Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Легко увидеть, что ( · (0)) =( (0)) + (). Теперь мы имеем( ()) = + < + () = ( (0)) + () = ( · (0)) ≤ ( ()),то есть противоречие.b) Вместо этого случая мы докажем более общий результат:Лемма 22. Пусть — подкольцо в двумерном локальном поле , такое что ⊂ ивыполняется следующее условие:для каждого элемента ∈ мы имеем 0 ≤ () ≤ − (), > 0.Тогда trdeg Quot ≤ 2 и поле Quot конечно порождено над основным полем .Доказательство Рассмотрим подпространство △( ) = { ∈ | () > − }, где целоечисло > 0.
Отметим, что это подпространство имеет конечную размерность над полем , и эта размерность не больше чем 2 .В самом деле, если эта размерность больше чем 2 , то кольцо должно содержатьэлемент , такой что () > − (), получаем противоречие.Заметим, что trdeg < 2, если и только если () = () для некоторой константы и всех элементов ∈ . В самом деле, если имеются два элемента , , такие что последнееусловие не выполняется, то они должны быть алгебраически независимы, так как младшиемономы этих элементов алгебраически независимы. Обратно, если () = () для всех ∈ , то носители (мономы младших степеней) всех элементов из лежат на однойпрямой, проходящей через начало координат, и поэтому можно применить аргументы из,например, [107, Prop. 3.2.], чтобы получить trdeg < 2.Предположим теперь, что trdeg ≥ 2.
Выберем два элемента , ∈ , такие что ()/ () ̸= ()/ (). Это означает, что их носители не лежат на одной прямой, котораяпроходит через начало координат. Эти элементы существуют, так как trdeg ≥ 2, ивследствие аргументов из предыдущего абзаца. Теперь, они алгебраически независимы.Мы можем оценить размерность подпространства, порожденного над полем степенямиэлементов , , которые лежат в подпространстве △( ) для некоторого .
Ясно, что этаразмерность больше, чем1· (−− 1)(−− 1) 2 + + 2 () ()для некоторых действительных чисел , , и для каждого достаточно большого числа .(Для получения этой оценки мы рассматриваем паллелограмм, построенный по векторам,выходящими из начала координат и заканчивающимися в точках [−/ ()] и [−/ ()]соотвественно.)Теперь предположим, что поле Quot имеет бесконечную размерность над полем Quot [, ]. Тогда возьмём линейно независимых над кольцом [, ] элементов1 , . . . , где число удовлетворяет условию > .
Без потери общности мы можем предположить, что (1 ) ≤ ( ) для всех . Так как размерность подпространства,порождённого над полем степенями элементов , , которые лежат в подпространстве△( + (1 )), больше чем ( + (1 ))2 + ( + (1 )) + для каждого достаточно большого числа , то мы получим, что размерность подпространства, порождённогонад полем элементами 1 , . . . , умноженными на степени элементов , , лежащие вподпространстве △( + (1 )), больше чем (( + (1 ))2 + ( + (1 )) + )для каждого достаточно большого числа .
Последнее подпространство находится внутри пространства △( ). С другой стороны, так как > , то для каждого достаточно72большого числа мы имеем (( + (1 ))2 + ( + (1 )) + ) > 2 > dim △( ).Мы получили противоречие. Следовательно, в этом случае, поле Quot имеет конечнуюразмерность над полем Quot [, ], поэтому trdeg Quot =2 и поле Quot [, ] конечнопорождено над полем .Лемма доказана.Теорема доказана.Замечание 22. Как мы видели в доказательстве леммы, trdeg = 1, если и только еслиносители всех элементов из кольца лежат на одной прямой, которая проходит черезначало координат (Более того, рассуждая как в [107, Prop.
3.2.], можно показать, чтокольцо конечно порождено над полем и имеет размерность 1 по Круллю.)Если trdeg = 0, то = .Замечание 23. Существенно, что в теореме 22 мы рассматриваем пересечение ∩2 . Длясамого кольца пункт b) теоремы 22 может быть не верен, как показывает следующийпример.Рассмотрим подпространство = { ∈ | () ≤ − ()}. Можно проверить, чтоподпространство удовлетворяет условиям теоремы 22, и что = .
Но так как кольцо содержит подполе ((−1 )), то поле Quot имеет бесконечную степень трансцендентности над полем .Если стартовать с кольца коммутирующих операторов как в теореме 21(см. такжезамечание 18) и применить следствие 10 к паре (, ) из замечания 18, мы получимпару (, ) в [[]](()) как выше со свойством trdeg(Quot()) = 2 и с другим свойством,которое мы выделим в следующем определении.Определение 38. Для кольца ⊂ [[]](()) определим число = { (), ∈ такой что() = (0, *)},где * обозначает любое значение нормирования.Будем говорить, что кольцо допустимо, если существует элемент ∈ со свойством () = (1, *).В частности, кольцо , полученное из кольца выше является допустимым, поскольку содержит оператор специального вида (условие квази-эллиптичности).
