Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Если — локальное уравнение кривой в точке , то ( )[[, ]] =^, = ^ /( ) → [[]] = [[, ]]/() — [[, ]], и индуцированное отображение : изоморфизм. (Определение не зависит от выбора подходящего . Кроме того, из̂︀ -модуль ранэтого определения следует, что — вложение, [[, ]] — свободный га относительно . Более того, для любого элемента из максимального идеалаℳ кольца , такого что элементы и порождают ℳ , имеют место равенства(( )) = (0, ), (()) = (1, 0).)5.

ℱ — квазикогерентный пучок без кручения на .786. : ℱ ˓→ [[, ]] — вложение -модулей, удовлетворяющее следующим условиям для всякого ≥ 0 (отметим, что согласно пункту 4 этого определения, [[, ]]— -модуль относительно ). Согласно пункту 2 существует минимальное натуральное число , такое что ′ = — очень обильный дивизор на . Пусть : 0 (, ℱ( ′ )) ˓→ ℱ( ′ ) обозначает вложение (это вложение, поскольку ℱ( ′ ) —квазикогерентный пучок без кручения на ). Пусть : ℱ( ′ ) → ℱ обозначаетестественный изоморфизм -модулей, заданный умножением на элемент ∈ ,где ∈ выбран как в пункте 4. Пусть : [[, ]] → [[, ]]/(, )+1 обозначаетестественный эпиморфизм колец.

Мы требуем, чтобы отображение ∘ ∘ ∘ : 0 (, ℱ( ′ )) −→ [[, ]]/(, )+1было изоморфизмом. (Эти условия на отображение не зависят от выбора подходящего элемента .)Множество всех данных ранга обозначим через .Замечание 27. Наше определение геометрических данных слегка более общее, чем аналогичные определения в работах [118], [23]. В частности, мы не требуем, чтобы поверхностьбыла Коэно-Маколеевой, дивизор может быть не дивизором Картье, но ”-Картье, ипучок ℱ может не быть локально свободным.Эти ограничения в определениях работ [118], [23] объясняются тем, что геометрические данные с этими ограничениями могут быть восстановлены с помощью некоторой комбинаторной конструкции по подпространствам, лежащим в образе отображенияКричевера-Паршина (см.

там же). В некоторых случаях эта конструкция может бытьперенесена на более широкий класс данных, см. предложение 30 в главе 5.Замечание 28. Отметим, что ранг геометрических данных в общем случае отличаетсяот ранга пучка ℱ , ср. замечание 72 в главе 5.Если ℱ — свободный -модуль ранга , то индуцирует изоморфизм ^ : ℱ̂︀ ≃̂︀ -модулей. Это условие выполняется, если ℱ — когерентный пучок ранга , см.[[, ]] следствие 27 в главе 5.^1 , ^2 : ℱ^ ≃ [[, ]] пучка рангаЗамечание 29. Заметим, что любые две тривиализации один отличаются умножением на элемент ∈ [[, ]]* . В некоторых случаях условияна отображение в последнем пункте определения можно переписать в чисто алгеброгеометрическом смысле, см.

предложение 30 ниже.Альтернативное определение геометрических данныхВ этом параграфе мы предлагаем альтернативное определение геометрических данных. Это определение может показаться специалистам более "геометрическим".Введем следующие обозначения: = Spec [[, ]] ⊃ 1 = Spec [[]] (схема определенная уравнением = 0), =Spec() ∈ 1 , = [[, ]], ℳ = (, ) ⊂ .Определение 46. Геометрические данные (ранга ) — это тройка (, , ℱ), где —неприводимая проективная поверхность,: →— доминантный -морфизм, и ℱ ⊂ * — квазикогерентный подпучок, удовлетворяющийследующим условиям:791.

* (1 ) = ⊂ — кривая1 (автоматически неприводимая), и через = () —точку, регулярную в и в .2. 1 × { } = {}, × = 1 (расслоенное произведение здесь — подсхема в , и 1 — эффективный дивизор Картье в ), число называется рангом тройки(, , ℱ).3. Существует эффективный, очень обильный дивизор Картье ′ ⊂ с циклом( ′ ) = , и для всех > 0 индуцированное отображение (вложением ℱ ⊂ * ) 0 (, ℱ( ′ )) → 0 (, * ( ′ )) = 0 (, (1 )) =− → − /ℳ+1 − (3.20)— изоморфизм.Доказательство эквивалентности двух определений мы оставляем читателю.Замечание 30.

