Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Оператор♮4 = (2 + 1 cosh + 0 )2 + 1 ( + 1) cosh ,1 ̸= 0♮коммутирует с 4+2 . Эти операторы не коммутируют с операторами нечетного порядка [54], поэтому эти операторы имеют истинный ранг 2. Многочлен для операторов♮4 , ♮4+2 имеет вид (см. [97])(, ) = () cosh + · · · + 1 () cosh + 0 (),где(︂( + 5)!( + 3)!− 8+3(20 + 2 + 4 + 5)−!!)︂( + 2)!22−8+2(2 + 3)1 + 4+1 ( + 1)(( + 1) (40 + ( + 1) + 4) , 0 ≤ < , (1.20)!и мы предполагаем, что = 0 при < 0 и > , а — константа.1 =8(2 + 1)1 (( + 1) − ( + 1))4+5Лемма 4. ( [96]) Спектральная кривая операторов 4 , 4+2 задается уравнением♮2 = () =♮)︀1 (︀ 240 − 40 1 1 − 162 (0 + 1) + 484 ) + 40 21 + 422 − 21 (63 − 1 ) ,4где () определены в (1.20).24Пример 5.
Если = 1, то1211 () = 3 + ( − 20 )2 + (1 − 80 + 1602 − 1612 ) + 1 .2164Пример 6. При = 2, положим для простоты формул 0 = 0.2 () = 5 +117 4 1 + (321−33612 )3 + (34−53112 )2 +(1−18912 +10814 )+2412 +51314 .2164Спектральные кривые, определенные этими уравнениями, неособы при общих значенияхпараметров.О. И. Мохов [103] нашел замечательную замену переменных√︀ = ln( + 2 − 1) , = ±1, ±2, . . .
,которая переводит операторы ♮4 , ♮4+2 в операторы с полиномиальными коэффициентами.В частности, ♮4 в новых переменных выглядит так:♮4 = ((1 − 2 )2 − 3 + () + )2 − 2 ( + 1) (), ̸= 0,где — произвольная константа, () — многочлен Чебышева степени ||. Напомним, что0 () = 1,1 () = , () = 2−1 () − −2 (),− () = ().Многочлены Чебышева коммутируют, т.е. ( ()) = ( ()) = + ().Если теперь применить автоморфизм первой алгебры Вейля 1 = [][ ]() = − ,( ) = , ∈ (1 )к операторам ♮4 , ♮4+2 в новых переменных, то получатся операторы порядков 2, (2 +1)ранга [103] и(♮4 ) = ( ( ) − 2 2 − 3 + 2 + )2 − ( + 1) ( ).Теперь мы можем доказать другие две основные теоремы этого раздела.Теорема 4.
Множество орбит группы (1 ) на пространстве решений произвольногоуравнения 2 = 3 + 2 2 + 1 + 0 ,, ∈ 1 , ∈ бесконечно.Пусть спектральная кривая для операторов ♮4 , ♮4+2 задается уравнением2 = 2+1 + ♮2 2 + · · · + ♮1 + ♮0 .(1.21)Теорема 5. Множество орбит группы (1 ) на пространстве решений уравнения 2 = 2+1 + ♮2 2 + · · · + ♮1 + ♮0 ,бесконечно., ∈ 125Доказательство (теорем 4 и 5).В силу теоремы 3, произвольное уравнение вида 2 = 3 + 2 2 + 1 + 0 ,, ∈ 1имеет бесконечно много решений вида 4, = (2 + ())2 + (), 6, , и уравнение 2 = 2+1 + ♮2 2 + · · · + ♮1 + ♮0 ,, ∈ 1тоже имеет бесконечно много решений вида ♮ (♮4 ), ♮ (♮4+2 ), где() = ♮ (♮4 ) = ((1 − 2 )2 − 3 + () + )2 − 2 ( + 1) (), () — многочлен Чебышева степени ||.
Для доказательства теорем 4 и 5 достаточнодоказать, что для > 10 и ̸= 1(4, ) ̸= 4,1 ,(()) ̸= (1 ),для произвольного ∈ (1 ). Эти утверждения вытекают из следующей леммы.Лемма 5. Рассмотрим семейство операторов порядка 4 с полиномиальными коэффици-ентами() = (()2 + () + ())2 + (), ∈ N,где (), () — многочлены фиксированной степени, такие чтоdeg() > deg(),deg () = , ≥ deg ().Если > deg() + 8, то(()) ̸= (1 )при ̸= 1 для произвольного ∈ (1 ).Мы предполагаем здесь, что deg() = −∞ если () = 0.Доказательство Предположим, что существует автоморфизм ∈ (1 ), такой чтопри > deg() + 8 выполняется равенство (()) = (1 ) для некоторого ̸= 1 . Пусть() = () + · · · + 0 (),( ) = () + · · · + 0 (),где , — некоторые многочлены.
