Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Наклон когерентного пучка без кручения (не обязательно локально сво-(︀)︀(︀)︀(), где () := dim 0 (, ) −dim 1 (, ) —бодного) на — отношение () := ()эйлерова характеристика пучка , и () — ранг . Когерентный пучок полустабилен,если для любого подпучка ′ ⊂ выполнено неравенство: ( ′ ) ≤ ().Следствие 4. Пусть — коммутативная подалгебра в , и ℱ — ее спектральныйпучок.1. Следующая последовательность когерентных пучков на точна:ev0 → Γ(, ℱ) ⊗ → ℱ → → 0,(1.30)где — пучок кручения на , чей носитель принадлежит аффинной кривой 0 .2.
Пучок ℱ полустабилен наклона один.(︀)︀evДоказательство (1) Пусть := Cok Γ(, ℱ) ⊗ → ℱ . В силу условия (3) в аксиоматическом описании спектрального пучка ℱ из теоремы 9, точка на бесконечности ∈ непринадлежит носителю . Отсюда следует, что — пучок кручения, чей носитель принадлежит 0 . Поскольку ранги пучков без кручения Γ(, ℱ) ⊗ и ℱ равны , ранг ker(ev)30равен нулю.
Это означает, что ker(ev) — пучок кручения. С другой стороны, ker(ev) — подпучок пучка без кручения Γ(, ℱ) ⊗ . Следовательно, ker(ev) = 0 и последовательность(1.30) точна.(2) Когерентный пучок ℱ̃︀ := ℱ(−[ ]) полустабилен. Действительно, из-за обращения в̃︀ = 0. Если ch — подпучок в ℱ̃︀, то 0 (, ch) = 0, а потому (ch) ≤ 0.ноль (1.29), (ℱ)Отсюда, ℱ̃︀ полустабилен, следовательно ℱ также полустабилен.Определение 7. Пусть ⊂ — коммутативная подалгебра.
Тогда (︀тройка (, )︀, ℱ)составляет часть спектральных данных алгебры . В частности, ∼= Γ ∖ { }, как -алгебра.Теорема 10 (Соответствие Кричевера). Рассмотрим следующие два множества:⃒}︀{︀DiffOp = ⊂ ⃒ коммутативная, эллиптическая и нормализованнаяи⃒⃒⃒⃒SpecData = (, , ℱ) ⃒⃒⎪⃒⎪⎩⃒⎧⎪⎪⎨ целая проективная кривая ∈ гладкая точкаℱ без кручения, 1 (, ℱ) = 0⃒evΓ(, ℱ) → ℱ ⃒ изоморфизм⎫⎪⎪⎬.(1.31)(1.32)⎪⎪⎭Тогда отображениеDiffOp → SpecData, ↦→ (, , ℱ)(1.33)сюръективно.
Более того, его ограничение DiffOp1 → SpecData1 на множество коммутативных подалгебр ⊂ ранга один, соответственно множество троек (, , ℱ)с пучком ℱ ранга один, является почти биекцией (слово “почти” означает, что спектральные данные алгебр и ′ одинаковы, если и только если ′ = () для ∈ Aut(),задаваемого умножением на скаляр ↦→ с ∈ * ).Комментарии к доказательству. В случае когда гладкая (риманова поверхность), этотрезультат был доказан Кричевером [19, T. 2.2]. Особые кривые и пучки без кручения были включены Мамфордом [109, Section 2] и Вердье [144, Proposition 4]. Их подход был вдальнейшем усовершенствован Муласе [107, Theorem 5.6], который расширил набор спектральных данных некоторыми формальными данными, чтобы получить биекцию в этойтеореме, а также установил биекцию этих данных с точками большой клетки грассманиана Сато.
Поскольку нам понадобятся многие понятия из этих конструкций, напомнимих.Чтобы соответствие Кричевера было сюръективным, к части спектральных данныхнеобходимо что-то добавить. В аналитической теории к этим данным добавляется функция Бейкера-Ахиезера (см. раздел 1.1), в алгебраической теории — тривиализации структурного и спектрального пучков. Чтобы восстановить кольцо по спектральным даннымпри таком подходе используются подпространства в пространстве степенных рядов Лорана и теорема Сато. Напомним как возникают эти подпространства.В 70-х годах была открыта конструкция, как ассоциировать с некоторыми алгеброгеометрическими данными бесконечномерное подпространство в пространстве (()) степенных рядов Лорана.
Эта конструкция была успешно использована в теории интегрируемых систем, в частности, для КП и КдФ уравнений, [19, 136]. Были также найденынекоторые приложения к модулям алгебраических кривых, [28, 34]. Теперь эта конструкция известна как it отображение Кричевера, [28, 35, 107, 126, 143].Пусть = (()) — поле степенных рядов Лорана с фильтрацией () = [[]].Если ∼= (()) — одномерное векторное пространтво над , то мы можем выбрать31фильтрацию () на , так что () () ⊂ ( + ) (в дальнейшем мы не будемразличать и , и будем по умолчанию использовать обозначение ). Пусть 1 := (0).Обозначим через Gr( ) множество -подпространств пространства , так чтокомплекс ⊕ 1 → (1.34)является фредгольмовым. (Такие -подпространства также далее будем называтьфредгольмовыми.) На этом множестве можно ввести структуру (бесконечномерного) проективного многообразия (грассманиана Сато), связные компоненты которого промаркированы Эйлеровой характеристикой комплекса 1.34, см.
