Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Аналогичное выражение для функции Бейкера-Ахиезера существует для произвольной коммутативной подалгебры ⊂ ранга один с гладкой спектральной кривой , см. [19].Основная сложность в построении операторов ранга > 1 заключается в том, чтофункция Бейкера-Ахиезера не может быть найдена явно, за редким исключением: например, в работе [99] было показано, что класс функций Бейкера-Ахиезера содержит некоторые известные специальные функции.
Тем не менее, коэффициенты коммутирующихоператоров иногда можно находить и без функций БА. Одним из основных способов сделать это является метод деформаций параметров Тюрина.Напомним этот метод из работы [21]. Главная идея этого метода заключается в изучении линейного дифференциального оператора, обращающего в ноль общие собственныефункции.
Общие собственные функции коммутирующих дифференциальных операторовранга являются решениями дифференциального уравнения порядка () (, ) = 0 (, )(, ) + · · · + −1 (, ) (−1) (, ).Коэффициенты являются рациональными функциями на кривой с простыми полюсами 1 (), . . . , () ∈ , и со следующим разложением в ряд в окрестности точки0 (, ) = −1 + 0 () + (), (, ) = () + (), 0 < < − 1,−1 (, ) = ().Пусть −1 − () — локальный параметр в точке (). Тогда =, ()+ , () + ( −1 − ()).− () −1Функции (), () удовлетворяют следующим уравнениям (см. [20]).,−1 () = −′ (),(1.7)′,0 () = ,0 (),−2 () + ,0 (),−1 () − ,0(),(1.8)′, () = , (),−2 () − ,−1 () + , (),−1 () − ,(), ≥ 1,(1.9)(),где , () = ,−1, 0 ≤ ≤ − 1, 1 ≤ ≤ .
Чтобы найти , необходимо решить()уравнения (1.7)–(1.9). Зная функции , можно найти коэффициенты операторов. В случае20 = 1, = 2 Кричевер и Новиков [21] смогли решить эти уравнения и найти операторы.Так, операторы четвертого порядка имеют вид)︀2(︀ = 2 + + 2 (℘(2 ) − ℘(1 )) + ( (℘(2 ) − ℘(1 ))) − ℘(2 ) − ℘(1 ),где 1 () = 0 + (), 2 () = 0 − (),11 2+ 2 (Φ (0 + , 0 − ) − Φ2 (1 , 2 )),() = − 2 ++ 2Φ(1 , 2 ) −24 4 2Φ(1 , 2 ) = (2 − 1 ) + (1 ) − (2 ),(), ℘() — функции Вейерштрасса, () — произвольная гладкая функция, 0 — констан˜ .та. Оператор коммутирует с оператором шестого порядка Операторы ранга 3, соответствующие эллиптическим спектральным кривым, былинайдены О.
И. Моховым [101]. В работах [93–95,152] были построены примеры операторовранга 2,3 со спектральными кривыми родов 2–4.В работе [96] изучались коммутирующие операторы ранга два и порядков 4 и 4 + 2с гиперэллиптической спектральной кривой4 = ,4+2 = ,2 = () = 2+1 + 2 2 + · · · + 0 .Общие собственные функции операторов 4 и 4+2 удовлетворяют дифференциальномууравнению второго порядка ′′ − 1 (, ) ′ − 0 (, ) = 0, = (, ) ∈ ,где 0 (, ), 1 (, ) — рациональные функции на кривой , удовлетворяющие уравнениям (1.7)–(1.9).Напомним несколько результатов из этой работы.Теорема 1.
( [96]) Оператор 4 формально самомопряжен если и только если1 (, ) = 1 (, ()),где — инволюция гиперэллиптической кривой .Теорема 2. ( [96]) Если 4 формально самосопряжен, т.e. 4 = (2 + ())2 + (), то0 = −1 + − ,2 1 =,где = + −1 ()−1 + · · · + 0 (), 0 (), . . . , −1 () — некоторые функции. Функция удовлетворяет уравнению4 () = 4( − )2 − 4 ( )2 + ( )2 − 2 + 2(2 + 4 + 4 ).
