Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 9
Текст из файла (страница 9)
+ [[]](1.36)Напомним, что все пучки без кручения ранга один с фиксированной эйлеровой характеристикой представляют собой объединение орбит группы Pic0 (). А именно (см. [136, Sec.6]),существуют максимальные пучки без кручения, т.е. пучки не изоморфные прямым образам пучков без кручения на (частичной) нормализации кривой , и не максимальные.Если пучок максимален, то действие группы Pic0 () свободно на нем. Таким образом,любая орбита пучка без кручения ранга один — торсор над группой Pic0 ( ′ ), где ′ —частичная нормализация . У этого торсора определена топология, индуцированная топологией на Pic0 ( ′ ).В дальнейшем нам понадобится следующий факт: если эйлерова характеристика пучка ℱ на проективной кривой равна ≥ 0, то существует плотное открытое подмножество в орбите этого пучка, такое что для всякого ℒ ∈ 1 (, ℒ) = 0,ℎ0 (, ℒ) = , 1 (, ℒ(− )) = 0, 0 (, ℒ(− )) = 0(1.37)для некоторой точки ∈ .
Этот факт можно доказать по индукции по следующимобразом. Для любого пучка без кручения ℱ с эйлеровой характеристикой ≥ 0, любой34фиксированной гладкой точки и ≫ 0 имеем 1 (, ℱ()) = 0, ℎ0 (, ℱ()) = + >0. Для любого фиксированного глобального сечения ∈ 0 (, ℱ()) существует плотноеоткрытое подмножество ⊂ , такое что для любой точки ∈ образ при вложении в , (при любом выборе тривиализации) обратим.
Тогда из свойств (1.35) и (1.36)следует, чтоℎ0 (, ℱ( − )) = + − 1, 1 (, ℱ( − )) = 0.Тогда по индукции существует открытое подмножество ′ ⊂ , такое что для любойточки ∈ ′ 0 (, ℱ( − ( + ) )) = 0, 1 (, ℱ( − ( + ) )) = 0, 1 (, ℱ(( − ))) = 0,ℎ0 (, ℱ(( − ))) = .Окончание доказательства теперь следует из [27, Th.12.8] для морфизма : 0 ()× → 0 () и пучка Пуанкаре .1.2.2Связь с теорией КПВ 70-х годах была развита богатая теория КП, которая имеет, помимо всего прочего,глубокую алгебраическую структуру.
Под алгебраической структурой мы подразумеваемздесь соответствия между некоторыми решениями классических КП (КдФ и т.п.) уравнений и иерархий, геометрическими данными, кольцами коммутирующих обычных илиматричных дифференциальных операторов, точками и пространтвами модулей внутриуниверсального грассманиана, -функциями якобианов алгебраических кривых, а также -функциями.Напомним основные понятия классической теории КП ( [108]).Рассмотрим ассоциативную -алгебру с единицей и дифференцированием : →() = () + (), , ∈ .Для любой такой алгебры стандартным образом определяется кольцо псевдодифференциальных операторов:∑︁(( −1 )) : , ∈ ≪+∞[, ] = (),12 2 −1 = −1 + −1() −2 + −1 () −3 + . . .
.Введём зависимость операторов от формальных переменных = (1 , 2 , . . .). Для этого определим алгебруℛ = [[1 , 2 , 3 , . . .]]как проективный предел алгебр: ℛ = lim←− [[1 , . . . , ]], или (что в данном случае однои то же) как пополнение алгебры многочленов [1 , 2 , 3 , . . .] относительно топологии,задаваемой псевдонормированием : ℛ → N ∪ {∞},определённым следующим образом: ( ) = , () = 0 если 0 ̸= ∈ и ∞ иначе, ( + ) = min{ (), ()} если , ∈ ℛ, (11 · · · ) = 1 1 + . . . + если ∈ .Теперь рассмотрим кольцо ℛ(( −1 )).
В кольце ℛ(( −1 )) определено однозначное разложение:если ∈ ℛ(( −1 )),то = + + − ,35defгде + ∈ = ℛ[],def− ∈ ℰ− = ℛ[[ −1 ]] · −1 .В 60-х годах Лакс [87] установил следующий факт. Семейство обыкновенных дифференциальных операторов { ()}, зависящих от параметра, является изоспектральнымесли и только если () удовлетворяет уравнению Лакса ()= [(), ()],(1.38)где () — некоторый зависящий от параметра дифференциальный оператор, и [, ] — обычный коммутатор операторов. Причина, по которой здесь появляется дифференциальныйоператор (), состоит в том, что мы хотим получить изоспектральное семейство дифференциальных операторов.
