Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В силу [63, prop. 2.4.7], имеем = Proj ˜ () в кольПри этом изоморфизме подсхема ′ определяется однородным идеалом ∩ ()˜ () . Этот идеал порожден элементом ∈ ˜1 . Открытые аффинные подмножетваце ()()˜˜ определяют покрытие схемы Proj ˜ () . В каждом кольце+ ( ) = Spec ( ) с ∈ 1˜ () идеал ( ∩ ˜ () )( ) порожден элементом / . Следовательно, однородный идеал( )˜ () определяет эффективный дивизор Картье. ∩Наконец, дивизор Картье очень обилен, поскольку ′ — гиперплоское сечение во˜ () ˓→ Proj Sym (˜1() ) ≃ Pвложении = Proj . Кроме того, по пункту 1, [1 , . . . ] ⊃gr , и [1 , .
. . ] — конечный gr()-модуль. Следовательно, дивизор = Proj gr() —унирациональное многообразие.Так как , — регулярное локальное кольцо, дивизор не содержится в особомлокусе в .47Докажем теперь пункт 4. Определим пучок ℒ. Рассмотрим правый -модуль = /(1 + . . . + )с фильтрацией = ( + 1 + . . . + )/(1 + . . . + ). Тогда имеем ⊆ + .Рассмотрим другой правый -модуль [1 , . . . , ] с действием , заданным так:, ∘ = ∘ = −для всех 1 ≤ , ≤ , , ∈ [1 , .
. . , ]. Легко проверить, что отображения∑︁∑︁[1 , . . . , ] −→ : ↦→ ∈N −→ [1 , . . . , ]:∑︁∈N () ↦→∑︁ (0) ,11 . . . ,— изоморфизмы со. . . , =где ∈ , ∈ [[1 , . . . , ]], =ответствующих -модулей (и следовательно -модулей). Фильтрация на [1 , . . . , ] —степенная фильтрация на многочленах. Следовательно, для любого целого ≥ 0(︂)︂+( + 1) · . . . · ( + ).(2.6)dim ==!11∞⨁︀Более того, gr() = /−1 = [1 , .
. . , ] — конечно порожденный gr()-модуль=1(см. пункт 1). Теперь, по индукции по степени фильтрации получаем, что если элементы 1 (1 ), . . . , ( ) (где ∈ , ( ) = mod −1 , = 1, . . . , ) порождаютgr() как gr()-модуль, то элементы 1 , . . . , порождают как -модуль. Следователь∞˜ = ⨁︀ — конечно порожденный градуированный ˜ -модульно, мы получаем, что =0˜ . Следовательбез кручения, порожденный элементами 1 1 , . .
. , над кольцом ˜ — когерентный пучок без кручения1 на (см. [63, prop. 2.7.3]). Кромено, ℒ = Proj того, градуированный gr -модуль gr определяет когерентный пучок без кручения на˜() -модуль = ˜ () определяет когерентный пучок без кручения на = Proj gr , и = ∖ = Spec .˜ () . При этом изоморфизме градуированный ˜ () -модуль ˜ () =Имеем: = Proj ∞⨁︀ ˜˜ = ) определяет когерентный пучок ℒ как Proj ˜ () . Мы доказали, (где =0что ′ = — очень обильный дивизор Картье на проективном многообразии . Следовательно, в силу [27, ch. III, th. 5.2], (, ℒ ⊗ ( ′ )) = 0 для > 0 и ≫ 0.˜ для ≫ 0. Отсюда и изТакже, по [27, ch. II, exerc. 5.9(b)], 0 (, ℒ ⊗ ( ′ )) = формулы (2.6), получаем(, ℒ ⊗ ( ′ )) =( + 1) · . .
. · ( + )!для ≫ 0.Из формулы (2.2) получаем, что индекс самопересечения ( ′ ) = / rk(ℒ) на . Следовательно, индекс самопересечения ( ) = / rk(ℒ) на .Здесь и далее в диссертации мы используем нестандартное обозначение Proj для квазикогерентногопучка, ассоциированного∞ с градуированным модулем. Если — фильтрованный модуль, то мы используем обозначение ˜ = ⨁︀ для аналога модуля Рисса, и такое же для фильтрованных колец.1=048Замечание 9. Пункт 1 предложения и частично пункт 2 следуют из [2, Ch.III, §2.9,Prop. 10]. Пункт 2 был доказан в [19] Кричевером в связи с теорией интегрируемых систем.Мы даем здесь другое доказательство в духе чистой коммутативной алгебры.Пучок ℒ — пучок Кричевера в смысле [13, introduction].Замечание 10. Пучок ℒ определяет расслоение собственных функций операторов из на открытой части следующим образом (мы предполагаем, что алгебраически замкнуто).
Для = Spec() точки ∈ () взаимно однозначно соответсвтуют характерам -алгебры (т.е. морфизмам -алгебр : → , заданными максимальными идеалами кольца ). По когерентному пучку ℒ строится ассоциированная аффинная схемаSpec(ℒ) вместе с морфизмом : Spec(ℒ) → , см. [27, ex.5.17, ch.
