Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Тем не менее, для построения коэффициентов коммутирующих операторов знание явного вида функции Бейкера-Ахиезера не необходимо. С. П. Новиковым5и И. М. Кричевером [21] был предложен для этой цели метод деформации параметровТюрина (задающих общее стабильное векторное расслоение на неособой кривой), с помощью которого можно в некоторых случаях строить явные примеры коммутирующихобыкновенных дифференциальных операторов. В той же работе они применили его дляпостроения всех коммутирующих операторов порядков 4 и 6 со скалярными коэффициентами, порождающих кольцо ранга два, с эллиптической спектральной кривой.
Впоследствии с помощью этого метода и некоторых других соображений О. И. Моховым, П. Г.Гриневичем, А. Е. Мироновым, а также их учениками были получены явные примерыбольшого количества других коммутирующих операторов разных рангов, со скалярнымиили матричными коэффициентами.Наиболее интересные примеры таких операторов — операторы со скалярными полиномиальными коэффициентами. Первые примеры таких операторов ранга 2 и 3, отвечающих кривой рода 1, были получены Диксмье [55] чисто алгебраическими методами. П.Г. Гриневич [5] нашел условия на функциональный параметр, участвующий в описанииоператоров Кричевера-Новикова, при которых коэффициенты операторов принимают видрациональных функций.
В частности, он нашел условие, при котором получались и примеры Диксмье. В дальнейшем коммутирующим операторам порядков 4 и 6 были посвященыеще несколько статей зарубежных авторов [73], [122], [56], [41], [15]. Тем не менее до сихпор полного описания коммутирующих операторов с полиномиальными коэффициентамидаже порядков 4 и 6 не было найдено.С полиномиальными примерами связана следующая гипотеза Ю. Береста.
Рассмотримполиномиальное уравнение от двух переменных в первой алгебре Вейля 1 =∑︀{ =0 , ∈ C[]}: (, ) =∑︁ = 0,, ∈ 1 , ∈ C.,=0Группа автоморфизмов очевидным образом действует на решениях этого уравнения. Гипотеза заключается в том, что при общих значениях коэффициентов ∈ C пространствоорбит конечно, если род соответствующей кривой = 0 больше 1, и бесконечно в случаерода 1. Если бы гипотеза была верна для некоторой кривой рода > 1, то можно было быполучить доказательство известной гипотезы Диксмье для первой алгебры Вейля. Долгоевремя стоял вопрос о том, существуют ли нетривиальные решения уравнения = 0, еслиэта спектральная кривая имеет произвольный род > 1. Ответ на этот вопрос был получен А.
Е. Мироновым [96]: он построил серию примеров коммутирующих операторов сполиномиальными коэффициентами ранга 2 и 3 с гиперэллиптической спектральной кривой произвольного рода. Впоследствии О. И. Мохов [103] расширил список таких примеровдля произвольного ранга. Отметим, что при построении таких примеров каждый раз необходимо решать нетривиальную систему уравнений, даже существование решений которойустановить непросто. Иногда это удается сделать с помощью алгебро-геометрических методов. В работе [100], комбинируя различные методы, мы доказываем гипотезу Берестадля кривых рода 1, и приводим пример гиперэллиптических кривых старшего рода, длякоторых она неверна.Классификация Кричевера впоследствии была переформулирована на абстрактномалгеброгеометрическом языке.
Так, для случая особых спектральных кривых она быламодифицирована Мамфордом [109], а абстрактная алгебро-геометрическая версия соответствия между спектральными данными и кольцами обыкновенных дифференциальныхоператоров была дана В. Г. Дринфельдом [7]. В геометрических спектральных данных поМамфорду стабильное расслоение заменялось на произвольный пучок без кручения с нулевыми когомологиями. Набор же функцональных параметров в дальнейшем превратилсяв выбор тривиализации этого пучка в точке кривой на «бесконечности».6Особые кривые играют важную роль для построения точных решений ряда нелинейных уравнений в частных производных: например, для уравнений Кортевега де Фриза(КдФ) или Кадомцева-Петвиашвили (КП) известные -солитонные решения соотвествуютрациональным кривым с двойными точками [110].
Уравнение КП особо выделяется среди точно решаемых нелинейных уравнений в частных производных, так как с ним связанорешение известной проблемы Шоттки, а также огромное количество работ из разных областей математики. С этим уравнением тесно связана бесконечная иерархия уравнений —иерархия КП, конструкцию некоторых точных решений которых, строящихся по алгеброгеометрическим спектральным данным колец коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов, приводил Кричевер в упоминавшихся выше работах. В 1982 годуМ.
Сато и Я. Сато обнаружили [133], что иерархия КП допускает линеаризацию, если еерассматривать как динамическую систему на бесконечномерном грассмановом многообразии (грассманиане Сато). Эффективность такой точки зрения была указана в работеСигала и Вилсона [136]. Параллельно с этой работой Муласе [105] доказал слабый вариантгипотезы С.
П. Новикова, относящейся к проблеме Шоттки: -функция абелевого многообразия доставляет решение иерархии КП тогда и только тогда, когда это многообразиеявляется якобианом какой-то кривой. Более того, было показано, что это абелево многообразие является орбитой КП-потоков на грассманиане Сато, и что по этой орбите легковосстанавливается сама кривая. Оказалось, что уравнения иерархии задают универсальные семейства изоспектральных деформаций колец коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов, которые параметризуются точками якобиана спектральнойкривой.