Рассмотрим сначала случай = 0. Если = 0, то = 1, т.к. иначе оператор (()) имеет порядок больше четырех. Далее,(()2 + () ) = (0 ())(1 () + 0 ())2 + (0 ())(1 () + 0 ()) =(0 ())21 ()2 + (0 ())(1 ()′1 () + 0 () + (0 ())1 ()) ++(0 ())0 () + (0 ()) + (0 ())0 ().Из наших предположений вытекает, что(0 ())21 () = (),(0 ())(1 ()′1 () + 0 ()) + (0 ())1 () = ().Следовательно, из первого тождества мы получаем, что 1 () — константа и 0 () — линейная функция. Из второго тождества мы получаем, что 0 () — константа, т.к.
иначестепень левой части равенства больше степени правой части равенства. Таким образом,() = 1 + 2 ,( ) = 3 + 4 , ∈ .26Отсюда получаем, что (()) ̸= (1 ).Рассмотрим теперь общий случай ̸= 0. Имеются следующие равенства для порядков дифференциальных операторов:ord(()2 ) = deg() + 2,Заметим, чтоord(() ) = deg() + ,ord( ()) = .ord(()2 ) = ord( ()),т.к. иначе, поскольку ord(()2 ) > ord(() ) имели бы место равенстваord(()2 + () + ()) = ord(()2 + ()) = max{, deg () + 2} ≥ ,и, следовательно, ord(()) ≥ 2 > 4, противоречие. Таким образом,(1.22)deg() + 2 = .Прямыми вычислениями проверяется, чтоad(−)3 (()) = [[[(), ], ], ] = 242 () + 12()() + 12()′ (),откудаord(ad(−)3 (())) = 2deg() + .С другой стороны,(ad(−)3 (())) = ad(−())3 ((())).Теперь имеем:ord[(()), ()] ≤ + 3,ord[[(()), ()], ()] ≤ 2 + 2,ord[[[(()), ()], ()], ()] ≤ 3 + 1.Отсюда, используя (1.22) и предположение > deg() + 8, получаем3+1 ≥ ord[ad(−())3 ((()))] = 2deg()+ = ( +3deg())/2 >(8+4deg()) =24 + 2deg().Противоречие.Теоремы 4 и 5 доказаны.Было бы интересно в будущем проверить гипотезу Береста при > 1 для общегоуравнения (1.13), имеющего непостоянное решение в 1 .Замечание 3.
Группа (1 ) действует также на множестве колец коммутирующихдифференциальных операторов с аффинными спектральными кривыми из теорем 4 и 5.Нетрудно показать, что пространство орбит в этом случае также бесконечно.271.2Алгебраическая теория коммутирующих ОДОЭтот раздел содержит обзор алгебраической модификации теории из первого раздела. Оставшаяся часть диссертации является во многом естественным обобщением алгебраической теории, изложенной в этом разделе. Также этот раздел содержит необходимыедля дальнейшего изложения технические факты.Определение 2.
Пусть — коммутативная подалгебра в . Число⃒{︀}︀ = rk() = gcd ord()⃒ ∈ называется рангом .Теорема 6. Пусть — коммутативная подалгебра в .1. Алгебра является конечно порожденной целой областью размерности Крулляодин. В частности, определяет целую аффинную алгебраическую кривую 0 :=Spec().2. Более того, 0 может быть компактифицирована одной точкой до проективнойкривой , причем точка регулярна и определятся дискретным нормированиемval : Q → Z,ord() − ord()↦→,где Q — поле частных кольца , и — ранг .Комментарии к доказательству. В приведенной форме этот результат описан в работахМамфорда [109, Section 2] и Вердье [144, Proposition 1]. См.
также [107, Theorem 3.3].Определение 3. Проективная кривая = 0 ∪ { } называется спектральной кривойкоммутативной подалгебры ⊂ . Арифметический род кривой называется родомалгебры .Пример 7. В примере Валленберга (1.3) алгебра [, ] имеет ранг один и род один. Впримере Диксмье (1.4) алгебра [, ] имеет ранг два и род один для всех ∈ C.Определение 4.
Пусть ⊂ — коммутативная подалгебра. Рассмотрим правый ∼=модуль := / → [], () ↦→ (0) . Очевидно, правое действие на [] определяется следующими правилами:{︂() ◇ = · ()(1.23)() ◇ = ′ ().Ограничивая действие (1.23) на подалгебру , мы снабжаем структурой -модуля. Таккак алгебра коммутативна, мы будем рассматривать как левый -модуль (имея ввиду естественное правое действие)Теорема 7. Пусть ⊂ — коммутативная подалгебра ранга . Тогда конечно по-рожден и не имеет кручения над .
