Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Она не меняется при -линейных заменах координат.Лемма 7. Если 1 , . . . — операторы с постоянными главными символами (относительно системы координат (1 , . . . , )) и если det(( )/ ) ̸= 0, то любой оператор, такой что [ , ] = 0, = 1, . . . , , также имеет постоянный главный символ.Доказательство Имеется равенство0 = {( ), ()} =∑︁ (( )) (())для = 1, . . . , . Поскольку det(( )/ ) ∈ [1 , .

. . , ] не равен нулю, получаем, что (()) = 0 при = 1, . . . . Следовательно, имеет постоянный главный символ относительно (1 , . . . , ).432.1.2Отображение циклов и индекс пересеченияДля удобства читателя, напомним здесь некоторые факты об отображении цикловна особых проективных многообразиях (ср. [72, §2.1]).Пусть — проективное неприводимое -мерное многообразие над полем . Пусть*Div() — группа дивизоров Картье (равная 0 (, ()* /)). Дивизор из этой*группы задается данными ( , ), где ∈ () , { } — открытое покрытие , и* / ∈ ( ).

Пусть ℒ1 , . . . , ℒ ∈ Pic().Обозначим через ℎ () категорию когерентных пучков на размерности не больше (напомним, что размерность пучка — это размерность его носителя). Тогда определены аддитивные функцииℎ−1 () → WDiv()∑︀по правилу (ℱ) = ⊂ , (ℱ ) , где — простой дивизор, — общая точка , и(ℒ1 · . . . ℒ · −) : ℎ () → Zпо правилу(ℒ1 · . . . ℒ · ℱ) =∑︁(−1)−|| (ℒ ⊗ ℱ),⊂{1,...}где ℒ = ℒ1 ⊗ . . . ⊗ ℒ для = {1 , .

. . , }, || = (см. [81]).Заметим, что обнуляется на ℎ−2 (), и индекс пересечения кратности равеннулю на ℎ−1 (). Заметим также, что (ℱ ⊗ℒ) = (ℱ) для ℒ ∈ Pic(). Для ∈ Div()определимℱ+ () = (() + )/ в ℎ−1 ()ℱ− () = (() + )/().Имеется равенство на носители: sup() = sup(ℱ+ ()) ∪ sup(ℱ− ()). Определим отображение циклов Div() → WDiv()() = (ℱ+ ()) − (ℱ− ())() имеет вид∑︀ord () , где111ord () = , ( , /, ∩ , ) − , (, /, ∩ , ),если — локальное уравнение () в . Отметим, что если нормально в коразмерности один, то отображение циклов инъективно.Пусть ⊂ — ненормальный локус ; обозначимDiv(, ) = { ∈ Div()| никакие компоненты из sup() не содержатся в }.Тогда Div(, ) — подгруппа в Div(), и индуцирует инъективное отображениеDiv(, ) → WDiv(∖) ⊂ WDiv()(заметим, что Div(, ) = Div(), если () ≥ 2).Если 1 , .

. . , ∈ Div() и ℱ ∈ ℎ (), будем писать (1 · . . . · · ℱ) для обозначения индекса ( (1 ) · . . . · ( ) · ℱ).Теорема 17. Для 1 , . . . , ∈ Div() число (1 · . . . · ) зависит лишь от(1 ), . . . , ( ).44Доказательство В силу симметрии достаточно показать, что число (1 ·. .

.· ) зависитлишь от ( ). Последнее следует из точных последовательностей0 → → ( + ( )) → ℱ+ ( ) → 0,0 → ( ) → ( + ( )) → ℱ− ( ) → 0и аддитивности :( (1 ) · . . . · (−1 ) · ℱ+ ( )) − ( (1 ) · . . . · (−1 ) · ℱ− ( )) =∑︁(−1)−1−|| ((ℒ ⊗ ℱ+ ( )) − (ℒ ⊗ ℱ− ( ))) =⊂{1,...,−1}∑︁(−1)−1−|| ((ℒ ⊗ ( )) − (ℒ )) = ( (1 ) · . . . · ( ))⊂{1,...,−1}Для ℱ ∈ ℎ−1 () число ( (1 ) · . . .

