Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. 1Легко проверить, что (( −1 )) будет опять ассоциативным кольцом.∑︀Всякий элемент ∈ можно формально записать как сумму = ß∈Γ ß 11 . . . (здесь некоторые коэффициенты ß могут быть равны нулю).Согласно определению существует старший член HT( ) = 1 ... 11 . .
. , где1 ... ̸= 0, и (1 , . . . , ) ≥ (1 , . . . , ) если 1 ,..., ̸= 0. У него те же свойства, чтои у старшего члена определенного в (). Определим функцию порядка ordΓ ( ) =(1 , . . . , ).Замечание 11. Если ∈ и если HT( ) = 1 ... 11 . . .
, то 1 ... обратим в если и только если обратим в .Определение 16. Пусть — кольцо с системой координат (1 , . . . , ), пусть = (1 +. . . + ) — идеал и / = . Тогда определен правый идеал 1 + . . . + ⊂ и правый -модуль /(1 + . . . + ) ≃ ((1 )) .
. . (( )) (изоморфизм -векторныхпространств), что определяет структуру правого -модуля на = ((1 )) . . . (( )). Кроме51того, имеется изоморфизм () ≃ [1 , . . . , ] (здесь фильтрация в определена, какобычно, степенями идеала ), и мы будем обозначать через ¯ образ элемента ∈ в().Обозначим через идеал и для ∈ положимord () = sup{| ∈ },ord () = sup{| ∈ }.По аналогии с определениями 13, 14 в кольце () можно определить более тонкую Γфильтрацию, где Γ = Z упорядочена,как и прежде, анти-лексикографически, и функцию∑︀Γ-порядка ordΓ : если ¯ =¯1 ...
11 . . . ∈ (), тоordΓ (¯) = min{(1 , . . . , ) ∈ Γ|¯1 ... ̸= 0}.Теперь для ∈ положимord1 ,..., () = ordΓ (¯),и для ∈ положимord1 ,..., ( ) = min{(ord1 ,..., (ß ) ∈ Γ}.ß∈ΓВ дальнейшем мы будем писать ß ( ß ) вместо 11 . . . (11 . . . ) для мульти-индексаß = (1 , . . . , ). Для ∈ обозначим через (0) образ по модулю в .Заметим, что ord , ord , ord1 ,..., — (псевдо)-нормирования.3.1.2ПополнениеРассмотрим полное кольцо с -адической топологией ( — идеал в ): =(/ ).lim←−≥0Пусть ⊂ — подалгебра; определим для всякой последовательности ( ∈ )∈N ,такой что () равномерно сходится в (т.e. для любого > 0 существует > 0 такоечто () ⊆ для ≥ ), -линейный оператор : → ( ) = −lim→∑︁ ( ), :=→∞ =0∑︁(он может не быть дифференциальным оператором).^ алгебру таких операторов.
Легко проверить, что она ассоциаОбозначим через тивна.Определим также^ = алгебра порожденная ^ и .^ := ^Если (1 , . . . , ) — система координат и = 1 +. . .+ , определим алгебру где = [1 , . . . , ].^ однозначно определяется по последовательности 1 ... =Оператор в 1^ соответствуют в точности тем последователь (1 . . . /1 ! . . . !). Элементы из ностям (ß = 1 ...
)ß∈N , которые сходятся к нулю в -адической топологии при|ß| = 1 + . . . + → ∞. А именно,∑︁∑︁(ß ) ←→ =ß 11 . . . = lim (ß 11 . . . ).ß→∞|ß|≤52Теперь определим^ ,− = алгебра, порожденная ^ и = ^ [+1 , . . . , ]и−1−1^ ((+1)) . . . ((−1 )) = ,− .)) . . . ((−1 )) ⊃ [1 , . . . , ]((+1^,− = ^ , ^ ,− в случае, которыйПример 9. В этом примере дадим другое описание колец будет нас интересовать в этой статье. А именно, пусть = [[1 , 2 ]], система координатв — (1 , 2 ), и = (1 , 2 ) — максимальный идеал. Определим множество^ 1 = { =∑︁ 1| ∈ [[1 , 2 ]] и для любого ∈ N существует ∈ N такое что≥0ord ( ) > для всех ≥ }.