(1.10)Из теоремы 2 следуетСледствие 1. Функция удовлетворяет линейному уравнению5 + 4 + 6 + 2(2 − 2 + ) − 2 = 0.(1.11)Следствие 2. Если = 1, то =2−161 ( 21 (−2 − )) + − 2 ,24(1.12)где 1 определяет спектральную кривую 2 = 1 () = 3 + 2 2 + 1 + 0 .С помощью теоремы 2 было недавно построено множество примеров операторов ранга 2 (см. [52, 53, 116]).211.1.2Коммутирующие операторы с полиномиальными коэффициентамиОсобый интерес представляют коммутирующие ОДО с полиномиальными коэффициентами.
Кроме того, что такие коэффициенты являются наиболее хорошими со всехточек зрения функциями, примеры таких операторов связаны со следующей гипотезойЮ. Береста.Группа автоморфизмов первой алгебры Вейля 1 = [][ ] действует на множестверешений уравнения (, ) =∑︁ = 0,, ∈ 1 , ∈ .(1.13),=0Группа (1 ) порождена следующими автоморфизмами1 () = + ,1 ( ) = + ,2 () = + 1 ( ),3 () = ,, , , ∈ , − = 1,2 ( ) = ,2 ( ) = + 2 (),где 1 , 2 — произвольные многочлены (см.
[55]). Возникает естественная и важная проблема описания пространства орбит относительно действия группы (1 ) на множестверешений уравнения (1.13). Такое описание могло бы дать шанс сравнить эндоморфизмы (1 ) и автоморфизмы (1 ) алгебры Вейля. Напомним гипотезу Диксмье дляалгебы 1 : (1 ) = (1 ) (а общая гипотеза Диксмье для алгебры стабильноэквивалентна гипотезе о якобиане, см. [76]). Берест высказал следующую интересную гипотезу:Если риманова поверхность, соответствующая уравнению = 0 с общими значениями ∈ имеет род = 1, то пространство орбит бесконечно, а если > 1, тосуществует лишь конечное число орбит.Если бы пространство орбит оказалось конечным для некоторого уравнения (1.13),то можно было бы доказать равенство (1 ) = (1 ).Рассмотрим уравнение 2 = 2+1 + 2 2 + · · · + 1 + 0 ,, ∈ 1 , ∈ .(1.14)Теорема 3. Для произвольного целого > 0 и произвольной спектральной кривой ,заданной уравнением 2 = 3 + 2 2 + 1 + 0 , существуют многочлены = +2 +2 + .
. . + 0 ,такие что оператор = + . . . + 0 ,+2 ̸= 0, ̸= 0,4, = (2 + ())2 + ()коммутирует с оператором шестого порядка 6, . Спектральная кривая операторов4, , 6, совпадает с .Отметим, что при = 14,1 = (2 + 3 3 + 2 2 + 1 + 0 )2 + 23 ,3 ̸= 0,и при 3 = 1, 1 = 2 = 0 операторы 4,1 , 6,1 совпадают с операторами Диксмье из [55].Операторы Диксмье были первыми примерами операторов с полиномиальными коэффи˜ ? Прициентами. Возникает естественный вопрос, как получить 4, , 6, из , = 1 ответ был дан П. Г.
Гриневичем в работе [5]:22∙ Оператор , соответствующий спектральной кривой 2 = 43 + 2 + 3 , имеетрациональные коэффициенты если и только если∫︁ ∞√︀() =,34 + 2 + 3()где () — рациональная функция. Если 0 = 0 и () = , то совпадает с 4,1 .В общем случае ответ пока неизвестен. Отметим, что аналогичная теореме 3 теорема длянесамосопряженных операторов доказана в препринте [15], а ответ на вопрос о том какустроена классификация всех операторов с полиномиальными коэффициентами даже дляэллиптической спектральной кривой до сих пор открыт.Доказательство (теоремы 3)Запишем уравнение (1.12) в виде12− 2 ,42 = −161 ( (2 − )) + 2(1.15)Продифференцируем обе части (1.15) по , а затем разделим на .
