Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Объясним подробней суть этой теоремы, и ее связьс проблемой классификации колец коммутирующих ДО.Пользуясь идеями и техникой, развитой при исследовании двумерных локальных телв работах [9] и [10], а также развивая чисто алгебраическую технику Шура для колец многомерных псевдодифференциальных операторов, в работе [11] мы определили пополнение^ кольца дифференциальных операторов от двух переменных, которое содержит кольцодифференциальных операторов в частных производных в качестве плотного подкольца.Среди операторов этого кольца есть также разностные операторы, и все его операторы линейны и действуют на кольце ростков аналитических функций.
В той же работе мы ввели^ — аналог эллиптипонятие квази-эллиптических колец коммутирующих операторов в ческих колец коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов. Эти кольцаопределяются тем, что содержат пару операторов специального вида. Это условие достаточно слабое: так, все кольца коммутирующих операторов, упоминавшиеся выше в разныхработах, становятся квази-эллиптическими после линейной замены переменных.
При этомквази-эллиптические кольца дифференциальных операторов обладают свойством «чистоты»: любое коммутативное кольцо, содержащее такое кольцо, лежит в , то есть состоитлишь из дифференциальных операторов. Далее в этой работе мы доказали теорему классификации таких колец: а именно, мы установили взаимно-однозначное соответствие между классами таких колец, подпространствами определенного типа в двумерном локальном поле (двумерными парами Шура), и классами изоморфных геометрических данных,очень похожих на геометрические данные Паршина (модифицированные данные Паршина), состоящих из проективной поверхности, обильного Q-Картье дивизора, регулярнойточки на дивизоре, квази-когерентного пучка без кручения с определенными условиямина когомологии, и некоторых данных тривиализации.
При этом возникает формальныйаналог функции Бейкера-Ахиезера, которая строится по подпространству из пары Шурапри помощи двумерного аналога теоремы Сато, доказанного в той же работе [11]. Крометого, там же был посчитан первый пример кольца коммутирующих пополненных операторов, отвечающих простейшей паре Шура, выведены некоторые явные уравнения однойиз обобщенных иерархий КП, и найдено их решение. И операторы, и решение оказалисьразностными операторами необычного вида, а одно из уравнений совпало с уравнениемКдФ, что было обусловлено выбором подпространства в паре Шура.Поскольку модифицированные геометрические данные Паршина классифицируют втом числе кольца дифференциальных операторов, возник естественный вопрос об условиях, выделяющих среди таких данных те, которые отвечают этим кольцам. В работах [86], [13], [12] были определены и исследованы спектральные данные коммутативныхконечно порожденных колец с некоторыми условиями на старшие символы.
Кроме того, в работе [86] отображение Кричевера-Паршина было расширено на модифицированные данные Паршина, и установлена связь с теорией риббонов (в частности, установлена связь между парами Шура и обобщенными фредгольмовыми подпространствами), ав работе [12] получены результаты о преобразованиях Дарбу колец дифференциальныхоператоров с рациональной спектральной поверхностью и разобрано несколько известныхпримеров. В итоге были выведены некоторые необходимые условия на модифицированные данные Паршина, описывающие кольца дифференциальных операторов. Эти условиясильно сузили класс допустимых геометрических данных, особенно данных, описывающихкольца ранга 1 (алгебраически интегрируемые квантовые системы). Есть гипотеза, что этиусловия также достаточны.В частности, оказалось, что достаточно рассматривать Коэно-Маколеевы поверхности с обильным рациональным Q-Картье дивизором с индексом самопересечения 2 = 1и с Коэно-Маколеевым пучком без кручения ℱ с фиксированным полиномом Гильберта инулевыми когомологиями.
Пространство модулей таких пучков (ранга 1), наряду с группо-9вой инд-схемой Пикара риббона, происходящего из таких геометрических данных, могутслужить подходящим аналогом обобщенного якобиана спектральной кривой (из теории вразмерности один), параметризующим деформации колец коммутирующих операторов.Цель работыЦель работы — исследование алгебро-геометрических свойств колец коммутирующих дифференциальных операторов со скалярными коэффициентами, имеющих важноезначение для решения классических проблем, упомянутых в начале введения, а такжедоказательство существования бесконечных серий коммутирующих операторов в первойалгебре Вейля, лежащих в разных орбитах относительно действия группы автоморфизмов.Научная новизнащем.Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следую-1.
Доказано существование бесконечных серий коммутирующих операторов в первойалгебре Вейля со спектральными кривыми произвольного рода, лежащих в разныхорбитах относительно действия группы автоморфизмов.2. Определены алгебро-геометрические спектральные данные для алгебр коммутирующих дифференциальных операторов в частных производных с пустым пересечениемхарактеристических дивизоров и исследованы их основные свойства.3. В пополненном кольце дифференциальных операторов в частных производных отдвух переменных определен класс коммутативных подалгебр, включающий в себя алгебры коммутирующих дифференциальных операторов в частных производных. Алгебры из этого класса классифицированы в терминах специальных подпространствдвумерного локального поля («пар Шура»), а также в терминах геометрическихданных (модифицированных данных Паршина).4. Определены формальные проколотые ленты (риббоны) и пучки без кручения наних и исследованы их основные свойства.