[26, 79, 143]. (Далее Эйлерова характеристика комплекса 1.34 будет также называться Эйлеровой характеристикой ( )или индексом пространства .)Замечание 5. Отметим, что существуют немного разные определения определения грас-сманиана Сато. Так, в книге [26] он определяется как бесконечномерное многообразие сгильбертовыми картами, и его точки — подпространства в гильбертовом пространстве.Однако в дальнейшем подробно изучалась и использовалась алгебраическая версия этогограссманиана, которая нас и будет здесь интересовать, см. также обзоры в [142] и в [119].Рассмотрим кольцо псевдодифференциальных операторов = [[]](( −1 )).
Очевидно, ⊂ . Но в можно вычислять корни дифференциальных операторов: если ∈ — дифференциальный оператор порядка с обратимым старшим коэффициентом, то в определен (с точностью до умножения на корень из 1) корень : = .В определено естественное разложение: = + ⊕ − ,+ = , − = {∞∑︁ − }=1Нетрудно проверить, что + , − — ассоциативные подалгебры.С кольцом связана следующая важная теорема Шура:Теорема 11. Для любого ОДО положительного порядка обозначим через множе-ство всех ОДО, коммутирующих с .
Существует обратимый оператор порядка ноль: ∈ [[]] + − , такой что −1 ⊂ (( −1 )).Следовательно, ⊂ · (( −1 )) · −1 = ((−1/ )),и — коммутативная алгебра.Отметим, что оператор определен не однозначно:Определение 8. Обратимый оператор ∈ [[]] + − называется допустимым, если −1 ∈ (( −1 )).Обозначение: — группа допустимых операторов.Из соотношений коммутации видно, что = (( −1 )) ⊕ , и, таким образом, отображение → / = определяет линейное действие кольца на и также наGr( ). (Мы отождествляем здесь образ −1 с .) Подпространство 1 переводится дей′ствием операторов из в подпространство , соизмеримое с 1 . Это означает, что фак′′торпространтво + 1 / ∩ 1 — конечной размерности над . Таким образом, условиефредгольмовости из определения грассманова многообразия сохраняется.32Будем называть отображение : → отображением Сато.Наконец, обозначим через + большую клетку Грассманова многообразия:+ ( ) = { ∈ ( ) : ⊕ (1) = }.Теорема 12 (теорема Сато).
Группа − = 1 + − просто транзитивно действует на+ .Доказательство этого утверждения можно найти, например, в [107, Appendix]. Теорема Сато имеет еще одну, динамическую интерпретацию, см. подраздел 1.2.2.С точками большой клетки тесно связано понятие пар Шура.Определение 9. Пара подпространств (, ) ⊂ , где ∈ + — пара Шура, если · ⊂ .Группа допустимых операторов действует на множестве пар Шура: (, ) = ( −1 , ), ∋ Будем говорить, что пары (, ) и (′ , ′ ) изоморфны, если существует допустимыйоператор ∈ такой, что (, ) = (′ , ′ ).Ранг пары Шура — это число(, ) = {ord | ∈ }.Теорема 13.
Существует биекция:[ранга ] ⇔ [(, ) ранга ]/ ≃Доказательство этого утверждения содержится в работе [107].Биекция из теоремы вполне конструктивна: ↦→ (, ), где = −1 , = ( −1 ) = −1 + ,где + = () = [] и — оператор из теоремы Шура (определенный с точностью додопустимого оператора). Обратно:(, ) ↦→ = −1 , где = −1 + ,оператор однозначно определен по теореме Сато.Пример 8. Вот один из примеров. Если взять рациональную кривую 2 = 3 , то всепучки без кручения (с нулевыми когомологиями) описываются так: это ( − ) и одинне локально свободный пучок * (P1 (−1)). Соответствующие пары Шура: = ⟨ − , .
. . , −1 , 1 + ⟩.Соответствующие кольца дифференциальных операторов порождены операторами: = 2 − 2,(1 − )2 = 3 − 3−32(1 − )(1 − )3Опишем теперь полный алгебро-геометрический набор спектральных данных.33Определение 10. Алгебро-геометрические спектральные данные в размерности один —это набор {, , , ℱ, }, где ∈ℱпроективная неприводимая кривая /гладкая точкаформальный локальный параметр в пучок без кручения ранга r на тривиализация ℱ в .^, ≃ [[]].В частности, задан также изоморфизм : Схема восстановления кольца коммутирующих операторов по геометрическим данным такова.
По данным {, , , ℱ, } строится пара Шура с ≃ 0 (∖, ), ≃ 0 (∖, ℱ) (отображение Кричевера), а затем восстанавливается кольцо по теореме 13.Пара Шура , ⊂ (()) строится так: — образ группы 0 (∖, ) в пространстве(()) (который строится с помощью тривиализации ), и — образ группы 0 (∖, ℱ)в пространстве (()) (который строится с помощью тривиализации ).
Если выбратьдругую тривиализацию пучка ℱ , то новое пространство будет отличаться от старогоумножением на элемент ∈ [[]]* , а пространство не изменится.Отметим, что в работе [107] установлено даже немного более широкое соответствие:там определены категории пар Шура и геометрических данных, и доказана их эквивалентность. Этот подход обобщается в размерность 2, см. главу 3.1.2.1Свойства отображения Кричевера в размерности одинНапомним некоторые свойства классического отображения Кричевера для пучковбез кручения ранга один (подробности см. в [107], [108]; мы будем пользоваться слегкадругими обозначениями, чем в этих статьях).Имеются следующие свойства в терминах пространств , :˜ ()),ℱ( ) ≃ Proj((1.35)˜ = ⊕∞где =0 , = ∩ · [[]]; 0 (, ℱ) ≃ ∩ [[]], 1 (, ℱ) ≃(()).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
