностьМайера-Виеториса, согласно утверждению 3 предложения 9, поскольку 1 и 2 – аффинные множества.Докажем теперь второе утверждение этого следствия. Заметим, что для любого ∈Z проективная система ( 0 (, ℱ /ℱ+ ), ∈ N) удовлетворяет МЛ-условию, потому что 0 (, ℱ /ℱ+ ) – это артинов -модуль для любых , , и отображения в проективнуюсистему являются отображениями -модулей.Заметим, что, поскольку – кривая над артиновым кольцом, существуют некоторыеаффинные открытые подмножества 1 и 2 из такие что = 1 ∪ 2 . Для любогофиксированного ∈ Z проективная система ( 0 (1 , ℱ /ℱ+ ) ⊕ 0 (2 , ℱ /ℱ+ ), ∈ N)удовлетворяет МЛ-условию в силу утверждения 2 предложения 9.Теперь, поскольку когомологии коммутируют с точными пределами, второе утверждение этого следствия следует из первого утверждения, с учетом леммы 31.Свойство когерентностиЗамечание 38.

Пучок может быть не когерентным в обычном смысле (согласно Э.Картану, см. [137]).Напомним, что пучок ℱ -модулей на топологическом пространстве являетсякогерентным, если он удовлетворяет следующим двум свойствам.1. ℱ локально конечного типа, т.е. для любой точки ∈ существуют открытое ∋ и конечное число сечений 1 , . . . , ∈ ℱ( ) таких, что для любой ∈ слой ℱпорожден образами 1 , . . . , над .2. Пучок = ((ℱ| )⊕(1 ,..., )−→(ℱ| )), где ∈ ( ) для некоторого открытого ,(1 ,..., )является пучком∑︀ локально конечного типа. Отображение −→ отображает элемент(1 , .

. . , ) в .Пучок называется когерентным, если он когерентный как -модуль.Рассмотрим следующее окольцованное пространство: (, (()) ), где — приводимая алгебраическая кривая над полем , ∈ — замкнутая точка, и пучок (())определен следующим образом∞∑︁ (()) ( ) := { , где ∈ ( ) при ≥ 0 и ∈ ( ) при < 0 },=где — пучок идеалов точки . Очевидно, это пучок и (, (()) ) является риббоном√ над полем . Этот пучок является аналогом пучка (()) из [78].99Пример 11. Это пример некогерентного пучка риббона.Пусть — плоская аффинная сингулярная кубическая кривая, заданная уравнением = 2 ( + 1) над полем , ∈ — замкнутая точка = = 0.

Характеристики

Список файлов диссертации