Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 10
Текст из файла (страница 10)
( Соответствие Сато). Отображения ′ ← → Gr+ ( ),где () = −1 , () = −1 (0 ), имеют следующие свойстваi) для любых ∈ , = () ∈ ′ и = () ∈ + диаграмма‘←‖→‖−′← −′→‖(, / )↑(, )коммутативна. Здесь и — якобианы отображений , на касательном пространстве , и отображение′ () = [ −1 , ],отображение ′ () = − −1 , действующее на через отображение Сато,с ∈ − .ii) для любых ∈ , = () ∈ ′ и = () ∈ + , и любого ≥ 1 (−( −1 )− ) = , (−( −1 )− ) = Замечание 7.
Отображения и могут быть получены из соотвествующих действийгруппы на многообразия ′ и ( ). Нужно рассмотреть действия на орбитах, проходящих через и 0 соответственно. Первая орбита — это одна из коприсоединенныхорбит для (бесконечномерной) группы Ли .Следствие 5. . Соответствие Сато индуцирует диаграмму биекций: ′ ← /0 → Gr+ ( )/[[]]* ,где 0 = ∩ (( −1 )), и действие [[]]* на ( ) определяется из структуры модуля над .Замечание 8. Есть и другие точки зрения на иерархию КП.
Работы И. М. Гельфанда,Л. А. Дикого [4] и других авторов (см. например [90]) интерпретируют их как бесконечномерные гамильтоновы системы. М. Ротштейн в [128] дает интерпретцию ограничениядинамической системы КП на якобиан кривой через преобразование Фурье-Мукаи. В работах В.
Г. Дринфельда и В. В. Соколова [8] определен целый ряд иерархий (обобщений иерархии КдФ — редукции иерархии КП), ассоциированных с алгебрами Каца-Муди.38Этот подход был впоследствии развит в рамках программы геометрического соответствияЛенглендса [33], [35].
Ометим, что получающиеся в рамках этой программы алгебраические интегрируемые системы связаны с проблемой классификации коммутирующих дифференциальных операторов с матричными коэффициентами [108, §6]. Представляетсякрайне интересным развить соответствие между теорией коммутирующих операторов сматричными коэффициентами и теорией коммутирующих операторов со скалярными коэффициентами. В частности, интересно понять существует ли разумный способ строитькоммутирующие операторы со скалярными коэффициентами по данным коммутирующимоператорам с матричными коэффициентами.39Глава 2Алгебро-геометрические спектральныеданные колец коммутирующихдифференциальных операторов вчастных производныхВ этой главе напоминаются необходимые сведения и известные результаты о свойствах колец дифференциальных операторов в частных производных, а также доказывается теорема об общих свойствах спектральных данных из работы [86].2.1Вводные замечания и обзор известных свойствВ случае дифференциальных операторов в частных производных, т.е.
в случае > 1переменных, вопросы, сформулированные в начале введения, являются нетривиальнымидаже в простейшей формулировке: как найти кольцо коммутирующих дифференциальныхоператоров, содержащих + 1 оператор 0 , . . . , с алгебраически независимыми постоянными старшими символами 1 , . . .
, , такими что кольцо C[A ] конечно порождено какмодуль над кольцом, порожденным 1 , . . . , , и 0 не является полиномом от 1 , . . . , ?Для колец дифференциальных операторов в частных производных И.М. Кричеверомв работе [19] в этой ситуации были получены следующие результаты. Пусть =∑︁||≤ (), = (1 , . .
. , ), = (1 , . . . , ), = 0, . . . , ,— дифференциальные операторы по переменным 1 , . . . , со скалярными коэффициентами, где |||| = 1 + · · · + ,=.1 1 . . . Предположим, что старшие символы операторов 1 , . . . , алгебраически независимы ичто множество их нулей в P−1 пусто (см.
обозначения и обзор известных свойств дифференциальных операторов ниже). Если отказаться от этих ограничений, то существуют неконечнопорожденные коммутативные кольца операторов (см. например, [80]).Теорема 15. ( [19]) Существует ненулевой полином (0 , . . . , ) такой, что(0 , . . . , ) = 0.40Многообразие ⊂ C+1 , заданное уравнением(0 , . .
