Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Также этот раздел содержит результаты о существовании бесконечных серий коммутирующих операторов в первой алгебре Вейля со спектральными кривыми произвольного рода,лежащих в разных орбитах относительно действия группы автоморфизмов.В § 1.2 мы напоминаем модификацию классификации коммутирующих операторов поМамфорду-Муласе, в том числе классификацию в терминах точек большой клетки грассманиана Сато, напоминаем конструкцию отображения Кричевера в размерности один, идоказываем необходимые для дальнейшего изложения технические свойства этого отображения, а также напоминаем связь с классической теорией уравнения КП.Во второй главе напоминаются необходимые сведения и известные результаты освойствах колец дифференциальных операторов в частных производных, а также доказывается теорема об общих свойствах спектральных данных.§ 2.1 является вводным, содержит определения и краткое описание известных результатов.В § 2.2 доказывается теорема, которая иллюстрирует основные свойства и одновременно служит определением алгебро-геометрических спектральных данных колец коммутирующих дифференциальных операторов, удовлетворяющих условиям определенноговида.12В третьей главе излагается теория, посвященная классификации коммутативныхподалгебр в пополненной алгебре дифференциальных операторов от двух переменных.В § 3.1 вводятся обозначения и определения, а также доказываются основные свой^.ства пополненной алгебры дифференциальных операторов В § 3.2 вводятся дополнительные определения технического характера, необходимые для дальнейшего изложения, а также доказываются утверждения о том, что кольцакоммутирующих операторов ⊂ , порожденные операторами с постоянными старшими символами, приводятся линейными заменами переменных к некоторому специальномувиду.
Этот раздел служит отчасти мотивировкой для разработки последующей теории.^+ пополненного кольцаВ § 3.3 излагается аналог теории Шура для подкольца двумерных псевдодиффенциальных операторов. Для охвата возможно большего класса^ вводятся подкольца в ^+ с особыми условиями роста на коэффициентыоператоров из операторов (условия ( )). При значении = 1 эти условия играют особую роль дляклассификации коммутативных подколец в терминах алгебро-геометрических спектральных данных.В § 3.4 классифицируются 1-квази-эллиптические кольца коммутирующих операторов в терминах подпространств определенного вида (пар Шура (, )) двумерноголокального поля = ((1 ))((2 )).
Для этого доказываются аналоги теорем Сато (описывающих соответствие между точками большой клетки грассманиана Сато и операторамииз группы Вольтерра) для подпространств в , снабженном стандартной топологией.В § 3.5 излагается классификация 1-квази-эллиптических колец коммутирующихоператоров в терминах геометрических данных (, , ℱ). Для этого доказывается эквивалентность двух категорий: категории пар Шура и категории геометрических данных.В четвертой главе излагается теория формальных пунктированных лент (риббонов) и пучков без кручения на них.В § 4.1 вводятся определения риббонов и пучков без кручения на них, напоминаетсяконструкция Паршина, строящая по геометрическим спектральным данным пару подпространств (A, W) в двумерном локальном поле (())(()) (другая версия пар Шура,тесно связанная с парами из предыдущей главы), а также ее обобщение на данные, состоящие из риббона и пучка без кручения на нем.
В конце раздела доказывается теоремаклассификации данных, состоящих из риббона, пучка без кручения на нем, и некоторыхтривиализаций, в терминах пар (A, W), а также объясняется связь пар (A, W) и (, ).В § 4.1.2 вводятся определения и доказываются общие свойства технического характера.В § 4.1.3 доказываются технические алгебраические результаты о свойствах когерентности пучков без кручения на риббонах.В § 4.1.4 доказываются технические результаты о пополнении пучков на риббонах.Для этого вводится еще одно важное понятие, используемое в дальнейшем — гладкаяточка риббона и пучка без кручения на нем.В § 4.1.5 доказывается основной результат раздела 4.1: теорема классификации данных на риббоне в терминах пар (A, W).В § 4.1.6 вводится понятие «картинных» когомологий — когомологии некоторогокомплекса, построенного по паре пространств (A, W) — и устанавливается связь этих когомологий с когомологиями пучка без кручения на риббоне, построенных по паре (A, W).В случае, когда риббон и пучок происходят из геометрических спектральных данных, этикогомологии совпадают с когомологиями спектрального пучка на поверхности.
Преимуществом этих когомологий является их легкая вычислимость и наглядность. Результатыэтого раздела используются в следующем разделе и главе 5.В § 4.2 излагаются результаты о группе и о функторе Пикара риббона PicX̊∞ .13В § 4.2.1 доказываются основные свойства функции порядка, определенной на структурном пучке риббона. Функция порядка играет важную роль при изучении группы Пикара риббона.В § 4.2.2 приведен результат о строении группы Пикара риббона, определенного надартиновым кольцом.В § 4.2.3 определяется функтор Пикара риббона PicX̊∞ , а также функтор Пикара соответствующей ему формальной схемы Pic∞ , на категории аффинных нетеровых -схем,и излагаются результаты о формальной группе Пикара и формальной группе Брауэрариббона.