(3.1)Определим^ 1,1 = ^ 1 [2 ],^ 1 ((2−1 )).^1,1 = ^1 ⊂ ^ 1,1 ⊂ ^1,1 — ассоциативные кольца с единицей.Лемма 8. Множества ^ 1 — абелева группа. Умножение двух элементов опреДоказательство Очевидно, что делено согласно следующей формуле: для двух рядов = =∑︁≥0 1 ,где =∑︁ ∑︁∑︀≥0 1 , =≥0 1∑︀ 1 (+− ),≥0 ≥0где мы полагаем = 0 при < 0. Каждый коэффициент корректно определен, поскольку для каждого существует лишь конечное число коэффициентов с ord ( ) < идля каждого существует лишь конечное число коэффициентов ̸= 0.Для любого существует , такое что ord ( ) > для любого ≥ , и существует 1 , такое что ord ( ) > + для любого ≥ 1 .
Тогда для всякого ≥ 1 + и всякого < , 0 ≤ ≤ имеем: ord (1 (+− )) ≥ ord (+− ) − > . Следовательно,^ 1 корректно опреord ( ) > для любого ≥ 1 + . Таким образом, умножение в делено. Дистрибутивность очевидна, а ассоциативность проверяется с помощью тех жеаргументов, что и в [110, ch.III, §11].^ 1,1 , ^1,1 такое же.Доказательство для ^,− наДействие ,− на = ((1 )) . . . (( )) не продолжается до действия , но частично его все же можно продолжить. Чтобы объяснить это, введем еще однопонятие:∑︀11Определение 17. Члены ряда =(1 ,..., ) 1 ... 1 . . .
— это элементы 1 ... 1 . . . с 1 ... ̸= 0, мы упорядочиваем их с помощью антилексикографического порядка на Γ,ordΓ (11 . . . ) = (1 , . . . , ). У каждого ряда есть младший член LT() (член наименьшего порядка), чей порядок называется Γ-порядком , ordΓ ().Заметим, что ordΓ — дискретное нормирование ранга на . Для действия на имеем неравенство:ordΓ ( ) ≥ ordΓ () − ordΓ ( ),где равенство выполняется если и только если HT( ) — обратимый элемент в .Напомним еще одно определение из теории многомерных локальных полей:53Определение 18.
Начиная с дискретной топологии на поле определим топологию напространстве по индукции следующим образом.Если топология на = ((1 )) . . . ((−1 )) определена, рассмотрим следующую топологию на = (( )). Для последовательностиокрестностей нуля ( )∈Z в , = ∑︀ при ≫ 0, положим { } = { : ∈ }. Тогда все множества { } образуют базу∑︀ () открытых окрестностей нуля в (( )).
В частности, последовательность () = ()стремится к нулю если и только если существует целое такое что ∈ [[ ]] для()всех и последовательности стремятся к нулю для каждого .Теперь рассмотрим следующие замкнутые подпространства в :−1,− = [1−1 , . . . , ]((+1 )) . .
. (( )).Легко проверить, что действие ,− на ,− продолжается до действия^,− аналогичным образом с помощью изоморфизма ^,− / ^,−≃−1−1−1^[1 , . . . , ]((+1 )) . . . (( )). В то же время, действие ,− на, скажем, 1(если ≥ 1) не определено корректно.^ ,− можно рассматривать как "обобЗамечание 12. Заметим, что элементы кольца щенные"дифференциальные операторы, поскольку они тоже действуют на элементах ,как и обычные дифференциальные операторы.^ ,− есть делители нуля. (см.
пример 30 далее).Отметим также, что в кольце 3.1.3Дальнейшие замечанияВ этом параграфе мы сделаем несколько замечаний о наших определениях колец ипространств приведенных выше.В случае размерности один, т.е. для кольца обыкновенных дифференциальных операторов и кольца псевдо-дифференциальных операторов , классическая теория КПимеет дело с разложением = + ⊕ − , где + = .
Это разложение используется, вчастности, для определения иерархии КП.В работе [24] Паршин ввел аналог классической системы КП в высших размерностях,используя обобщение этого разложения. Полученная система и ее модификации изучалисьзатем в [151].Покажем, как наши кольца связаны с некоторым разложением в кольце в двумерном случае. Рассмотрим кольцо = [[1 , 2 ]]((1−1 ))((2−1 )).Определение 19. Определим векторное пространство как замкнутое подпространствов пространстве ((1 ))((2 )), порожденное мономами 1 2 , ≤ 0, , ∈ Z.Мы хотим определить разложение: = + ⊕ − .Определение 20.
