Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Впервые коммутирующиеоператоры рассматривались в работе Шура [135]. Бурхналл и Чаунди [44–46] и Бейкер [31]получили полную классификацию пар коммутирующих ОДО взаимно простых порядков.Современный алгебро-геометрический подход к описанию коммутативных подалгебр в был предложен И. М. Кричевером в работах [19,20]. Этот подход впоследствии интенсивноиспользовался С.
П. Новиковым и его школой для получения и изучения точных решенийразличных нелинейных уравнений в частных производных (см. например обзор [21]). Вдальнейшем этот подход был формализован и развит Дринфельдом [7], Мамфордом [109],Вердье [144], Сигалом и Вилсоном [136] и Муласе [107]. В настоящее время есть огромноеколичество литературы на эту тему, в связи с чем затруднительно дать исчерпывающийее список, а потому упомянем здесь лишь некоторые обзоры, связанные с теорией конечнозонного интегрирования: [90], [58], [108], [59], [121], [146], [141].16Согласно лемме Бурхнала-Чаунди [45, (2)], если =∑︁ () , ==0∑︁ () =0— пара коммутирующих операторов, то существует полином (, ), такой что ( , ) = 0.
Отметим, что по лемме Шура [135] все операторы, коммутирующие с любым оператором ненулевого порядка, коммутируют между собой. Обратно, в силу [45, (4)],операторы, удовлетворяющие ( , ) = 0, коммутируют. Отметим, что, хотя Бурхнали Чаунди доказывали эти факты в предположении взаимной простоты порядков и ,с помощью техники Шура доказательства легко переносятся на случай произвольныхпорядков. Еще одно предположение в их работах — о том, что старшие коэффициентырассматриваемых операторов постоянны — получается с помощью подходящей заменыпеременных в кольце (в их случае коэффициенты операторов представляют собой аналитические функции).
Понятие замены переменных может быть уточнено и в нашем болееформальном случае с помощью следующих простых алгебраических лемм.Лемма 1. Пусть — эндоморфизм алгебры . Тогда существуют элемент ∈ [[]],удовлетворяющий условиям (0) = 0 и ′ (0) ̸= 0, и ∈ [[]], такие что⎧⎨ ↦→1⎩ ↦→ ′ + .(1.1)В частности, — автоморфизм алгебры , т.e. End() = Aut().Пусть := () ∈ . Нетрудно видеть, что принадлежит [[]] иудовлетворяет свойствам, перечисленным в лемме. Пусть := () = + −1 −1 +· · · + 0 ∈ для некоторого ∈ N, где ̸= 0. Ясно, что [, ] = ′ −1 + l.o.t, откуда1[, ] = 1 = [, ] если и только если = 1 и 1 = ′ .ДоказательствоЗамечание 1.
Пусть ∈ [[]] — единица (т.e. (0) ̸= 0). Тогда для внутреннего авто-морфизма Ad : → , ↦→ −1 имеем:{︃ ↦→ ↦→ +Заметим, что для любого [[]] ∋ =∞∑︀′. = 0 + ˜, ряд := exp() = 0 exp(˜)=0— единица в [[]]. Следовательно, всякий автоморфизм ∈ Aut(), удовлетворяющий() = , является внутренним, см. (1.1)Лемма 2. Пусть = + −1 −1 + · · · + 0 ∈ , где (0) ̸= 0. Тогда существует ∈ Aut(), такой что := ( ) = + −2 −2 + · · · + 0(1.2)для некоторых 0 , . . . , −2 ∈ [[]]. Более того, если ∈ — нормализованный ОДОненулевого порядка (т.e.
ОДО вида (1.2)), и — внутренний автоморфизм , такойчто () = , то = id.17Доказательство По предположению, — единица в [[]](︀ )︀. Следовательно, существует ∈ [[]], такой что = . Отсюда следует, что = + l.o.t. Значит, существуетзамена переменных, преобразующая в оператор вида ̃︀ := +−1 −1 +· · ·+0 . Приме−1, получаем нормализованный оператор .няя к ̃︀ автоморфизм (1.1) с = и = −Это доказывает первое утверждение. Второе утверждение получается непосредственно.Спектральная кривая для пары операторов , определяется уравнением = 0; она неприводима и может быть пополнена до проективной кривой с помощьюодной точки на бесконечности (с этого места будет, как правило, обозначать точкуна бесконечности).
Она параметризует совместные собственные значения операторов и , т.е. если = , = ,то (, ) ∈ . Размерность пространства общих собственных функций для общей точки(, ) ∈ называется рангом алгебры [ , ].Пример 1. Пусть Λ ⊂ = C — решетка, и ℘() — соответствующая функция Вейерштрасса. В 1903 году Валленберг [145] обнаружил, что ОДО = 2 − 2℘( + ) и = 2 3 − 4℘( + ) − 3℘′ ( + ),(1.3)коммутируют для всех ∈ C и удовлетворяют уравнению 2 = 43 + 2 + 3 , где 2 и3 — Вейерштрассовы параметры решетки Λ, см. [145].Пример 2. В качестве одного из вырождений примера Валленберга имеется пара комму-тирующих операторов с рациональными коэффициентами и каспидальной спектральнойкривой: = 2 − 2(1 − )−2 , = 3 − 3(1 − )−2 − 3(1 − )−3 .Пример 3.