Для геометрических данных выполняются следующие свойства:1) — Q-Картье дивизор и 2 = ( ′ · )/ = ( ′ )2 /2 .2) 0 (, ℱ) ≃ (в силу (3)), поэтому есть естественное вложение ⊂ ℱ .3) ℱ — пучок без кручения на , и если ℱ когерентен, тоrk(ℱ)( 2 ) = 2 .Действительно, для ℱ имеем( + 1)( + 2).2Если ℱ когерентен ранга , то ℱ ∼ (∼ означает, что старшие члены полиномовГильберта пучков совпадают). Для любого когерентного пучка на функция (( ′ ))полиномиальна степени dim() = с положительным старшим коэффициентом (∈ Z/!),так что (ℱ( ′ )) ∼ ( ( ′ )) и 2 2 /2 = ( ′ )2 /2.(ℱ( ′ )) =Предложение 6.

Если вложение , → ℱ — изоморфизм, то = 1. Далее, = ℱесли и только если = P2 и — прямая в P2 .Доказательство Если задается уравнением = 0 в малой окрестности точки (по(1) кольцо , регулярно, и , = , / , ), то = (в силу (2)) и ℱ( ′ ) =(ℱ ) . В силу (3) имеем− = 0 (, ℱ( ′ )) ⊕ ℳ+1 − ,так что − = ℱ − + ℳ+1 − , и если ℱ = , , то получаем = [[, ]] +ℳ+1 (для доказательства мы можем предполагать, что , — порождающие идеала^ , = ℳ, ^, ).

Это возможно только при = 1. Если = ℱ , то мы получаемℳканонические базисы для всех групп 0 (, ( ′ )) вида , 0 ≤ ≤ + ≤ , и ℎ = +ℎ,+ в 0 (∖, ) =: ( соответствует элементу при изоморфизме в(3)). Таким образом, = [, ] с = 10 , = 01 (и тогда = ).Так как = Proj ⊕≥0 0 (, ( ′ )) = Proj(⊕≥0 ),∑︀где = +≤ , мы получаем (подстановкой = ′ / , = ′ / , = )⊕≥0 = [(′ ) ( ′ ) | + + = ],т.е.

— вложенная отображением Веронезе степени плоскость P2 . Так как 2 = 1,получаем что — прямая.Обозначение: для морфизма нетеровых схем : → и замкнутой подсхемы ⊂ , через * ⊂ мы обозначаем замкнутую подсхему, определенную идеалом ker( →* → * )1*803.5.3Ассоциированные пары ШураДля геометрических данных(, , , ℱ, , ) ранга определим пару подпространств, ⊂ [[]](()),где — фильтрованная подалгебра в [[]](()) и — фильтрованный -модуль, следущим образом:Пусть — локальная порождающая идеала (− ′ ) , где ′ = — очень обильный дивизор Картье (см.

определение 45, пункт 6). Тогда (( )) = (0, ) в кольце[[, ]], и следовательно ( )−1 ∈ [[]](()). Таким образом, имеются естественные вложения для любого > 0 0 (, ℱ( ′ )) ˓→ ℱ( ′ ) ≃ − (ℱ ) ˓→ [[]](()),где последнее вложение — это вложение − ℱ ˓→ − [[, ]]˓→[[]](()) (ср. определение 45, пункт 6). Следовательно, определено вложение0′1 : 0 (∖, ℱ) ≃ lim−→ (, ℱ( )) ˓→ [[]](()).>0defОпределим = 1 ( 0 (∖, ℱ)). Аналогично определяется вложениеdef 0 (∖, ) ˓→ [[]](()) (и мы будем также обозначать его 1 ). Определим =1 ( 0 (∖, )).Из этой конструкции следует, что ⊂ [[′ ]]((′ )) ⊂ [[]](()),(3.21)где ′ = ( ), ′ = () (см.

