Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Всякий 1-допустимый оператор имеет вид = 0 , где = 1 + − , − ∈[1 ][[2−1 ]]2 — 1-допустимый оператор,^ 1,0 = 0 exp(1 2 1 ) exp(2 2 + 3 1 ) ∈ с 0 , 1 , 2 , 3 ∈ .Доказательство В силу леммы 17 любые два оператора с постоянными коэффициентами1 , 2 вида1 = 1 +∞∑︁=1 2− ,2 = 2 +∞∑︁ 2−=1и удовлетворяющие условию 1 получаются с помощью сопряжения 1 = −1 1 , 2 = −1 2 , где = 1 + − ∈ [[1 , 2 ]][1 ]((2−1 )) — обратимый 1-допустимый оператор.С другой стороны, как легко проверить, для оператора^ 1,0 = 0 exp(1 2 1 ) exp(2 2 + 3 1 ) ∈ (3.14)где 0 , 1 , 2 , 3 ∈ , имеем0−1 1 0 = 1 + 3 ,0−1 2 0 = 2 + 1 1 + 1 3 + 2 .Таким образом, любой 1-допустимый оператор может быть записан в виде = 0 .^ эквиваОпределение 36. Коммутативные -квази-эллиптические кольца 1 , 2 ⊂ ^ 1 как в лемме 16 пункт 1b, такой чтолентны, если существует обратимый оператор ∈ 1 = 2 −1 .Следующая лемма проясняет структуру элементов в кольце, обладающем парой нормализованных операторов, а также в любом эквивалентном ему кольце.^ коммутирующих операторов содержит паруЛемма 20.
i) Если кольцо ⊂ Π1 ∩ нормализованных операторов , порядков ordΓ ( ) = (0, ), ordΓ () = (1, )то∑︀( > 0),у всех операторов в старшие коэффициенты постоянны, т.е если = =0 2 , то — оператор с постоянными коэффициентами. В частности, ∈ 1 (т.е. имеетконечный порядок).Более того, любой оператор ′ ∈ порядка ordΓ ( ′ ) = (0, ) имеет вид′ =∑︁где ′ ∈ и ′−1 имеет постоянные коэффициенты′ 2 ,=0и любой оператор ′ ∈ порядка ordΓ (′ ) = (1, ) имеет вид′ =∑︁′ 2 ,где ′ = 1 1 + 0 , 0 , 1 ∈ .=0^ 1 , — эквивалентное 1-квазиэллиптическое кольцо,ii) Если ′ = −1 , где ∈ содержащее пару нормализованных операторов ′ , ′ порядковordΓ ( ′ ) = (0, ′ ), ordΓ (′ ) = (1, ′ ) ( ′ > 0), то имеет вид^ 1, = 0 exp(1 2 1 ) exp(2 2 + 3 1 ) ∈ где 0 , 1 , 2 , 3 ∈ (ср. лемму 19).68Доказательство i) Имеем0 = [, ′ ] = 2 (′ )2+−1 + 2 (′−1 )2+−2 + [−2 , ′ ]2+−2 +члены младшей степени.
(3.15)Следовательно 2 (′ ) = 0, т.е. ′ не зависит от 2 . Тогда0 = [, ′ ] = [1 , ′ ]2+ + [1 , ′−1 ]2+−1 + [−1 , ′ ]2+−1 +члены младшей степени. (3.16)Отсюда [1 , ′ ] = 0 и следовательно ′ должен быть оператором с постоянными коэффициентами. Таким образом, ′ ∈ 1 (и, очевидно, эти рассуждения работают для любогооператора из ). Так как ordΓ ( ′ ) = (0, ), то ′ — константа, и так как ordΓ (′ ) = (1, ),то ′ должен быть многочленом первой степени. Но тогда из (3.16) получаем [1 , ′−1 ] = 0,т.е. ′−1 не зависит от 1 , и из (3.15) получаем 2 (′−1 ) = 0, т.е.
′−1 должен быть оператором с постоянными коэффициентами.˜ для некоторых операторов ˜ , ˜ ∈ . Так как ii) Имеем ′ = −1 ˜ , ′ = −1 обратим, мы, очевидно, имеем = ∈ *mod (1 , 2 ).˜ — операторы с поСледовательно, так как по пункту i) старшие члены операторов ˜ , ˜ = (1, ′ ). Из леммыстоянными коэффициентами, должно быть ordΓ (˜ ) = (0, ′ ) и ordΓ ()19 мы знаем, что существует оператор 0 вида exp(1 ) такой что 0−1 ˜′ 0 = 1 (здесь˜′ — линейный многочлен с постоянными коэффициентами). Тогда, очевидно, оператор ′ = 0−1 не зависит от 1 .