В 1968 году Диксмье открыл другой интересный пример [55]: для любого ∈ C положим := 2 + 3 + и рассмотрим = 2 + 2 и = 3 +)︀3 (︀ + .2(1.4)Тогда и коммутируют и удовлетворяют соотношению 2 = 3 − . Диксмье такжепоказал, что подалгебра [, ] ⊂ является максимальной.Рассматривая более общие алгебры операторов, коммутирующих с , , И. М.Кричевер в работах [19,20] классифицировал эллиптические подалгебры коммутирующихоператоров общего положения в терминах спектральных данных.Определение 1. Коммутативная подалгебра ⊂ — эллиптическая, если существуетоператор ненулевого порядка ∈ вида = + −1 () −1 + .
. . + 0 ().Имеется следующее полезное наблюдение Вердье [144, Lemme 1].Лемма 3. Пусть — коммутативная подалгебра в , содержащая формальный эллип-тический элемент . Тогда все элементы в имеют постоянные старшие коэффициенты.Замечание 2. Существуют нетривиальные не эллиптические коммутативные подалгеб-ры в , т.e. не изоморфные []. Тем не менее, основной интерес представляют те коммутативные подалгебры в , которые принадлежат подалгебре {}[] операторов, чьикоэффициенты — сходящиеся степенные ряды. Если = + −1 −1 + · · · + 0 —18такой оператор, то подходящей заменой вида ↦→ + , где ∈ и || достаточно мало,мы можем добиться того, что (0) ̸= 0.
Заметим, что эта замена не может быть продолжена на алгебру . Однако, можно показать, что все элементы принадлежат {}[](это следует например из теоремы Шура [108, Theorem 2.2], см. также [107, Lemma 5.3]),и можно выбрать общий радиус сходимости для всех коэффициентов всех элементов в . Согласно лемме 2, можно трансформировать в нормализованный формально эллиптический дифференциальный оператор. Поэтому в дальнейшем можно по умолчаниюпредполагать, что все коммутативные подалгебры в ∙ содержат эллиптический оператор положительного порядка∙ нормализованы, т.е. что все элементы в минимального положительного порядканормализованы.Последнее предположение избавляет от лишнего произвола в выборе коммутативных алгебр при решении проблемы классификации: если ⊂ — нормализованная эллиптическая подалгебра, и — внутренний автоморфизм , такой что () = , то = id.Каждое такое кольцо , согласно классификационной теореме, изоморфно кольцумероморфных функций на спектральной кривой — неприводимой гладкой проективнойалгебраической кривой рода над полем — с полюсами в фиксированной точке .Размерность пространства собственных функций операторов из кольца в общей точкеспектральной кривой называется рангом кольца .
Это число также совпадает с числом = () := {ord()| ∈ }.Кроме кривой, по кольцу определяются следующие геометрические спектральные данные:∙ — локальный параметр в окрестности : ( ) = 0.∙ Набор точек 1 , . . . ∈ , набор чисел = (1 , . . . , −1 ) — параметры Тюрина,определяющие общее (стабильное по Мамфорду) расслоение ℱ ранга и степени на с набором голоморфных сечений 1 , . .
. , , удовлетворяющих соотношениям: ( ) =−1∑︁ ( ).=1∙ = (1 (), . . . , −1 ()) — некоторые (произвольные) функции.По этим данным однозначно строится векторная функция Бейкера-Ахиезера =(1 , . . . , ), котораяоднозначно определяется следующими свойствами:∑︀∞Ψ0 = Ψ0 ,1. (, ) = ( =0 () ) Ψ0 (, ), 0 = (1, 0, . . . , 0), ⎛⎞010...00⎜001...00 ⎟⎜⎟⎟...............=⎜⎜⎟⎝000...01 ⎠ −1 + 1 () 1 () 2 () .
. . −1 () 02. На − { } мероморфна, с простыми полюсами в точках 1 , . . . , 3. Res = Res −1 .По функции Бейкера-Ахиезера алгебра коммутирующих операторов может быть восстановлена: если — мероморфная функция на кривой с полюсом в порядка , тооднозначно определен оператор ( )( ) = , ord( ) = .19Пример 4.
Как было замечено еще Бурхналлом и Чаунди в 1923 году, семейство Вал-ленберга (1.3) дает полный список коммутативных подалгебр ранга один в , у которыхспектральная кривая — эллиптическая [44, Section 8]. Для любого ∈ C рассмотримследующую функцию (, ) =(︀)︀( − − )exp ()( + ) ,()( + )где и — эллиптические функции Вейерштрасса. Тогда{︂ ∘ (, ) = ℘() · (, ) ∘ (, ) = ℘′ () · (, ).(1.5)(1.6)(︀)︀Очевидно, = ℘(), ℘′ () ∈ 0 = ( 2 − 43 − 2 − 3 ) для всех ∈ ∖ Λ, где 2 и3 — параметры Вейерштрасса решетки Λ. Функция (, ) — функция Бейкера-Ахиезераранга один.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