Если бы мы использовали, например, псевдодифференциальный оператор (), то { ()} не было бы семейством дифференциальных операторов (абыло бы семейством псевдодифференциальных операторов), хотя и с той же спектральнойструктурой.∑︀Мы будем говорить, что оператор = имеет порядок , если ̸= 0 и∈Z = 0 для всех > . Мы будем говорить, что оператор порядка нормализован, если −1 = 0, и если = 1. Нормализованный оператор порядка > 0 имеет единственныйнормализованный корень -й степени.Предположим, что () ∈ нормализован порядка и() = ()1/ = + 2 −1 + 3 −2 + .
. .его корень. Легко показать, что уравнение Лакса (1.38) в этом случае эквивалентно уравнению()= [(), ()].(1.39)M.Муласе в работе [106, lemma 1.1] доказал следующую леммуЛемма 6. Пусть — нормализованный оператор первого порядка. Если ker( → )содержится в центре , то следующие условия для ∈ эквивалентны:(a) [, ] ∈ ℰ− .(b) является линейной комбинацией операторов ( )+ над ker .По существу, лемма говорит о том, что операторы ( )+ дают все возможные изоспектральные деформации = . Для разных деформаций естественно ввести разныедеформационные параметры.
Так мы получаем иерархию КП= [( )+ , ].(1.40)Если = ker( → ), то (1.40) описывает универсальное семейство всех изоспектральных деформаций оператора = . Преимущество использования оператора = 1/вместо заключается в том, что (1.40) не имеет отношения к порядку . Следовательно,(1.40) — универсальное уравнение для описания семейств деформаций любого нормализованного дифференциального оператора. Если мы хотим найти универсальное семействодифференциального оператора порядка , мы должны решить уравнение (1.40) для = + 2 −1 + 3 −2 + . .
. с дополнительным условием = ∈ . Дальнейшие деталисм. в работах [105, 106].Если выводить частные уравнения из системы (1.40), т.е. уравнения на функции2 , 3 , . . ., то мы получим хорошо известное уравнение КП(4 − ′′′ − 12′ )′ = 3для(, , ).36(здесь ′ означает производную по ). Одна из редукций этой системы, которая получается,если выполняется условие 2 ∈ — это уравнение КдФ4 − 7′′′ − 12′ = 0.Более подробно о выводе этих уравнений и дальнейшие детали см. в работах [118] и [108].Замечание 6. Скажем несколько слов о решениях иерархии КП и их отношении к реше-ниям уравнения КП. М.Муласе в работе [106] доказал однозначную разрешимость задачиКоши для классической и супер иерархий КП.
Если начальное условие (0) удовлетворяетсвойству (0) ∈ , то решение () имеет геометрическое происхождение, т.е. присходитиз некоторых геометрических данных, состоящих из полной алгебраической кривой, точки на ней, пучка без кручения и его тривиализации. А именно, в случае гладкой кривойопределим для каждого ≥ 1− () = (− )()|1 ↦→1 + ,()(1.41)где () — тета функция якобиана кривой, = (/1 , /22 , /22 , . . .) и — полиномыШура:∑︁∑︁exp( ) = .( здесь — формальная переменная). Тогда () = ()()−1 , где () = 1 + −1 −1 +−2 −2 + .
. ..В общем случае нужно заменить тета функцию на тау-функцию грассманиана Сато,см. [108] или [136] или [6].T.Шиота в работе [139] показал, что решение уравнения КП, построенное по тетафункции якобиана кривой продолжается до решения всей иерархии КП. Этот факт позволил в своё время найти решение проблемы Шоттки, см., например, обзор [6].Тау-функция сыграла впоследствии важную роль как производящая функция разнообразных топологических характеристик пространств модулей кривых, начиная с работ [148], [83].
Она была открыта Хиротой [74] для нахождения точных решений солитонных уравнений, затем формула для нее была усовершенствована Сато [132] с использованием точек грассманиана, а в цикле работ японских математиков [51] формулы для тауфункции выводились с помощью теории представлений группы петель (C) (ср.
[136,§10]).Отметим здесь простую связь между функцией Бейкера-Ахиезера (ранга 1) и оператором ():−1(, , ) = () .В свою очередь, оператор () — это оператор Сато точек грассманиана из потока КП нанем. Поясним что здесь имеется в виду.Если ∈ Gr( ), то мы имеем, что = Hom(, / ) — касательное пространствов точке к ( ), и имеется естественное отображение Hom(, ) → .
Для ∈ Zможно определить векторное поле на Gr( ). Оно есть образ оператора умножения на − в пространстве .Классическая иерархия КП — это динамическая система, определенная на аффинномпространстве ′ := + − . Касательное пространство к любой точке ∈ ′ каноническиотождествляется с − .Определение 11. -ое векторное поле иерархии КП на ′ определяется как =[( )+ , ].37Так как ( )+ = − ( )− , то поле принадлежит − .Множество = 1 + − — это группа, сохраняющая векторные поля −( −1 )− , ∈ . Касательное пространство к любой точке из — это снова − .Все эти многообразия, ′ , , + , имеют отмеченные точки: , 1, 0 = [ −1 ] (если = (())).Теорема 14 ( [118], теорема 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