Попутно в этих и более поздних работах была получена еще одна модификациятеоремы классификации коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов:имеется взаимно-однозначное соответствие между классами изоморфных геометрическихспектральных данных ранга (где ранг — это ранг пучка в общей точке), точками большой клетки грассманиана Сато ранга (или классами «пар Шура»), и нормированными коммутативными алгебрами обыкновенных дифференциальных операторов ранга срегулярными скалярными коэффициентами. Отображение, строящее по геометрическимспектральным данным точку грассманиана Сато, было названо в работах Сигала, Вилсонаи Муласе отображением Кричевера. Отметим, что рассмотрение точек грассманиана Сато оказалось эффективным для нахождения точной формулы функции Бейкера-Ахиезерадля коммутирующих операторов ранга один, отвечающих рацинальной особой кривой:такая формула приведена в работе Вилсона [147].О классификации или построении явных примеров коммутирующих дифференциальных операторов в частных производных (ДО) известно гораздо меньше.
В работеИ. М. Кричевера [19] рассматривались также кольца коммутирущих дифференциальныхоператоров в частных производных, удовлетворящие некоторым условиям «общего положения», содержащие ( — число переменных) операторов с алгебраически независимыми постоянными старшими символами. Для таких колец был доказан аналог леммы Бурхнала-Чаунди, определено спектральное многообразие и предложена его компактификация, а также было доказано существование однозначно определенной функцииБейкера-Ахиезера (порождающей модуля собственных функций кольца), вполне определяющей кольцо по его спектральному многообразию.
Там же отмечалось, что компактифицированное спектральное многообразие имеет особенности. Обратная задача пока досих пор не решена: неизвестно, по каким именно многообразиям или более широким спектральным данным можно построить кольцо коммутирующих ДО, есть ли аналоги точныхформул функций Бейкера-Ахиезера, строящихся по многообразиям высшей размерности.Явные примеры таких колец известны, но их, в некотором смысле, не очень много. Первыенетривиальные примеры появились в работах [48], [49], [50]; они были связаны с квантовыми (деформированными) системами Калоджеро-Мозера.
Системам Калоджеро-Мозера7и связанным с ними примерам было посвящено с тех пор много работ, см. например обзоры [66], [47]. Кроме этих примеров, были примеры, полученные с помощью преобразованияДарбу [36]. Наконец, есть совсем недавние интересные примеры [3], [140].В работе [25] А. Н. Паршин определил аналог отображения Кричевера для алгебраических поверхностей, точнее говоря, для геометрических данных (данных Паршина),состоящих из Коэно-Маколеевой поверхности, обильного дивизора Картье, регулярнойточки, векторного расслоения и некоторых данных тривиализации.
Образом отображения является некоторое бесконечномерное подпространство (обобщенное фредгольмово) вдвумерном локальном поле. Позже, и другими методами, это отображение было обобщеноД. В. Осиповым [23] на данные произвольной размерности. В то же время, в работе [24]А. Н. Паршин развил элементы техники Шура для колец многомерных псевдодифференциальных операторов, а также исследовал в этих кольцах аналог иерархии КП. Такимобразом, появилась надежда на то, что грассманов подход к задаче классификации можетбыть применен и для случая большого количества переменных.Обобщенное отображение Кричевера-Паршина обладало свойством инъективности,причем исходные геометрические данные могли быть восстановлены по подпространству.Но оно не было сюръективным. В работе [84] мы определили новый вид геометрическихданных, формальные проколотые ленты (риббоны) и пучки без кручения на них, на который переносится обобщенное отображение Кричевера-Паршина, и которое устанавливаетбиективное соответствие между этими данными и обобщенными фредгольмовыми подпространствами в двумерном локальном поле.
Такие данные, в частности, строятся полюбым данным Паршина, а последние могут быть однозначно восстановлены по первым.Риббоны и пучки без кручения на них похожи на известные в алгебраической геометрии формальные объекты: формальные схемы, получающиеся пополнением схемы вдольподсхемы, и когерентные пучки на них. В качестве подсхемы в случае данных Паршинавыступает неприводимая кривая - обильный дивизор Картье. Преимущество рассмотрениятаких объектов было в том, что аналог иерархии КП, а также его модификации, изучавшиеся в препринте [151] и работе [17], задавали деформации обобщенных фредгольмовыхпространств в двумерном локальном поле, а через теорему о взаимно-однозначном соответствии — деформации пучков без кручения на риббонах, в связи с чем возникал вопрос овозможной интерпертации этих иерархий как динамических систем на пространстве модулей таких пучков.
Позже они помогли вывести также некоторые геометрические свойстваспектральных данных колец дифференциальных операторов в частных производных.В работе [85] было установлено, что пучки без кручения на риббонах, ограничениекоторых на кривую локально свободно, сами являются локально свободными. В связи сэтим там же была исследована группа Пикара риббона ( 0 ). Оказалось, что при некоторых ограничениях на когомологии структурного пучка риббона она обладает структуройинд-схемы, причем множество -точек этой инд-схемы совпадает с множеством -точекбесконечномерной алгебраической группы — группы Пикара формальной схемы (в случаериббона, происходящего из данных Паршина — пополнения поверхности вдоль дивизора).Несмотря на все эти результаты, оставалась неясной связь между геометрическимиданными Паршина, фредгольмовыми подпространствами в двумерном локальном поле,а также теорией риббонов, и кольцами коммутирующих дифференциальных операторов.Этот пробел был устранен в работе [11], играющей центральную роль в настоящей диссертации, в которой был предложен аналог теоремы классификации колец коммутирующихобыкновенных дифференциальных операторов: теорема классификации коммутативныхподалгебр в пополненном кольце дифференциальных операторов от двух переменных втерминах некоторых геометрических данных и в терминах некоторых подпространств вдвумерном локальном поле, тесно связанных с геометрическими данными Паршина и с8фредгольмовыми подпространствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