· (−1 ) · ℱ) зависит лишь от (ℱ).2.2Геометрические свойства коммутативных колец ДОЧтобы сформулировать главную теорему этой главы, напомним еще некоторые факты из алгебраической геометрии.Пусть ( ) = ( · . . . · ) обозначает индекс самопересечения дивизора Картье ∈Div() на , и пусть ℱ — когерентный пучок на . Согласно асимптотической теоремеРимана-Роха (см.

обзор в [88, ch. 1.1.D]), эйлерова характеристика (, ℱ ⊗ ())является полиномом степени ≤ от ,(, ℱ ⊗ ()) = rk(ℱ) ·( )· + (−1 ),!(2.2)где rk означает ранг пучка.Из результатов, приведенных в разделе 2.1.2 (см. также [72, Ch. 2]) следует, что если1 , 2 ∈ Div() таковы, что Z(1 ) = Z(2 ), то (1 ) = (2 ).Отображение циклов Z, ограниченное на полугруппу эффективных дивизоров Картье Div+ (), является инъективным отображением в полугруппу эффективных дивизоровВейля WDiv+ (), не содержащихся в сингулярном локусе. Будем говорить, что эффективный дивизор Вейля на , не содержащийся в сингулярном локусе, — ”-Картьедивизор на , если ∈ Im (Z |Div+ () ) для некоторого целого > 0.Определение 15. Пусть — ”-Картье дивизор на .

Определим индекс самопересечения( ) на как( ) = ( )/ ,(2.3)где = — дивизор Картье для некоторого целого > 0.Заметим, что если > 0 — минимальное число, такое что — дивизор Картье,то для любого другого ′ > 0 со свойством ′ быть дивизором Картье выполнено | ′ .Следовательно, используя аргументы как выше и свойство (1 ) = (2 ) для любых1 = 2 , 2 ∈ Div(), ∈ Z, получаем, что формула (2.3) не зависит от выборасоответствующего .45Теорема 18.

Пусть 1 , . . . , ∈ — некоторые коммутирующие операторы положи-тельного порядка. Пусть — коммутативная -подалгебра в , содержащая операторы 1 , . . . , . Предположим, что пересечение характеристических дивизоров операторов1 , . . . , пусто.Тогда отображение из () в ()/1 ()+...+ () = [1 , ..., ] индуцируетвложение на (), и имеют место следующие свойства.1. [1 , .

. . , ] конечно порожден как gr()-модуль.2. Кольца и gr — конечно порожденные целые -алгебры размерности Крулля .3. Аффинное многообразие = Spec над может быть естественным образомпополнено до -мерного неприводимого проективного многообразия с границей — целым дивизором Вейля, не содержащимся в особом локусе . Более того, —унирациональный и обильный Q-Картье дивизор.4. -модуль = /1 + . .

. + определяет когерентный пучок на , который может быть естественным образом продолжен до когерентного пучка без крученияℒ на . Более того, индекс самопересечения ( ) на равен / rk(ℒ), где = min {ord( ) − ord() | , ∈ , ord( ) > ord()}.Докажем пункты 1 и 2. Пусть = ord( ). Обозначим через′′( )) : A → Aобразы символов ( ) в [1 , . . . , ]. Тогда ((1 ), . . . , 1— конечный морфизм в силу теоремы гильберта о нулях, поскольку система уравне′′( ) = 0 задает лишь одну точку (с нулевыми координатами)ний (1 ) = 0, . . . , 1′( )/ ) ̸= 0 (как матрив A в силу наших предположений.

В частности, det(цы Якоби накрытия), и, следовательно, матрица ( ( )/ ) обратима над кольцом[[1 , . . . , ]]((1−1 )) . . . ((−1 )).′Покажем, что для произвольного элемента ∈ образ ord()() символа ord() ()в [1 , . . . , ] не равен нулю, т.е. () вкладывается в [1 , . . . , ], и — это -модуль безкручения. Предположим обратное, и пусть > 0 — минимальное значение дискретногонормирования относительно максимального идеала в кольце [[1 , . . . , ]] на коэффициентах символов ord() () ∈ [[1 , .