Эти результаты используются в следующих разделах, где доказывается глобальная представимость функтора Пикара.В подразделе § 4.2.3.1 доказывается предложение технического характера о касательном пространстве к функторам Пикара в нуле.В подразделе § 4.2.3.2 доказывается предложение технического характера о формальной группе Брауэра алгебраической поверхности. По существу, это упрощенный вариантдля поля характеристики 0 результата Артина и Мазура [29] о про-представимости функ̂︁ .тора В подразделе § 4.2.3.2 доказывается предложение технического характера о формальной группе Брауэра риббона.В подразделе § 4.2.3.3 доказывается предложение технического характера о формальной группе Пикара риббона.В § 4.2.4 доказывается теорема об обращении в ноль, необходимая для теорем представимости в следующих разделах.В § 4.2.5 доказываются результаты о представимости функтора Pic∞ .В § 4.2.6 доказываются основные результаты о представимости функтора Пикарариббона PicX̊∞ .
В этом же разделе определяются важные дополнительные функторы- аналоги функтора Пикара, и доказывается их представимость.В пятой главе изложены результаты об общих геометрических свойствах данных(, , ℱ), а также необходимых условиях, выделяющих среди них спектральные данныеалгебр коммутирующих дифференциальных операторов в частных производных. В конце главы доказываются теоремы о преобразованиях Дарбу алгебр ДО с рациональнойспектральной поверхностью и о пополнении аффинной плоскости.В § 5.2 изучаются свойства поверхности .В § 5.3 изучаются свойства спектрального пучка ℱ . Этот раздел начинается с почти очевидного предложения о сравнении геометрических спектральных данных из главы2 и геометрических данных (, , ℱ) главы 3. Для дальнейшего изучения свойств спектральных пучков, а также для построения явных примеров спектральных данных и соответствующих им колец коммутирующих операторов определяется расширение функтора,строящего по геометрическим данным соответствующую им пару Шура, на более широкий класс пучков.
Далее сравниваются пары Шура (, ) и (A, ). Общей иллюстрациейслужит следующая диаграмма.{Комм. подалгебрыв }⋂︀^{Комм. подалгебры в }{Пары (, ⋂︀) в [[]](())}{Пары (A, W) в (())(())}↘↗↖↘←→←→{данные⋂︀(, , ℱ)}{Геом. данные с риббонами}С помощью этих технических конструкций доказываются необходимые условия на геометрические спектральные данные.14В § 5.3 изложены некоторые следствия теории: результаты о преобразованиях Дарбуколец дифференциальных операторов с рациональной спектральной поверхностью, и опополнении аффинной плоскости.Шестая глава посвящена разбору уже известных примеров коммутирующих ДО икоммутирующих разностных операторов с точки зрения новой теории, построению новыхпримеров коммутирующих операторов в пополненном кольце, а также исследованию ихдеформаций, описываемых модификациями двумерных аналогов иерархии КП.В § 6.1 обсуждается достаточно очевидный, но широкий класс примеров.
Эти примеры получаются, например, из примеров коммутативных колец обыкновенных дифференциальных операторов (скажем, от переменной 2 ) добавлением дифференцированияпо другой переменной (скажем, 1 ), которая, очевидно, коммутирует со всеми операторами в исходном кольце. Обобщая это наблюдение, мы называем коммутативные алгебры в^ , содержащие 1 , тривиальными. Для описания геометрических данных «тривиальных»алгебр доказывается критерий.В § 6.2 разбираются примеры поверхностей с дивизором и точкой, для которых можно явно вычислить все возможные геометрические данные ранга один с данной поврехностью и дивизором, соответствующие пары Шура и соответствующие алгебры коммутиру^ . Заодно получаются примеры поверхностей, которые не могут бытьющих операторов в спектральными поверхностями максимальных колец дифференциальных операторов.В § 6.3 определяются модифицированные системы Паршина, а в конце раздела приводится пример геометрических данных, построенных по паре Шура, соответствующие^ , пример модифицированной системы, определяющейим коммутирующие операторы в деформации операторов, некоторые ее уравения — аналоги уравнения КдФ из классической теории КП, а также точные решения — аналог рациональных решений уравненияКдФ (эта система определяет также деформации ряда других «тривиальных» алгебр, атакже определяет потоки на пространстве модулей Коэно-Маколеевых пучков ранга одинс фиксированным полиномом Гильберта на спектральной поверхности таких алгебр).15Глава 1Коммутирующие обыкновенныедифференциальные операторыВ этой главе напоминаются необходимые сведения и результаты о классификацииколец обыкновенных дифференциальных операторов (ОДО), об отображении Кричевераи его свойствах.
Также данная глава содержит результаты, полученные в работах [14], [100]о существовании бесконечных серий коммутирующих операторов в первой алгебре Вейлясо спектральными кривыми произвольного рода, лежащих в разных орбитах относительнодействия группы автоморфизмов.1.1Аналитическая теория коммутирующих ОДОДанный раздел содержит краткое описание известных результатов и вводит обозначения, в той мере, какой они необходимы для изложения результатов работ [14], [100] осуществовании бесконечных серий коммутирующих операторов в первой алгебре Вейлясо спектральными кривыми произвольного рода, лежащих в разных орбитах относительно действия группы автоморфизмов. Более подробные алгебраические определения необходимых для большей части диссертации понятий, а также соответствующие теоремы,приведены в следующем разделе 1.2.1.1.1Вводные замечания и обзор аналитической теорииРассмотрим -алгебру (в этом разделе = C) обыкновенных дифференциальныхоператоров = [[]][].Напомним вкратце теорию коммутативных подалгебр в .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