Более того, Q ⊗ ∼= Q⊕ , т.e. rk ( ) = rk().Другими словами, ранг алгебры в смысле определения 2 совпадает с рангом , рассматриваемым как -модуль.Комментарии к доказательству. В приведенной форме этот результат описан в [144,Proposition 3] и [109, Section 2]. Ср. также главу 2, где приведено обобщение этих утверждений в многомерном случае.Напомним, что по теореме Гильберта о нулях точки кривой 0 находятся в биективномсоответствии с гомоморфизмами алгебр → (называемыми в дальнейшем характерами ).28Определение 5.
Пусть ∈ 0 — произвольная точка, и = : → — соответствую-щий характер. Назовем -векторное пространство⃒(︀)︀{︀Sol , := ∈ [[]]⃒ ∘ = () для всех ∈ }(1.24)пространством решений алгебры в точке . Здесь(︀ мы)︀ рассматриваем обычное левоедействие ∘ алгебры на [[]]. Заметим, что Sol , имеет естественную структуру -модуля.Геометрическое значение -модуля объясняется следующей теоремой.Теорема 8. Следующее -линейное отображение(︀)︀* → Sol , ,(︀)︀ ↦→ ↦→ () (0)(1.25)(︀)︀*(︀ (︀)︀ )︀является также -линейным, где Sol , = Hom Sol , , — двойственное пространство к пространству решений.
Более того, индуцированное отображение(︀)︀*¯/ ker() ⊗ → Sol , (1.26)является изоморфизмом -модулей.Доказательство Эти утверждения содержатся в [109, Section 2] или [144, Proposition 5],где даны краткие указания к доказательствам. Для удобства изложения приведем здесьподробное доказательство. Сначала заметим, что отображение(︀)︀ ΦHom , → [[]],∞∑︁1( ) ↦→!=0(1.27)является изоморфизмом левых -модулей. Пусть → — характер, тогда = :=/ ker() — левый -модуль. Мы получаем -линейное отображениеΦΨ : Hom(, ) → Hom(, ) → [[]],(1.28)где — забывающее отображение.
Образ состоит из таких -линейных функционалов,которые также -линейны, т.e.⃒{︀}︀Im() = ∈ Hom(, ) ⃒ ( ◇ − ) = () · ( − ) для всех ∈ .Отсюда следует, что Im(Ψ) = (︀ Sol(, ). Далее, )︀имеется канонический изоморфизм модулей: Hom (, ) ∼= Hom / ker() ⊗ , . Вновь дуализируя, получаем изоморфизм векторных пространств(︀)︀**∼Ψ* : Sol(, )* → / ker() ⊗ = / ker() ⊗ .(︀ )︀−1Осталось заметить, что Ψ* также -линеен и Ψ*= ¯ .Замечание 4. Изоморфизм (1.26) имеет следующее геометрическое значение: если рас-сматривать как когерентный0 = Spec(), то для любой точки ∈ 0 (гладкой⃒ пучок на *∼⃒или особой) имеет место: = Sol(, ) , где → — характер, соответствующий точке .
Вследствие этого факта, называется спектральным модулем алгебры .29Следствие 3. Пусть ⊂ — коммутативная подалгебраранга(︀)︀ . Тогда для любого (︀характера)︀ → имеются неравенства: ≤ dim Sol(, ) < ∞. Более того,dim Sol(, ) ≥ + 1 если и только если задает особую точку ∈ 0 и не локальносвободен в .По теореме 6, аффинная кривая 0 = Spec() имеет каноническую компактификацию .Спектральный модуль также может быть канонически продолжен с 0 на всю проективную кривую .Теорема 9. Пусть — коммутативная подалгебра в ранга . Тогда существуетединственный пучок без кручения ℱ (называемый спектральным пучком алгебры ) напроективной кривой = 0 ∪ { }, такой что1.
Модуль Γ(0 , ℱ) изоморфен рассматриваемому как -модуль (напомним, что∼= Γ(0 , )).2. Образ канонического отображения ограничения Γ(, ℱ) → Γ(0 , ℱ) — векторное (︀пространство⟨1, , . . . , −1 ⟩ ⊂ [] = ∼= Γ(0 , ℱ). В частности,)︀dim Γ(, ℱ) = .⃒ev3. Отображение вычисления Γ(, ℱ) → ℱ ⃒ — изоморфизм, и 1 (, ℱ) = 0.Комментарии к доказательству. Рассматривая длинную точную когомологическую поледовательность, ассоциированную⃒ с короткой точной последовательностью когерентныхпучков 0 → ℱ(−[ ]) → ℱ → ℱ ⃒ → 0, сразу видно, что условие (3) теоремы 9 для ℱэквивалентно следующему.(︀)︀(︀)︀ 0 , ℱ(−[ ]) = 0 = 1 , ℱ(−[ ]) .(1.29)Утверждение следует теперь из [107, Theorem 3.4], примененной к пучку без крученияℱ(−[ ]).Напомним определение полустабильного пучка.Определение 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