Таким образом, = ′ 0 .˜ ∈ Π1 , и из пункта i) мы знаем, что ˜′ , ˜′ −1 —Из леммы 15 мы знаем, что ˜ , ′операторы с постоянными коэффициентами (и ˜′ = 2 ). Таким образом, ′ имеет вид ′ = exp( (2 , 1 )),где — многочлен от 2 , 1 . Этот многочлен линеен если и только если ˜′ −1 линеен. Ноесли он не линеен, то оператор ( ′ )−1 ˜ ′ не будет удовлетворять условию 1 (так как ˜удовлетворяет 1 при некоторых (, )), противоречие. Значит, он линеен, ч.т.д.Замечание 17. Из леммы непосредственно следует, что если содержит пару норма-лизованных операторов, то любое эквивалентное ему кольцо ′ , содержащее пару нормализованных операторов, получается из сопряжением на оператор специального вида, иэто сопряжение эквивалентно линейной замене переменных2 ↦→ 2 + 1 + ,1 ↦→ 1 + (3.17)где , , ∈ .
Пара Шура, соответствующая такому кольцу ′ , будет также эвивалентнапаре, соответствующей .Обратно, если взять произвольную пару Шура (, ) в данном классе эквивалентности, то соответствующее кольцо строится как = −1 , где теперь определяетсяиз аналога теоремы Сато. Если (′ , ′ ) — эквивалентная пара Шура, то ′ = −1 , ′ = для некоторого 1-допустимого оператора , который может быть записанв виде (см.
лемму 19) = ′ 0 , где 0 имеет вид как в (3.14), и ′ = 1 + − , где^ 1 [[2−1 ]]2−1 . Теперь нетрудно видеть, что соответствующий пространству ′ опера− ∈ тор Сато равен ′ = 0−1 ′ 0 . Тогда соответствующее кольцо ′ = ′ ′ ( ′ )−1 = 0−1 0 ,т.е. оно получается из линейной заменой (3.17). Оно будет автоматически содержатьпару нормализованных операторов.69Объединяя все рассуждения выше вместе, получаем:Теорема 21. Существует взаимно-однозначное соответствие между классами экви-валентности 1-квази-эллиптических пар Шура (, ) из определения 35 с носителемSupp( ) = ⟨1− 2− |, ≥ 0⟩ и классами эквивалентности 1-квази-эллиптических колец^.(см.
определения 30, 36) коммутирующих операторов ⊂ Замечание 18. Пара (, ) — аналог пары Шура, см. [107].Мы ограничились рассмотрением случая 1-квази-эллиптических колец в теореме 21только из за лемм 16, 2b о возможности нормализации. То же утверждение верно еслизаменить слова "1-квази-эллиптические"на "квази-эллиптические". Доказательство то же.Если имеется кольцо ⊂ коммутирующих ДО, удовлетворяющее свойству из теоремы 18, то по лемме 12 и в силу предложения 1 существует линейная замена переменных,делающая это кольцо 1-квазиэллиптическим вполне допустимым. Более того, как следуетиз доказательств этих утверждений, почти все линейные замены переменных сохраняютсвойство кольца быть 1-квазиэллиптическим вполне допустимым. В частности, для почтивсех линейных замен выполняетя следующее дополнительное свойство операторов , изопределения 30:( ) =2+∑︁=1ℎ 1 2− ,ℎ ̸= 0;() =1 2++1∑︁ 1 2+1− ,+1 ̸= 0.(3.18)=2Замечание 19.
Из конструкции раздела 3.4, объясняющей соответствие между геомет-рическими данными и 1-квазиэллиптическими вполне допустимыми кольцами, следует,что кольцо после такой линейной замены переменных соответствует данным с теми жеповерхностью и дивизором, но с возможно другими пучком, точкой и тривиализациями, (ср. также с замечанием 32, теоремой 18 и предложением 26).Замечание 20. Если кольцо ДО является 1-квазиэллиптическим вполне допустимым,то, очевидно, существуют два оператора , как в определении 30 с = + 1 = ord( ).В этой ситуации, повторяя рассуждения из доказательства леммы 16, пункт 1, можноувидеть, что существуют некоторые ∈ и ∈ [[1 , 2 ]]* , такие что операторы −1 ( +) , −1 нормализованы.