Доказана восстанавливаемость модифицированных данных Паршина по связанным с ними риббону и пучку без крученияна нем. Установлено взаимно-однозначное соответствие между этими объектами иобобщенными фредгольмовыми подпространствами в двумерном локальном поле.5. Изучена группа Пикара риббонов.
В частности, доказана про-представимость функтора Пикара для риббонов, удовлетворяющих определенным условиям.6. Получены необходимые условия на геометрические данные, выделяющие среди нихспектральные данные алгебр коммутирующих дифференциальных операторов вчастных производных. Как следствие теории, получены результаты о преобразованиях Дарбу колец дифференциальных операторов с рациональной спектральнойповерхностью, и о пополнении аффинной плоскости.Методы исследованияВ работе используются методы алгебраической геометрии, коммутативной алгебры,теории интегрируемых систем, а также общие методы теории многомерных локальныхполей.10Теоретическая и практическая ценностьРабота носит теоретический характер.
Результаты диссертации могут найти применение в алгебраической геометрии, теории интегрируемых систем и теории нелинейныхдифференциальных уравнений.Апробация работыРезультаты работы докладывались автором на семинаре отдела алгебры и теориичисел (семинар И. Р. Шафаревича) и семинаре по арифметической алгебраической геометрии в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН (МИАН), на семинаре «Дифференциальная геометрия и приложения», на семинаре «Группы Ли и теория инвариантов»и на семинаре «Узлы и теория представлений» на Механико-математическом факультетеМосковского государственного университета им. М.
В. Ломоноcова, на семинаре «Геометрия, топология и мат. физика» отдела геометрии и топологии МИАН, на семинаре секторамат физики ИТФ (Черноголовка), на семинаре «Римановы поверхности, алгебры Ли и математическая физика» в Независимом московском университете, на семинаре в ИТЭФ, насеминарах в Берлинском университете им. Гумбольда и свободном университете Берлина,университете Кельна (Германия), в Саламанском университете (Испания), в центральном коллежде Лиона (Франция), в Математическом институте им.
Макса Планка (Бонн,Германия), а также на международных конференциях, в том числе:— Международная конференция (Воркшоп) «Локальные поля, алгебраическая геометрия и обобщенные иерархии КП», Гумбольдтский Университет г. Берлин, Германия, 2- 7 июня 2005— Международная конференция «Geometry and quantization», МИРАН, Москва, 9-23сентября 2007— Летняя школа-конференция по алгебраической геометрии и комплексному анализу, Ярославль, ЯГПУ, 2-7 июня 2008— Международная конференция им.
Л.Понтрягина «Дифференциальные уравненияи топология», Москва, МГУ, 17-22 июня 2008— Международная конференция по геометрии и квантованию в ЛюксембургеGeoQuant, 31 августа - 12 сентября 2009, университет Люксембурга— Международная конференция, посвященная 70-летию В.А. Садовничего, апрель2009, МГУ, Москва— Международная конференция, посвященная памяти Рохлина, С-Петербург, 10-16января 2010— Международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2011», посвященная 50-летию кафедры геометрии и топологии Новосибирского государственного университета— Международная конференция “Торическая топология и автоморфные функции”,2011, Хабаровск, ИПМ ДВО РАН— Международная конференция «Геометрия, топология, алгебра и теория чисел,приложения», посвященная 120-летнему юбилею Бориса Делоне, 16–20 августа 2010,Москва, МИАН, МГУ им.
Ломоносова,— Четвертая международная конференция по геометрии и квантованию «Geoquant»,11–17 сентября 2011, Китай, Tianjin, Chern Institute of Mathematics,— Международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2012, 2014, 2015»,ИМ СО РАН, Новосибирск,— Международная Конференция XVII geometrical seminar, 2012, Златибор, Сербия,11— Международная научно-практическая конференция «Математика в современноммире», посвященная 150-летию со дня рождения выдающегося российского математикаД.А. Граве, 2013, Вологда, ВГПУ,— Международная Конференция: Around Sato’s theory on soliton equations, 2013, Токио, Япония,— Международная Конференция: 13 Serbian Mathematical Congress, 2014, VrnjachkaBanja, Сербия,— Международная Конференция : “Torus Actions in Geometry, Topology, andApplications”, Сколково, Skoltech, Москва, 16-21 февраля 2015 г.— V школа-конференция по алгебраической геометрии и комплексному анализу длямолодых математиков России, Коряжма, 17-23 августа 2015 г.ПубликацииОсновные результаты диссертации опубликованы в следующих 11 работах автора:[10], [16], [17], [84], [85], [11], [13], [86], [14], [12], [100].Структура диссертацииДиссертация состоит из введения, 6-ти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы.Содержание работыВо введении приводится краткий обзор ранее известных результатов и результатовдиссертации.В первой главе напоминаются необходимые сведения и результаты о классифика-ции колец обыкновенных дифференциальных операторов, об отображении Кричевера иего свойствах.
Также первая глава содержит результаты о существовании бесконечныхсерий коммутирующих операторов в первой алгебре Вейля со спектральными кривымипроизвольного рода, лежащих в разных орбитах относительно действия группы автоморфизмов.§ 1.1 содержит краткое описание известных результатов и вводит обозначения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
