Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 19
Текст из файла (страница 19)
напр.[27, ch.II, §4]), существует единственныйт центр нормирования , см. [27, ch.II, ex.4.5].Заметим, что принадлежит аффинному множеству Spec ˜() , где ∈ ˜ — элемент сосвойствами () = (0, *), ∈/ (такой элемент существует, поскольку = 1), так как˜() принадлежит кольцу нормирования : действительно, если ∈ ˜ , то () = ,и (/ ) = (, ), где , ≥ 0 для всех ∈ ˜ . Более того, легко видеть, что элемент−1 ∈ (())(()) (мы рассматриваем здесь ˜ = как векторное подпространство в(())(()), так что ∈ (())(())) удовлетворяет свойству −1 ∈ [[]][[]] = [[, ]]. Такимобразом, есть естественное вложение ˜() ˓→ [[, ]].Так как — допустимое кольцо и = 1, то существуют элементы ′ , ′ ∈ ˜() сосвойствами (′ ) = (1, 0) и (′ ) = (0, 1).
Пусть = ˜() и пусть ∈ — идеал, соответствующий точке . Ясно, что ′ , ′ ∈ и = ∩ (, ), где (, ) — идеал в [[, ]]. Такимобразом, / ≃ и следовательно — максимальный идеал. Так как всякий элемент ∈ [[, ]] с () = (0, 0) обратим, получаем ⊂ [[, ]]. Обозначим через ′ максимальный идеал в .Определим линейную топологию на , беря в качестве открытых идеалов идеалывида := (, ) ∩ .
Она отделима, поскольку ∩(, ) = 0 в кольце [[, ]]. Так как ⊂(, ), то также ′ ⊂ для всех . Таким образом, имеется точная последовательностьпроективных систем:0 → /′ → /′ → / → 0.Заметим, что все естественные гомоморфизмы +1 /′ +1 → /′ сюръективны. Действительно,для данного ∈ можнонайти такие константы ∈ , = 0, . . . , что∑︀∑︀ − =0 ′ ′ − ∈ +1 . Так как =0 ′ ′ − ∈ ′ , то принадлежит образу группы+1 /′ +1 . Таким образом, система { /′ } удовлетворяет условию Миттаг-Лефлера, иследовательно имеется сюръективный гомоморфизм топологических колец : ^ → ˜ ,75′ ˜′ ′где ^ = ←limlim− / , = ←− / .
Заметим, что сохраняет кольцо [ , ], и это кольцоплотно в ˜ .С другой стороны, существует естественный гомоморфизм топологических колец ′ :[[′ , ′ ]] → ^ , который также сохраняет кольцо [′ , ′ ]. Таким образом, композиция ′ —гомоморфизм полных топологических колец, сохраняющий [′ , ′ ], и кольцо [′ , ′ ] плотнов обоих кольцах. Следовательно, это — изоморфизм [[′ , ′ ]] ≃ ˜ .
Таким образом, кольцо˜ регулярно размерности Крулля 2.В силу [1, corol.11.19] имеем неравенство dim ^ ≤ 2, откуда следует, что должнобыть инъективно, т.е. оно должно быть изоморфизмом. Тогда по [1, prop. 11.24] кольцо регулярно, т.е. — регулярная замкнутая точка на .Легко видеть, что () ∩ = () , где () — идеал в кольце [[, ]]. Таким образом,существует вложение /() ˓→ [[]]. Повторяя рассуждения аналогичные приведенным\выше, получаем (/() ) ≃ [[]], откуда следует, что — регулярная точка на .Лемма 24.
Пусть ⊂ [[]](()) — строго допустимое кольцо. Тогда существует рядс единичным старшим коэффициентом ′ ∈ [[]](()) с нормированием (′ ) = (0, ) иряд с единичным старшим коэффициентом ′ ∈ [[]](()) с нормированием (′ ) = (1, 0),такие что ⊂ [[′ ]]((′ )) ⊂ [[]](()) и в [[′ ]]((′ )) кольцо имеет число ′ = 1.Доказательство Так как строго допустим, то существуют два элемента , ∈ , такиечто () = (0, 1 ), () = (0, 2 ) и (1 , 2 ) = . Тогда существует обратимый ряд сединичным старшим коэффициентом ′ ∈ ⊂ [[]](()), такой что (′ ) = (0, ) иследовательно существует ряд с единичным старшим коэффициентом ′ ∈ , такой что(′ ) = (1, 0).Пусть ∈ — произвольный элемент с нормированием () = (, ). Тогда мыможем выбрать константу , ∈ таким образом, что (−, ′ ′ ) = (1 , 1 ) < (, ).Если продолжить эту процедуру, мы получим последовательность констант , , 1 ,1 , .