Получим1− 41′ ( (−2 − )) + 2 + 4 + = 0.2(1.16)Уравнение (1.15) эквивалентно системе уравнений: уравнению (1.16) и уравнению насвободный член в (1.15)10 12 = −41 ( (2 − 0 )) + 22 − 31 3 .2(1.17)Уравнение (1.16) эквивалентно системе из 2 + 1 уравнений с 2 + 4 переменными , . Заметим, что все уравнения имеют степень 2 и множество их решений состоитиз точек в 2+4 (с координатами , ), которые лежат в пересечении 2 + 1 квадрикзаданных этими уравнениями. По теореме [27, глава 1, теорема 7.2] пересечение этихквадрик с кубикой (1.17) в P2+4 (с однородными координатами , , ) непусто и каждаяего неприводимая компонента имеет размерность больше или равную 2.
По этой же причине пересечение с гиперплоскостью = { = 0} на бесконечности непусто и каждаяего неприводимая компонента имеет размерность больше или равную 1.Для доказательства утверждения достаточно доказать, что для любого фиксированного > 0 существует одномерная неприводимая компонента в ∩ . Из этого фактамы можем заключить, что аффинная часть пересечения непуста (на самом деле, мыувидим, что эта аффинная часть содержит точку с ненулевыми координатами +2 и ).Однородные части наших уравнений в P2+4 , которые не зависят от , могут бытьлегко записаны: для уравнения (1.16) это в точности коэффициенты при уравненияи для уравнения (1.17) — это4 + 2 − 3 2 ,(1.18)0 12 + 03 /2 = 0.(1.19)Следующим наблюдением является то, что уравнения (1.18), (1.19) всегда имеютрешения вида = (+2 ̸= 0 : ̸= 0 : 0 : .
. . : 0),2т.е. = +2+2 , = для любого > 0. Поэтому мы можем положить, например, = 1, +2 = 3/(62 ).23Докажем, что для любого фиксированного > 0 любая неприводимая компонента ∩ , содержащая , имеет размерность 1. Рассмотрим открытую аффинную окрестность: = 1. И рассмотрим пересечение ∩ с аффинной гиперплоскостью 0 = 0. Так какпересечение содержит ту же точку , оно непусто и поэтому каждая его неприводимаякомпонента имеет размерность больше или равную нулю.
Докажем что это пересечениесодержит в точности одну точку (а следовательно, все неприводимые компоненты ∩ ,содержащие , имеют размерность один).Заметим, что из (1.19) следует, что либо 0 = 0, либо 1 = 0. Если 0 = 1 = 0, тоиз уравнения (1.18) следует, что 0 = 0. С другой стороны, мы можем рассмотреть (1.18)как обыкновенное дифференциальное уравнение с полиномиальными коэффициентами нафункцию (). Решением этого уравнения является = 3 /2 + ,2 ∈ .Так как 0 = 0 = 0, то постоянная должна быть нулем.
Но тогда должно делитьсяна , т.е. = , так как = 1 и 0 = 0. Поэтому имеется только одно решение (, )у (1.18) и только одно решение у соответствующих однородных уравнений.Это означает, что имеется точка в аффинной карте ̸= 0 в , которая близка к ,т.е. ее координаты +2 и ненулевые.Коммутирующие операторы ранга два и порядков 4 и 4 + 2 с гиперэллиптическойспектральной кривой рода изучались в работе [96]. С помощью методов этой работыможно строить операторы ранга 2 при > 1. Например, оператор♯4 = (2 + 3 3 + 2 2 + 1 + 0 )2 + ( + 1)3 ,3 ̸= 0♯коммутирует с оператором 4+2 ( [96]).Мохов [102] доказал, что, применяя автоморфизмы♯♯из (1 ) к операторам 4 , 4+2 можно получить операторы рангов = 2 и = 3 , где — положительное целое число.Другой важный пример, построенный в [97], таков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