. , ) = 0,— аффинное спектральное многообразие операторов 0 , . . . , . Спектральное многообразие параметризует совместные собственные значения операторов : (, )(, ) = (, ), = (0 , . . . , ) ∈ .Теорема 16. ( [19]) Предположим, что для точки ∈ общего положения существуетединственная с точностью до пропорциональности совместная собственная функция операторов .Обозначим через (), = (1 , . . . , ) старшие символы операторов , = 1, .
. . , .Существует единственное решение системы уравнений (, ) = ()(, ), ( = 1, . . . , ),имеющее вид1 1 +···+ (, ) = ∞∑︁( (, )),=0где (, ) — однородные по рациональные функции степени −. Кольцо операторов,коммутирующих с , 1 ≤ ≤ , коммутативно. Функция (, ) является собственнойдля всего кольца.В [19] построено вложение многообразия во взвешенное проективное пространство,^ . Отметим, что дивизор = Γ∖Γ^ при такой компактифичто дает его компактификацию кации рационален (см. теорему 18 ниже). Функция Бейкера-Ахиезера (, ) из теоремыимеет также имеет интерпретацию через сечение семейства спектральных пучков и черезаналог оператора Сато как в разделе 1.2, см. раздел 3.5.6 ниже.Существуют интересные примеры -мерных коммутативных колец дифференциальных операторов со скалярными коэффициентами (см.
ссылки, указанные во введении), ноэффективной классификации таких колец пока не получено. Более того, не ясно, какиеалгебраические многообразия могут отвечать коммутативным кольцам дифференциальных операторов. Хотя мы и выводим в этой диссертации ряд необходимых условий (см.теорему 18, следствие 23 и также пример 25), полный список их пока неизвестен.Отметим, что наши вопросы можно переформулировать еще на языке алгебраическиинтегрируемых систем следующим образом. В работе [39] был определен квантовый аналог классического определения интегрируемой гамильтоновой системы. Квантовой вполнеинтегрируемой системой (КВИС) на алгебраическом многообразии авторы называлипару (Λ, ), где Λ — неприводимое -мерное аффинное алгебраическое многообразие, а : Λ → () — вложение алгебр (алгебра () дифференциальных операторов на здесь выступает в качестве квантового аналога пуассоновой алгебры ( * )).По определению, КВИС = (Λ, ) называется алгебраически интегрируемой, еслиона доминируется другой КВИС ′ ранга один (подробности определений см.
в той жестатье), где ранг КВИС — размерность пространства формальных решений системы() = (), ∈ Λв общей точке . Эти определения в работе [39] были также обобщены на случай интегрируемых систем на формальном полидиске, который нас в основном в этой диссертации и интересует. В этом случае = Spec([[1 , 2 , . . . , ]]), а символы , (), ()обозначают соответственно [[1 , .
. . , ]], ((1 , . . . , )), [1 , . . . , ], где = / . Встатье [39] был установлен критерий алгебраической интегрируемости КВИС в терминахсоответствующей дифференциальной группы Галуа.412.1.1Обзор известных свойствОбщие замечания и обозначенияПусть — коммутативная -алгебра, где — поле характеристики нуль.В этих обозначениях обычным образом определяется фильтрованное кольцо () -линейных дифференциальных операторов и -модуль Der() дифференцирований (см.например [18, Гл. 11] или [38]):0 () ⊂ 1 () ⊂ 2 () ⊂ . . . , () () ⊂ + (),Der() ⊂ 1 () () определяются по индукции как под--бимодули кольца End (); по определению, 0 () = End () = ,+1 () = { ∈ End ()| т. что для всех ∈ [, ] ∈ Der()}.Также обычным образом определяется градуированное кольцо(()) = ⊕∞=0 ()/−1 () (−1 () = 0)и для ∈ () определен главный символ ( ) = mod −1 (). Для ∈ , ∈ имеем: ( ) () = + ( ), [, ] ∈ +−1 ; поэтому (()) — коммутативнаяградуированная -алгебра со скобкой Пуассона{ ( ), ()} = +−1 ([, ])с обычными свойствами.КоординатыОпределение 12.
