Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861)
Текст из файла
Российская Академия наукМатематический институт им. В. А. СтекловаНа правах рукописиУДК 517.957+512.72+512.71Жеглов Александр БорисовичПучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системыСпециальность 01.01.06 —«математическая логика, алгебра и теория чисел»Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наукМосква – 20162ОглавлениеВведение . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1Коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы . . . .1.11.22Алгебро-геометрические спектральные данные колец коммутирующихдифференциальных операторов в частных производных . . . . . . . .
.2.12.23Вводные замечания и обзор известных свойств . . .2.1.1 Обзор известных свойств . . . . . . . . . . . .2.1.2 Отображение циклов и индекс пересечения .Геометрические свойства коммутативных колец ДО....................................................Коммутативные подалгебры в пополненной алгебре дифференциальных операторов . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.13.23.33.43.54Аналитическая теория коммутирующих ОДО . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1 Вводные замечания и обзор аналитической теории . . . . . . . . . .1.1.2 Коммутирующие операторы с полиномиальными коэффициентами .Алгебраическая теория коммутирующих ОДО . .
. . . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Свойства отображения Кричевера в размерности один . . . . . . . .1.2.2 Связь с теорией КП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Вводные замечания и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1 Расширения кольца () . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .3.1.2 Пополнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.3 Дальнейшие замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Строго допустимые кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Условия роста и аналог теории Шура . .
. . . . . . . . . . . . . . .3.3.1 Условия роста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2 Квази-эллиптические кольца коммутирующих операторов .Классификация подколец коммутирующих операторов в терминах3.4.1 Аналог теоремы Сато в размерности 2 . . .
. . . . . . . . .3.4.2 Классификация в терминах пар Шура . . . . . . . . . . . .Классификация в терминах геометрических данных . . . . . . . .3.5.1 Некоторые технические конструкции . . . . . . . . . . . . .3.5.2 Геометрические данные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.3 Ассоциированные пары Шура . . . . .
. . . . . . . . . . . .3.5.4 Категория геометрических данных . . . . . . . . . . . . . .3.5.5 Эквивалентность категорий . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.6 Модули Бейкера-Ахиезера . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ . . . . .. .
. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .пар Шура. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .Формальные пунктированные ленты (риббоны) и пучки без крученияна них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.141515152127333439394143444950505153545656596363656974778083858892Формальные пунктированные ленты (риббоны) и двумерные локальные поля 924.1.1 Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 9234.25....................................................................................9296108112118120120129132139140144Геометрические свойства коммутативных подалгебр ДО от двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.15.25.35.464.1.2 Категория формальных пунктированных лент (риббонов)4.1.3 Когерентные пучки на риббоне . . . . . . . . . . . . . . .4.1.4 Пополнение пучков на риббонах . . . . . . . . . . . . . . .4.1.5 Обобщенное отображение Кричевера–Паршина . .
. . . .4.1.6 «Картинные» когомологии . . . . . . . . . . . . . . . . . .Группа Пикара и функтор Пикара риббона . . . . . . . . . . . .4.2.1 Функция порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.2 Группа Пикара риббона . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .4.2.3 Функтор Пикара риббона . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.4 Теорема об обращении в ноль . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.5 Представимость функтора Pic∞ . . . . . . . . . . . . . .4.2.6 Представимость функтора Пикара риббона PicX̊∞ . . . . .Вводные замечания . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Геометрические свойства спектральных поверхностей . . . . . . . . . . . . .5.2.1 Конструкция маколеефикации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.2 Коэно-Маколеевость спектральных поверхностей . . . . . . .
. . . . .5.2.3 Конструкция склейки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Геометрические свойства спектральных пучков . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3.1 Когерентность спектрального пучка . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3.2 Отображение ограничения и Коэно-Маколеевость спектральногопучка . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3.3 Сравнение пар (, ) и (A, W) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3.4 Необходимые условия на геометрические спектральные данные . . . .Геометрические свойства рациональных коммутативных алгебр ДО . . . . .5.4.1 Теорема о пополнении . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .5.4.2 Теорема о преобразовании Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151152152154157160160163167170173173174Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.16.26.3«Тривиальные» алгебры коммутирующих операторов . . . . . . . .
. . . . . 178Разные примеры геометрических данных, пар Шура и коммутирующих операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Деформации коммутирующих операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Литература . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934ВведениеАктуальность темыВ алгебре, теории интегрируемых систем и теории уравнений в частных производныхесть две классические проблемы, появившиеся и впервые исследовавшиеся еще в работахВалленберга [145], Шура [135] и Бурхнала-Чаунди [44]: это проблема явного построениясемейств коммутирующих дифференциальных операторов и проблема классификации колец коммутирующих дифференциальных операторов в частных производных.В 20-х годах 20-го века Бурхнал и Чаунди дали описание пар коммутирующихобыкновенных дифференциальных операторов взаимно простых порядков, сведя задачук системе уравнений, связанной с аффинной спектральной кривой (т.е. плоской кривой,заданной уравнением, задающим алгебраическое соотношение между коммутирующимиоператорами).
Тогда же Бейкер заметил [31], что можно ввести общую собственную длякоммутирующих операторов функцию; эта функция впоследствии (будучи разнообразномодифицирована) сыграла решающую роль в эффективном построении коммутирующихобыкновенных дифференциальных операторов произвольных порядков.Новый прорыв в решении этих задач был совершён лишь в 70-е годы в связи с бурноразвивавшейся теорией точно решаемых нелинейных уравнений в частных производныхметодом обратной задачи рассеяния, а также теорией конечнозонных периодических иусловно периодических решений уравнения КдФ.
В работах И. М. Кричевера [19], [20]была дана классификация колец коммутирущих обыкновенных дифференциальных операторов «общего положения» (т.е. для гладких спектральных кривых) в терминах «геометрических спектральных данных», а также изложена идея эффективного построениякоммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов произвольных порядков.Центральную роль в таком построении, а также в классификации колец, и для построенияточных решений нелинейных уравнений в частных производных играла функция БейкераАхиезера или ее векторный аналог.
В случае, когда размерность пространства собственныхфункций кольца дифференциальных операторов в общей точке спектральной кривой равна 1 (такая размерность называется рангом кольца), Кричевером была дана формула дляэтой функции через тета-функции якобиана спектральной кривой. Классифицируемыекольца удовлетворяли некоторым ограничениям: рассматривались лишь эллиптическиекольца, т.е.
содержащие оператор ненулевого порядка со старшим коэффициентом 1. Этоусловие не слишком ограничивало общность, т.к. заменой переменной всегда можно привести кольцо к эллиптическому виду. Геометрические спектральные данные состояли, грубоговоря, из гладкой алгебраической проективной кривой произвольного рода, стабильноговекторного расслоения наклона 1 (которое задавалось с помощью детерминантного дивизора и набора параметров Тюрина), и набора функциональных параметров.В общем случае ранга >1 задача вычисления векторного аналога функции БейкераАхиезера сводится, согласно классификационной теореме Кричевера, к системе сингулярных интегральных уравнений, решить которую в общем случае в явном виде не представляется возможным.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