II] (мы будем называтьее ассоциированным расслоением, поскольку это действительно векторное расслоение наоткрытой части , где ℒ локально свободен). Напомним, что эта схема строится путемсклейки схем Spec((ℒ( ))) для открытых аффинных множеств . В частности, для ∈ имеем −1 () = Hom (ℒ(), ) = Hom (, ())(здесь ℒ() — слой когерентного пучка ℒ в точке , т.е. ℒ() = ℒ ⊗, ()). Эти пространства естественно изоморфны пространствамSol(, ) = { ∈ , ( ) = ( )для всех ∈ }следующим образом:(i) имеется изоморфизм ≃ Hom (, ) (как векторных пространств), определенныйкак ↦→ , ( ) = ( )(0)∑︁ 1( ) , ↦→ =!где = (1 , .
. . , ) ∈ N , ! = 1 !2 ! . . . ! и = 11 . . . , = 11 . . . .(ii) при фиксированной точке ∈ (), поле = () наследует структуру -модуля,и изоморфизм (i) дает изоморфизмSol(, ) ≃ Hom (, ()) ⊂ Hom (, ).Таким образом, расслоение Spec(ℒ)| — расслоение собственных функций кольца , имы можем рассматривать , Spec(ℒ) как продолжение спектра и расслоения собственныхфункций на бесконечность.49Глава 3Коммутативные подалгебры впополненной алгебредифференциальных операторовВ этой главе излагается теория, посвященная классификации коммутативных подалгебр в пополненной алгебре дифференциальных операторов от двух переменных изработы [11].Решение проблемы классификации алгебр коммутирующих операторов, которое мыпредлагаем в настоящей главе, использует наш оригинальный подход, и является естественным обобщением теорем Кричевера, Мамфорда и Муласе, и также конструктивно вобе стороны.
С другой стороны, оно обобщает подход М.Сато в размерности один. Методы,используемые в этой главе, по-видимому, могут быть перенесены и в высшие размерности,и мы планируем в будущем описать общий случай. Однако, лишь в размерности 2 имеются уже развитые части обобщенной теории КП, такие как теория риббонов (см. главу4) и теория модифицированных иерархий КП Паршина (см. главу 6 и [151]).
Кроме того,лишь в размерности 2 существует хорошая классификационная теория Коэно-Маколеевыхпучков без кручения [42], важная для описания спектральных пучков, и эта теория не переносится в высшие размерности очевидным образом.При этом хочется отметить, что пополненная алгебра дифференциальных операто^ естественно возникает в рамках нашего подхода (ср. замечание 82). В размерностиров один нет необходимости рассматривать пополнение кольца дифференциальных операторов.Описание классификации, предложенной в этой статье, разбито на три шага.
Сначала мы сводим проблему к описанию колец, удовлетворяющих некоторым специальнымсвойствам (1-квази-эллиптические кольца, см. определение 30). Затем мы классифицируембольший класс -квази-эллиптических колец: а именно, все такие кольца в пополненномкольце дифференциальных операторов от двух переменных (см. параграф 3.1.2, определение 30). Мы классифицируем их в терминах пар подпространств (обобщенные парыШура, см. определения 34, 42).
Эта классификация использует обобщение теории М.Сато(см. [132], [134]), и конструктивна в обе стороны. После этого мы классифицируем обобщенные пары Шура в терминах обобщенных геометрических данных (см. определение45). С одной стороны, эти данные являются естественным обобщением геометрическихданных в одномерном случае, с другой стороны, они являются небольшой модификациейгеометрических данных Паршина [118] и Осипова [23].
Изложение двух последних шаговнашей классификации похоже на изложение соответствующих результатов в размерностиодин в работе Муласе [107]. В частности, в качестве последнего шага классификации мывводим две категории: категорию пар Шура (определение 44) и категорию геометрических50данных (определение 47), и доказываем их антиэквивалентность. Эти категории являютсяестественными обобщениями соответствующих категорий из [107].3.1Вводные замечания и определенияВ этом разделе вводятся обозначения и определения, а также доказываются основныесвойства пополненной алгебры операторов.3.1.1Расширения кольца ()Существует несколько стандартных способов расширить кольцо = () до кольца ⊃ (см.
ниже), при этом в одном случае фильтрация ( )≥0 продолжается до фильтрации ( )∈Z , и () — коммутативное кольцо, причем ∈ обратим в если и только если ord( ) ( ) обратим в () (формальные микро-дифференциальные операторы), вдругом случае продолжается Γ-фильтрация и отображение старшего члена (определенноепосле выбора системы координат), и выполняется следующее свойство: обратим еслии только если коэффициент у HT( ) обратим в (формальные псевдо-дифференциальныеоператоры).Мы будем работать с формальными псевдо-дифференциальными операторами: =−1((1 )) . .
. ((−1 )) (ср. [24]).Это кольцо определяется последовательно, начиная с определения кольца (( −1 )),где — ассоциативное, не обязательно коммутативное кольцо с дифференцированием .Кольцо (( −1 )) определяется как левый -модуль всех формальных выражений вида=∑︁ , ∈ .>−∞Умножение определяется по правилу Лейбница:∑︁∑︁∑︁( )( ) = ( ) +− .,,≥0Здесь мы полагаем =( − 1) . . . ( − + 1)если > 0, 0 = 1.( − 1) . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
