Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 14
Текст из файла (страница 14)
По предположению, / — не константа, поэтому если = ( , ) и = 1 , = 1 , то deg 1 = deg 1 = > 0. Так как 1 , 1 взаимно просты,многочлен 1 + 1 ∈ [1 , 2 , ] неприводим и определяет неприводимую кривую ⊂P1 × A1 , и проекция на A1 определяет конечное : 1 накрытие → A1 .Слои над ∈ — дивизоры на P1 , причем они приведены для всех ∈ A1 ∖ , где — конечный дивизор ветвления накрытия → A1 (ср.
[27, cor. 10.7, ch.III]). Кроме того,при ̸= , имеет место равенство ∩ = ∅, так как у 1 , 1 нет общих множителей.Следовательно, существует конечное множество ⊂ A1 , такое что ни для какойточки ∈ A1 ∖ не пересекается с конечным множеством Supp Ch0 ( ) ∪ Supp Ch0 (1 ).Поэтому для ∈ A1 ∖( ∪ ) все точки имеют кратность один и не пересекается с Supp(Ch0 ( )) ∪ Supp(Ch0 (1 )). Так как Supp(Ch0 ()) ⊂ Supp Ch0 ( ), также непересекается с Supp(Ch0 ()).Так как + = ( + ) = (1 + 1 ) , всякая точка из ⊂ Ch0 ( + ) удовлетворяет условию пункта 1.˜ , следуюОпределение 22. Для коммутативного кольца ⊂ определим числа щим образом: = {(),˜ = {ord(), ∈ }, ∈ такие что ordΓ () = (0, ()) и ord() = ()}.Определение 23. Скажем, что коммутативное кольцо ⊂ строго допустимо, если˜ = (ср.
с определениями 39, 41 ниже).56Предложение 1. Пусть — коммутативное кольцо дифференциальных операторов, ⊂ , — алгебраически замкнутое поле, и пусть содержит два оператора , порядков , с постоянными главными символами, причем ( ) / () — непостоянная функция на P1 .Тогда существует -линейная замена координат как в лемме 12, такая что =˜ .Доказательство В силу леммы 12, мы без ограничения общности можем предположитьчто операторы , удовлетворяют (3.2), (3.4) из утверждения леммы 12. Пусть — такой˜ .оператор, что (ord(), ord( )) = По лемме 7 символ оператора является однородным многочленом с постоянными коэффициентами.
Теперь по лемме 12 мы получаем, что существует и такая заменакоординат, что символы , , , где = + , удовлетворяют равенствам = 2′ord( )+ ..., = 2′ord()+ ..., = 1′ 2′ord( )−1+ ....Очевидно, что это и есть искомая -линейная замена координат.3.3Условия роста и аналог теории Шура^+ пополненногоВ этом разделе излагается аналог теории Шура для подкольца кольца двумерных псевдодиффенциальных операторов. Для охвата возможно большего^ вводятся подкольца в ^+ с особыми условиями роста на коэфкласса операторов из фициенты операторов (условия ( )).
При значении = 1 эти условия играют особуюроль для классификации коммутативных подколец в терминах алгебро-геометрическихспектральных данных.3.3.1Условия ростаВ этом параграфе мы даем несколько новых определений и доказываем ряд технических утверждений.^+ имеет порядок ordΓ ( ) = (, ), еслиОпределение 24. Скажем, что оператор ∈ ∑︀^ 1 , ∈ [[1 , 2 ]][1 ] = 1 , и ord( ) = .
2 , где ∈ ^+ , = ∑︀ 1 2 порядка ordΓ ( ) = (, ) удовлетворяСкажем, что оператор ∈ ет условию , ≥ 0, если{︂0если ≤ ( − ) + ( )ord ( ) ≥ − ( − ) − иначе ==−∞В этом случае, и если ̸= 0, определим полныйпорядок оператора как ( ) := / + .∑︀ ^Скажем, что оператор ∈ + , = 1 2 удовлетворяет условию для порядка (, ) если выполняется для всех .∑︀Определение 25. Скажем, что оператор ∈ + , = 1 2 порядка ordΓ ( ) = (, )удовлетворяет сильному условию , ≥ 0, если( ) = 0 при > ( − ) + .^+ , = ∑︀ 2 удовлетворяет сильному условию Скажем, что оператор ∈ 1для порядка (, ) если выполняется для всех .57Определение 26.
Скажем, что оператор ∈ + , =∑︀удовлетворяет очень сильному условию , ≥ 0, если( ) = 0 при 1 2 порядка ordΓ ( ) = (, ) > ( − ) + и старший коэффициент дифференциального оператора — константа.^+ , = ∑︀ 2 удовлетворяет очень сильному услоСкажем, что оператор ∈ 1вию для порядка (, ), если выполняется для всех .Замечание 13. Очевидно, что имеются следующие импликации: ⇒ ⇒ .^+ удовлетворяет условию или сильномуЗамечание 14. Легко видеть, что если ∈ условию , то он удовлетворяет условию или сильному условию для любого > .^ 1 , = ∑︀ — оператор, удовлетворяющий следующемуОпределение 27. Пусть ∈ 1условию: существует число ( ), такое что ord ( ) ≥ − ( ) если ≥ ( ). В этомслучае скажем, что удовлетворяет условию ( ) .∑︀Определение 28.