Образэтого оператора после преобразования из леммы 21 удовлетворяет свойству из определения допустимого кольца.Предложение 1 служит мотивировкой для следующего определения.Определение 39. Для кольца ⊂ [[]](()) определим число˜ = { (), ∈ }.˜ = .Скажем, что кольцо строго допустимо, если оно допустимо и Определение 40. Скажем, что 1-квази-эллиптическое кольцо ⊂ [1−1 ]((2 )) из опре-деления 34 строго допустимо, если его образ 1 () при изоморфизме из леммы 21 строгодопустим.Замечание 24. Заметим, что образ 1 () 1-квази-эллиптического кольца допустим.Обратно, кольцо 1−1 (), где — допустимое кольцо, — 1-квази-эллиптическое кольцо.73^ можно обобщить опредеДля 1-квази-эллиптических коммутативных колец ⊂ ления 22, 23, и эти определения будут тесно связаны с определениями 38, 39: по теореме 21 соответствует паре Шура (, ) с точностью до эквивалентности, т.e.
кольцо определено с точностью до сопряжения на 1-допустимый оператор. Однако, всегда ⊂ Π1 и — 1-квази-эллиптическое кольцо.^ положимОпределение 41. Для 1-квази-эллиптического коммутативного кольца ⊂ ˜ , равными числам ˜ , (см. определение 40). Скажем, что строго допучисла стимо, если строго допустимо.Мы утверждаем, что наше определение корректно, т.е. не зависит от сопряжениякольца на 1-допустимый оператор. Как мы видели в доказательстве9, каж∑︀ следствия−1дый оператор из записывается в виде конечной суммы = 0,0, , ∈ .Пусть (, ) — максимальная пара чисел (относительно антилексикографического порядка), такая что ̸= 0 и + ≥ + для всех (, ) с ̸= 0.
Легко видеть, что(1 ()) = (, ). Пусть — 1-допустимый оператор. Тогда, используя лемму 14, по˜ , нелучаем, что (1 ( −1 )) = (1 ()) = (, ). А значит, определение чисел зависит от сопряжения.Снова используя лемму 14, можно увидеть, что это определение совпадает с определениями 22, 23, если ⊂ . Особо отметим, что ранг кольца , определенный как˜ , меньше либо равен ранга пучка общих собственных функций операторов из . = Это будет следовать из предложений 26, 28 и теоремы 18.Мы будем пользоваться обозначением rk() для ранга во втором смысле.Определение 42. Пару (, ), где , ⊂ [[]](()), будем называть парой Шура ранга, если выполняются следующие условия:1. — -алгебра с единицей, Supp( ) = ⟨ −|, ≥ 0, − ≤ 0⟩ и · ⊂ .2.
— строго допустимое кольцо (см. определение 39), конечно порождена как алгебра, trdeg(Quot()) = 2 и = .Обозначим через множество всех пар Шура ранга .Замечание 25. Ясно, что для данной пары Шура (, ) пара (1−1 (), 1−1 ( )) (см.следствие 10, где дано определение 1 ) является 1-квази-эллиптичской парой Шура изопределения 34. Обратно, если (, ) — 1-квази-эллиптическая пара Шура, такая что — строго допустимое кольцо, то (1 (), 1 ( )) — пара Шура.Определение 43.
Для данного подпространства ⊂ [[]](()) определим действие опе-ратора ∈ Π1 (см. следствие 7) на по формуле = 1 (1−1 ( ) ).Если — 1-допустимый оператор (см. опр. 35) и ⊂ [[]](()) — подкольцо, определим −1 = 1 ( −1 1−1 () ).Определение 44. Определим категорию пар Шура следующим образом:1. () =⋃︀∈N .2. Морфизм : (2 , 2 ) → (1 , 1 ) двух пар состоит из подкрученных вложений −1 2 ˓→ 1 ,2 ˓→ 1 ,где — произвольный 1-допустимый оператор.74На самом деле, как это следует из определений, 2 = 1 как -подпространствово втором вложении 2 ˓→ 1 .По паре Шура можно естественным образом построить геометрические данные.
Опишем, как это сделать.3.5.1Некоторые технические конструкцииЛемма 23. Пусть ⊂ [[]][[]] — коммутативная -алгебра с единицей, причемSupp() ⊂ ⟨ −∞⨁︀|, ≥ 0, − ≤ 0⟩. Положим ˜ := , где = ∩ [[]][[]].Пусть trdeg(Quot()) = 2 и пусть либо gr() =как -алгебры. Тогда∞⨁︀=0 /−1 , либо ˜ конечно порождены=0˜1. Однородный идеал = (−1)прост и определяет приведенную неприводимую замкнутую подсхему на проективной поверхности = Proj ˜, которая являетсяобильным эффективным ”-Картье дивизором.2. Если — допустимое кольцо и = 1, то центр нормирования , индуцирован˜ одноименным нормированием двумерного локальногоного на поле частных Quot()поля (())(()), является замкнутой регулярной точкой кривой и поверхности (ср. [27, ch.II, ex.4.5]).Доказательство 1) Доказывается так же, как аналогичное утверждение в теореме 18.2) Так как — проективная схема (а следовательно, собственная над , см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