Значит, в классе эквивалентности кольца мы можем найтикольцо кольцо ДО с парой нормализованных операторов.Как показывают рассуждения из замечания 17, всякая пара Шура эквивалентнаяпаре Шура, ассоциированной с , соответствует кольцу ′ , получающемуся из линейнойзаменой переменных (3.17). Таким образом, ′ — тоже кольцо ДО!3.5Классификация в терминах геометрических данныхВ этом разделе излагается классификация 1-квази-эллиптических колец коммутирующих операторов в терминах геометрических данных.Мы собираемся установить соответствие между некоторыми 1-квази-эллиптическимипарами Шура и геометрическими данными из так называемого обобщенного соответствияКричевера-Паршина, см. [118], [23] (на самом деле, мы несколько модифицируем эти данные, см.
определение 45 и замечание 27 ниже). Мы будем рассматривать не все 1-квазиэллиптические пары Шура, но лишь те, которые удовлетворяют условию строгой допустимости (см. определения ниже). Подчеркнем, что такие пары включают, в частности,все пары, происходящие из колец дифференциальных операторов в частных производных,70которые упоминались в начале предыдущего параграфа. В результате мы получим соответствие между 1-квази-эллиптическими строго допустимыми кольцами коммутирующих^ и геометрическими данными.операторов в Для этого нам потребуется следующий "трюк".Лемма 21. Пусть — замкнутое -подпространство ⊂ [1−1 ]((2 )) с носителемSupp( ) = ⟨1− 2− |, ≥ 0⟩.
Пусть {, , , ≥ 0} — базис в , однозначно опреде−−ленный условиями , = 1− 2− + ,, где ,∈ [1−1 ][[2 ]]2 . Предположим, что всеэлементы , удовлетворяют условию с ≥ 1.Тогда существует изоморфизм : → ′пространства с замкнутым -подпространством ′ ⊂ [[]](()) с носителемSupp( ′ ) = ⟨ −[]− |, ≥ 0⟩, где [] — наименьшее целое число большее или равное.Доказательство Рассмотрим композицию отображений 1 ↦→ ′ := 1−1 , 2 ↦→ [] , и ′ ↦→ = ′ .
Согласно условиям леммы образы элементов , будут корректно определеннымиэлементами из [[]](()), композиция этих отображений является, очевидно, -линейнымотображением и изоморфизмом на замкнутое -подпространство ′ ⊂ [[]](()) снужными свойствами. В дальнейшем будем обозначать эту композицию через .Следствие 10. Пусть — замкнутое -подпространство как в лемме, и пусть = 1.Тогда ′ из леммы имеет носитель Supp( ′ ) = ⟨ − |, ≥ 0, − ≤ 0⟩.Более того, в этом случае изоморфизм 1 индуцирует изоморфизм1 : [1−1 ]((2 )) ∩ Π1 → [[]](()).Доказательство очевидно.Определение 37. Обозначим через или 2 дискретное нормирование поля (())(())рядов по . Обозначим через или 1 дискретное нормирование поля (()). Эти нормирования образуют нормирование ранга два = ordΓ (ср. определение 17) поля (())(()):() = ( (¯), ()), где ¯ обозначает вычет элемента − () в кольце нормирования .Замечание 21.
Рассмотрим подпространство в [[]](()) с носителем Supp( ) =⟨ − |, ≥ 0, − ≤ 0⟩ (ср. следствие 10). Пусть — стабилизатор пространства : · ⊂ . Для всякого элемента ∈ имеем LT() ∈ Supp( ), поскольку длявсякого элемента ∈ с LT() = 1 выполнено LT() = LT(). Таким образом,Supp() ⊂ Supp( ). Следующая общая теорема была доказана в [16].Пусть пространство = (())(()), и определим подпространства 1 = (())[[]],2 = [[]](()). Для любого целого , для любого -подпространства ⊂ пусть () = ( 1 ∩ )/(+1 1 ∩ ). Заметим, что () естественным образом вкладываетсяв пространство (()).
Определим( ()) = dim ( () ∩ [[]]) − dim ( /( () + [[]])Теорема 22. Пусть — -подпространство в пространстве , такое что для любогоцелого числа пространство () является Фредгольмовым подпространством в одномерном локальном поле (см. 1.34), и ( ()) = + , где < 0. Пусть кольцо — это -подпространство пространства , такое что ⊃ , · ⊂ . Тогдаa) для любого элемента ∈ мы имеем () ≤ ().b) trdeg Quot( ∩ 2 ) ≤ 2, и поле Quot( ∩ 2 ) конечно порождено над основнымполем .71Доказательство a) Предположим обратное. Тогда существует элемент ∈ , такой что () > (). Мы имеем · ⊂ и · (0) ⊂ ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