. . , ]][1 , . . . , ]. Так как [ , ] = 0 для = 1, . . . , ,выполняется равенство { ( ), ord() ()} = 0. С другой стороны, из равенства (2.1)имеем∑︁ ( ) (ord() ()) mod (1 , . . . , ){ ( ), ord() ()} ==1Доказательство′( )Таким образом, должно выполняться (ord() ()) = 0 mod (1 , . . . , ) для всех ,поскольку матрица ( ( )/ ) обратима также над кольцом ((1−1 )) . . . ((−1 )), где = [[1 , . . . , ]]/(1 , . . .

, ) . Получаем противоречие, так как было выбрано минимальным.Теперь мы имеем′′[(1 ), . . . , ( )] ⊂ gr() ⊂ [1 , . . . , ].1(2.4)′′Отсюда 0 = . Но [1 , . . . , ] конечно порожден как [(1 ), . . . , ( )]-модуль.1Следовательно, -алгебра gr — конечно порожденная -алгебра размерности Крулля .Кроме того, [1 , . . . , ] конечно порожден как gr -модуль. Из (2.4) следует, что gr —кольцо без делителей нуля. Следовательно, кольцо само без делителей нуля.˜ , построДля дальнейшего изложения будет полезно ввести аналог кольца Рисса ∞˜ = ⨁︀ . Кольцо ˜ — подкольцо кольца полиномовенный по фильтрации кольца : =046˜ = Quot []. Кроме того, gr = /()˜[].

Для полей частных имеем равенство Quot .Пусть -алгебра gr() порождена элементами ( ), = 1, . . . , как -алгебра, гдеord( ) = . Легко проверить, что -алгебра порождена элементами , = 1, . . . , ˜ порождена элементами , 1 1 , . . . , как -алгебра. Откак -алгебра, и -алгебра сюда мы можем вычислить размерность Крулля кольца :˜ − 1 = trdeg Quot(/())˜dim = trdeg Quot = trdeg Quot = trdeg Quot(gr ) = ,(2.5)˜так как () — простой идеал высоты 1 в кольце по теореме Крулля о высоте.∞⨁︀Докажем теперь пункт 3. Идеал =−1 = () — однородный идеал в кольце=1˜ , поскольку этот идеал порожден однородным элементом ∈ ˜ . Кроме того, — простой˜ = gr — кольцо без делителей нуля.идеал, так как /˜ и = Proj /˜˜ и gr() —Введем схемы = Proj = Proj gr().

Так как целые -алгебры, и — целые схемы. Следовательно, используя (2.5), получаем, чтооднородный простой идеал задает неприводимую подсхему коразмерности 1 в . Более˜() = Spec — аффинное многообразие. (Здесь ˜() — подкольцотого, ∖ = Spec ˜ кольца ˜ по мультипликативной системе ,элементов степени нуль в локализации ∈ Z).˜ = ⊂ ˜ . Так как ˜Для любого ≥ 0 обозначим однородную компоненту ˜— конечно порожденная -алгебра с 0 = , в силу [2, Ch.III, § 1.3, prop. 3] существует∞˜ () = ⨁︀ ˜ конечно порождена элементами из ˜1()целое ≥ 1, такое что -алгебра =0˜1() = ˜ , и dim ˜1() < ∞ по формуле (2.4).) Следовательно,как -алгебра. (Здесь ˜ () ˓→ Proj Sym (˜1() ) ≃ P — проективная схема над , которая являетсясхема Proj неприводимым многообразием.Покажем, что — очень обильный эффективный дивизор Картье на .

Рассмотрим˜ . Топологическоеподсхему ′ в , определенную однородным идеалом = ( ) кольца ′пространство подсхемы совпадает с топологическим пространством подсхемы (какэто видно на аффинном покрытии ). Функция − ord / : (Quot )* → Z сюръективна, иопределяет дискретное нормирование на поле Quot . Локальное кольцо , совпадаетс кольцом нормирования этого дискретного нормирования:˜() = { / | ≥ 0, ∈ , ∈ ∖ −1 }., = Идеал индуцирует максимальный идеал в кольце , , и идеал индуцирует / -юстепень максимального идеала. Следовательно, если мы докажем, что идеал определяет эффективный дивизор Картье на , то отображение циклов на этом дивизоре равно˜ ≃ Proj ˜ () .(/) , т.е. — ”-Картье дивизор.

Характеристики

Список файлов диссертации