Будем говорить, что в определена система координат (1 , . . . , ) ∈ если1. отображениеDer () → , ↦→ ((1 ), . . . , ( ))биективно.2. ∩∈Der () Ker () = .В этом случае существуют 1 , . . . , ∈ Der () такие что ( ) = ,Ker (1 ) ∩ . . . ∩ Ker ( ) = .Тогда Der() — свободный -модуль с порождающими 1 , . . .
, , и [ , ] = 0. Легкопроверить (по индукции по степени), что(()) ≃ [1 , . . . , ] где ↦→ mod 0 () ∈ 1 (())и что для ∈ (), ∈ () выполняется равенство{ ( ), ()} =∑︁ ( )=1 ( ()) −∑︁ ()=1 ( ( ))(2.1)(где продолжается на кольцо [1 , . . . , ] по правилу ( ) = 0).Система (1 , . . . , , 1 , . . .
, ) называется канонической системой координат. Типичный пример кольца с системой координат — кольцо [1 , . . . , ] или [[1 , . . . , ]], гдев последнем случае мы рассматриваем кольцо непрерывных дифференциальных операторов и пространство непрерывных дифференцирований относительно обычной топологиина [[1 , . . . , ]] заданной максимальным идеалом. Кольцо [[1 , .
. . , ]] будет основнымпримером для большей части этой диссертации.42Замена координатЕсли (1 , . . . , ) — другая система координат, то определен новый базис (1′ , . . . , ′ )алгебры Der (), и замена координат задается матрицей⎛⎞1 (1 ) . . . (1 )⎜ 1 (2 ) . . . (2 ) ⎟⎜⎟⎜⎟=......⎝⎠...1 ( ) . . . ( )где (1′ , . .
. , ′ ) = (1 , . . . , ), (1′ , . . . , ′ ) = (1 , . . . , ).Определение 13. Если фиксирована система координат (1 , . . . ), то, помимо обычнойфункции порядкаord( ) = inf{| ∈ ()}и обычной фильтрации, определена более тонкая Γ-фильтрация, где Γ = Z — упорядоченная группа, снабженная анти-лексикографическим порядком.Каждый элемент ∈ () может быть записан как конечная сумма∑︁ =1 ... 11 . . .
, и мономы 1 ... 11 . . . с 1 ... ̸= 0 называются членами .Старший член — это член 1 ... 11 . . . ̸= 0 где (1 , . . . , ) > (1 , . . . , ) длявсякого другого члена.Определение 14. Элемент (1 , . . . , ) ∈ Γ называется Γ-порядком ordΓ ( ) и член1 ... 11 . . . называется старшим членом HT( ).Очевидно, что ordΓ ( ) = ordΓ ( )+ordΓ () и ordΓ ( +) ≤ max{ordΓ ( ), ordΓ ()},причем равенство выполнено если ordΓ ( ) ̸= ordΓ (). Также HT( ) = HT( ) HT() иHT( + ) = HT( ) если ordΓ ( ) > ordΓ ().Характеристическая схемаПусть ⊂ — левый идеал. Тогда определен однородный идеал ⟨ ( ), ∈ ⟩в кольце (), и подсхема, определенная этим идеалом, либо в Spec(()), либо вProj(()). Обе подсхемы называются характеристическими подсхемами Ch().
Мы будем рассматривать характеристическую подсхему в Proj(()).Если определена система координат, мы получаем Proj(()) = Proj([1 , . . . , ]) =Spec() × P−1. Рассмотрим идеал = , где — оператор с условием ord( ) = .Если ( ) ∈ [1 , . . . , ], то мы будем говорить, что главный символ постоянен. В этомслучае характеристическая схема является дивизором нулей многочлена ( ) в P−1 ,назовем ее Ch0 ( ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