Определим "+часть + (-дифференциальные операторы) следующимобразом:+ = { ∈ | ⊂ },и "−часть следующим образом:− = [[1 , 2 ]]1−1 [[1−1 ]]((2−1 ))Лемма 9. Множество +— ассоциативное кольцо с единицей; + = [[1 , 2 ]][1 ]((2−1 )).54Доказательство Первое утверждение следует из второго.является, очевидно, абелевой группой. Это моноид относительноМножество +и для всякого ∈ имеем () =умножения в кольце , поскольку , ∈ +() ∈ .Ассоциативность и дистрибутивность умножения следует из соответствующихсвойств кольца . Ясно, что [[1 , 2 ]][1 ]((2−1 )) ∈ +.Теперь доказательство вытекает из следующих двух лемм.Лемма 10.
Множество −— ассоциативное кольцо. Ненулевой элемент из этого мно-жества не принадлежит + .Доказательство Доказательство первого утверждения очевидно. Доказательство вто-рого утверждения аналогично доказательству предложения 3.Лемма 11. Существует единственное разложение = + ⊕ − .Доказательство очевидно.= 1,1 . В дальнейшем мы будем также частоВ частности, мы получаем, что +^+ вместо ^1,1 . Также мы будеми 1,1 , и употреблять обозначение + вместо +^ вместо ^ 1,1 .писать ^+ имеет порядок ordΓ ( ) = (, ), еслиОпределение 21.
Скажем, что оператор ∈ =3.2∑︀=−∞^ 1 , ∈ [[1 , 2 ]][1 ] = 1 , и ord( ) = . 2 , где ∈ Строго допустимые кольцаВ этом разделе вводятся дополнительные определения технического характера, необходимые для дальнейшего изложения, а также доказываются утверждения о том, чтокольца коммутирующих операторов ⊂ , порожденные операторами с постояннымистаршими символами, приводятся линейными заменами переменных к некоторому специальному виду.
Этот раздел служит отчасти мотивировкой для разработки последующейтеории.С этого момента и до конца главы мы будем рассматривать полную -алгебру =[[1 , 2 ]] с системой координат (1 , 2 ).Лемма 12. Пусть , 1 , — элементы кольца порядков , , соответственно, всес постоянными главными символами. Пусть — алгебраически замкнутое поле.1. Если существует точка ∈ Supp Ch0 ()∖(Supp Ch0 ( ) ∪ Supp Ch0 (1 )), простая вCh0 (), то существует линейная замена координат (1 , 2 ) = (′1 , ′2 )( ), такаячто в новых координатах ( ) =2′+∑︁−,(3.2)−,(3.3)−(3.4)ℎ 1′ 2′=1 (1 ) = 0 2′ +∑︁ 1′ 2′=1 () =−11′ 2′+∑︁=2где ℎ , , ∈ , 0 ̸= 0.
1′ 2′,552. Если функция ( ) / () — не константа, то для почти всех ∈ тройка, 1 , = + удовлетворяет предположениям пункта 1.1. Пусть , 1 , — главные символы , 1 , , записанные в координатах 1 , 2 . Тогда, если координаты точки (21 : 22 ), то (21 , 22 )1 (21 , 22 ) ̸= 0.
Мыможем выбрать (21 , 22 ) таким образом, что (21 , 22 ) = 1.Мы можем выбрать (11 , 12 ) таким образом, что det( ) ̸= 0 иДоказательство(21 , 22 )11 +(21 , 22 )12 = 112(поскольку ( (21 , 22 ), (21 , 22 )) ̸= (0, 0), так как (21 = 22 ) — простой корень ).12После замены координат(︂)︂(︂)︂11 1211 12′′′′, (1 , 2 ) = (1 , 2 )(1 , 2 ) = (1 , 2 )21 2221 22мы получаем ( ) = ˜ (1′ , 2′ ) = (11 1′ + 21 2′ , 12 1′ + 22 2′ )(и похожие выражения для (1 ), ()) и ˜ (0, 1) = (21 , 22 ) = 1, ˜1 (0, 1) =˜ 1) = 0,1 (21 , 22 ) ̸= 0, (0,˜(0, 1) =(21 , 22 )11 +(21 , 22 )12 = 1.112Таким образом, ( ) — многочлен со старшим коэффициентом 1 относительно 2′ , (1 )— многочлен со старшим коэффициентом 1 относительно 2′ с точностью до ненулевого˜ 1′ , 2′ ), где ˜ — многочлен со старшим коэффициентом 1 отмножителя, и () = 1′ (носительно 2′ .2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