также определение 45, пункт 4). Таким образом, на определена фильтрация , индуцированная фильтрацией ′ − [[′ ]][[′ ]] на пространстве[[′ ]]((′ )):−(3.22) = ∩ ′ [[′ ]][[′ ]] = ∩ − [[]][[]]Аналогичная фильтрация определена на пространстве ⊂ [[]](()): = ∩ − [[]][[]].(3.23)Заметим, что ≃ 0 (, ℱ( ′ )) по определению 45, пункт 6, и по конструкции отоб∞˜ ), где ˜ = ⨁︀ .ражения 1 , так что ℱ ≃ Proj(=0Заметим, что пространство удовлетворяет условию 1 определения 42. Как следуетиз определения ⊂ [[′ ]]((′ )) = [[]](( )), где ′ = ( ), ′ = () (ср. определение 45,пункт 4). Также Supp() ⊂ Supp( ), так как 1 ∈ Supp и является (по конструкции)-модулем без кручения. Ясно, что trdeg(Quot()) = 2 и конечно порождена как ˜ ≥ .алгебра. Согласно пункту 4 определения 45 имеем ≥ , Ассоциированные пары Шура для альтернативных геометрических данныхТу же пару подпространств (, ) можно определить также в терминах альтернативного определения геометрических данных. А именно, каждой тройке (, , ℱ) мысопоставляем пару (, ), ⊂ [−1 ] = [[]](()), ⊂ [−1 ], где = 0 (∖, ) ≃lim 0 (, ( ′ )) вложено посредством отображения−→>0 * : 0 (, ( ′ )) → 0 (, * ( ′ )) = 0 (, * (1 )) = · −81и аналогично определяется для ℱ ⊂ * .

— фильтрованное подкольцо с фильтрацией = ∩ · − , и — фильтрованный -модуль с фильтрацией = ∩ · − .Пара (, ) определяет тройку (, , ℱ), где и ℱ определяются так же, как выше,и морфизмы : → , ℱ ⊂ * определяются через вложения ⊂ [[]](()), ⊂[[]](()).Некоторые леммы технического характераДля геометрических данных (, , , ℱ, , ) ранга имеем: (, ( )) ≃ для всех ≥ 0, где ′ = — обильный дивизор Картье.∞˜ , где ˜ = ⨁︀ .В частности, имеется изоморфизм ≃ Proj()Лемма026.′=0Доказательство По определению кольца имеем: = { ∈ | ∈ [[]][[]]} = { ∈ | ( ) ≥ 0}.Также по определению имеем: 1 ( 0 (, ( ′ ))) ⊂ . Пусть ∈ . Тогда ∈ 1 ( 0 (, ( ′ )))для некоторого ≥ .

Покажем, что ∈ 1 ( 0 (, ( ′ ))). Предположим обратное: ∈/ 1 ( 0 (, ( ′ ))). Ниже мы будем отождествлять со своим прообразом в 0 (∖, ) или в − (, ).Существует окрестность ( ) точки , где обильный дивизор Картье ′ задается элементом . Так как ∈ , имеем: ∈ − (, ); таким образом, | ( ) ∈Γ( ( ), ( ′ )). Теперь мы имеем следующую коммутативную диаграмму:˓→ 0 (, ( ′ )/ ( ′ ))↓↓,′′0′′0 → Γ( ( ), ( )) → Γ( ( ), ( )) → ( ( ) ∩ , ( )/ ( ))где вертикальные стрелки — вложения (правая вертикальная стрелка — вложение, таккак ( ′ )/ ( ′ ) ≃ / (( − ) ′ )) ⊗ ( ′ ) и (, / (( − ) ′ )) —неприводимая схема из-за свойств дивизора ).Но () = 0, противоречие. Итак, ∈ 0 (, ( ′ )).Лемма 27.

Кольцо , соответствующее геометрическим данным (, , , ℱ, , ) ранга, удовлетворяет следующему свойству: существует константа ≥ 0, такая что длявсех достаточно больших ≥ 0 и всех ≤ − пространство содержит элемент с нормированием () = (−, ).В частности, кольцо строго допустимо.Из леммы 26 следует ≃ ProjДоказательствообразом, кольцо ˜() =∞⨁︀∞⨁︀ (ср. [118, lemma 9]). Таким=0 конечно порождено как -алгебра (ср.

[149, Corol. 10.3]).=0∞⨁︀Тогда кольцо ˜ =−1⨁︀ ˜(,) тоже конечно порождено как -алгебра, так как ˜ = ,=0∞⨁︀где модули ˜(,) ==0+ , 0 < < естественно изоморфны идеалам в ˜() , которые=0конечно порождены как ˜() -модули.82Имеем˜Proj((−1))≃ Proj(˜,−1 ) по [63, prop.2.4.7], Proj(˜,−1 ()) ≃ (Proj(˜,−1 ))( ′ )′˜(см.

Характеристики

Список файлов диссертации