Пусть ∈ 1 , =≥0 1 — оператор, удовлетворяющий следующему условию: существует число ( ), такое что = 0 при > ( ). В этом случаескажем, что удовлетворяет сильному условию ( ) (или ( ) ).∑︀Определение 29. Пусть ∈ 1 , =≥0 1 — оператор, удовлетворяющий следующему условию: существует число ( ), такое что = 0 при > ( ) и ( ) ∈ . В этомслучае скажем, что удовлетворяет очень сильному условию ( ) (или ( ) ).^ 1 удовлетворяет условию или (очень)Замечание 15.
Легко видеть, что если ∈ сильному условию , то он удовлетворяет условию ′ или (очень) сильному условию′ для всех ′ > .^+ , = ∑︀ удовлетворяет условию или (очень)Замечание 16. Заметим, что ∈ 2сильному условию если и только если его коэффициенты удовлетворяют условиям( ( )−) или (очень) сильным условиям ( ( )−) соответственно.Аналогично, удовлетворяет для порядка (, ) или (очень) сильному условию для порядка (, ) если и только если его коэффициенты удовлетворяют условиям(−)+ или (очень) сильным условиям (−)+ .Заметим также, что если удовлетворяет для порядка (, ), то он удовлетворяет для любой пары (1 , 1 ), такой что 1 + 1 / = + /.
То же верно для (очень) сильныхусловий.^ 1 удовлетворяют условиям ( ) , ( ) соответственЛемма 13. Пусть 1 , 2 ∈ 11но. Тогда 1 2 — оператор, удовлетворяющий условию (1 )+ (2 ) .То же утверждение верно для 1 , 2 ∈ 1 , удовлетворяющих сильным или оченьсильным условиям.∑︀Доказательство Достаточно доказать лемму для 1 = 1 .
Пусть 2 =2, 1 и∑︀∞1 2 = =0 1 . Имеем:∑︁1 2 = 1 (2 )1−=0откудаord ( (1 )+ (2 )+ ) ≥ min{ord ( ) + ord (2, (1 )+ (2 )++− )}.58Если ≤ (1 ), то (1 ) + (2 ) + + − ≥ (2 ) + , откудаord ( ) + ord (2, (1 )+ (2 )++− ) ≥ для любого .Если > (1 ), тоord ( ) + ord (2, (1 )+ (2 )++− ) ≥ − (1 ) + (1 ) + + − ≥ для любого . Таким образом, ord ( (1 )+ (2 )+ ) ≥ .Утверждение для (очень) сильных условий очевидно.^+ удовлетворяют условию с ≥ 1 для порядков (1 , 1 ) иЛемма 14. Пусть 1 , 2 ∈ (2 , 2 ) соответственно.
Тогда 1 2 удовлетворяет условию для порядка (1 + 2 , 1 +2 ).В частности, если 1 , 2 удовлетворяют условию с ≥ 1, то 1 2 удовлетворяет условию и ordΓ (1 2 ) = ordΓ (1 ) + ordΓ (2 ).Те же утверждения справедливы для 1 , 2 ∈ + , удовлетворяющих (очень) сильным условиям.Доказательство Мы будем доказывать утверждения одновременно в (очень) сильном ине сильном случаях.Достаточно доказать лемму для произведения двух слагаемых рядов 1 , 2 , скажем 2 , 2 , поскольку любое слагаемое в удовлетворяет условию для порядка ( , ), = 1, 2.
Имеем:∞∑︁( 2 )( 2 ) = 2 ( )2+− .(3.5)=0Заметим, что удовлетворяет условию ( ) , где ( ) = (1 −)+1 , удовлетворяетусловию ( ) , где ( ) = (2 −)+2 . Заметим также, что 2 ( ) удовлетворяет условию ( ) в (очень) сильном случае и условию ( )+ в не сильном случае. Таким образом,по лемме 13 получаем ( 2 ( )) = ( ) + (2 ( )) ≤ (1 + 2 − ( + − )) + 1 + 2 ,откуда следует, что каждое слагаемое в (3.5) удовлетворяет условию в определении 24для порядка (1 + 2 , 1 + 2 ).
Следовательно, то же верно для 1 2 .Ясно, что ordΓ (1 2 ) = ordΓ (1 )+ordΓ (2 ). Если удовлетворяют , то они удовлетворяют для порядков ordΓ ( ). Следовательно, 1 2 удовлетворяет для порядкаordΓ (1 2 ), т.е. 1 2 удовлетворяет условию .^ 1 [[2−1 ]]2−1 , удовлетворяет условиюСледствие 6. Если оператор = 1 − − , где − ∈ или (очень) сильному условию с ≥ 1, то оператор −1 также удовлетворяетему.Доказательство Доказательство следует из доказательства леммы 14, так как ordΓ () =(0, 0) и −1 = 1 +∑︀∞=1 ().− Следствие 7. Рассмотрим множествоΠ = { ∈ ^+ | существует пара (, ) ∈ Z+ ⊕ Z такая что удовлетворяет для порядка (, )} ⊂ ^+ . (3.6)Оно является ассоциативной подалгеброй (в ^+ ) с единицей.59Доказательство Пусть 1 , 2 ∈ Π .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