. .,такую что∑︁ − , ′ ′ = 0(легко видеть, что ряд в формуле сходится). Таким образом, ⊂ [[′ ]]((′ )). В кольце[[′ ]]((′ )) имеем (′ (), ′ ()) = 1. Следовательно, ′ = 1.Предложение 5. Пусть , ⊂ [[]](()) — подпространства, такие что Supp( ) =⟨ − |, ≥ 0, − ≤ 0⟩, — кольцо, стабилизатор пространства : · ⊂ (ср.замечание 21). Предположим, что trdeg(Quot()) = 2, gr() либо ˜ конечно порожденакак -алгебра и — строго допустимое кольцо, ⊂ [[′ ]]((′ )) (см.
лемму 24). Положим∞˜ := ⨁︀ (где определяются так же как ). Тогда=0˜ ) — квазикогерентный пучок без кручения на поверхности ,1. Пучок ℱ = Proj(построенной по ⊂ [[′ ]]((′ )) как в лемме 23. Более того, имеются естественные̂︀ ˓→ [[′ , ′ ]] ⊂ [[, ]], где последнеевложения -модулей ℱ ˓→ [[, ]] и колец вложение является изоморфизмом.2. Пусть ′ = — очень обильный дивизор Картье на из леммы 23.Естественные вложения 0 (, ℱ( ′ )) ˓→ ℱ( ′ ) ≃ ℱ ˓→ [[, ]], определенныепри помощи вложения ℱ ˓→ [[, ]] из пункта 1, в композиции с гомоморфизмами[[, ]] → [[, ]]/(, ) +1 дают изоморфизмы 0 (, ℱ( ′ )) ≃ [[, ]]/(, ) +1для всех ≥ 0.76Доказательство 1).
Те же рассуждения, которые использовались в доказательстве лем-мы 23, пункт 2, показывают, что имеются естественные вложения колец ˓→ [[′ , ′ ]] ⊂̂︀ ≃ [[′ , ′ ]] ˓→ [[, ]]. Они определяют структуру и ̂︀ -модулей на [[, ]].[[, ]], ˜ — ˜-модуль без кручения, пучок ℱ также без кручения. Поэтому есть естеТак как ственно определенное вложение -модулей ℱ ˓→ [[, ]].Замечание 26. Так как содержит элементы с любыми значениями нормированиявида (0, ), ≤ 0 (из-за наших предположений на носитель ), существуют элементы1 , . .
. , ∈ ℱ ⊂ [[, ]], такие что ( ) = (0, − 1), = 1, . . . . Ясно, что пучокℱ может быть представлен как прямой предел когерентных пучков, ℱ = −lim→ ℱ , причем1 , . . . , ∈ ℱ для любого . Рассмотрим отображение⊕ → ℱ ⊂ [[, ]],(3.19)(1 , . . . ) ↦→ 1 1 + . . . + .Ясно, что это вложение -модулей (так как элементы имеют разные значения нормирования в кольце [[, ]] и нет кручения, их сумма не может быть равной нулю). Рассуждая как в доказательстве леммы 23, пункт 2, получаем, что отображение̃︀⊕ → ℱ̃︁ ≃ [[, ]]̂︀ -модулей для каждого (пополнение берется относительноявляется изоморфизмом -адической топологии).
Кроме того, имеется сюръективный гомоморфизм модулей :ℱ̂︀ → ℱ̃︀ . Этот гомоморфизм может иметь нетривиальное ядро, см. например замечание72 и следствие 27.2). Так как ℱ — пучок без кручения, определены канонические вложения 0 (, ℱ( ′ )) ˓→ ℱ ( ′ ) для всех ≥ 0. Имеем ℱ ( ′ ) ≃ ℱ , и изоморфизм этих модулей задается умножением на −1 , где ∈ ˜ — элемент со свойством () = (0, − ),как в доказательстве пункта 2 леммы 23. В доказательстве пункта 1 мы также видели,что ℱ ˓→ [[, ]].˜ ( )) ≃ Proj(˜ ( ) ())Заметим, что для всех имеются изоморфизмы Proj(()()′˜ ()) ≃ Proj(˜ )() ≃ ℱ( ) по [27, ch.II, prop.5.12].по [63, prop. 2.4.7], и Proj(′˜Аналогично, Proj(( )) ≃ ( ). Чтобы закончить доказательство, нам понадобится следующая лемма.Имеют место равенства0˜ (, Proj(( ))) = для всех ≥ 0.Лемма25.˜ ( ))) 0 (, Proj(= ,Доказательство Доказательство одинаковое для обоих пучков.
Мы проведем его дляпучка ℱ .˜ ( ) ())0 ⊂ 0 (, Proj(˜ ( ))). Положим ˜ =По определению, = (∞⨁︀ ′ , где ′ — подпространства, определенные в [[′ ]]((′ )). Заметим, что ′ = ,=0˜ ( ) () — градуированный ˜() -модуль. Напомним (ср. лемму 23) что алгебратак что ()˜ порождена ˜ как -алгебра.˜ ( ))), ∈Пусть ∈ 0 (, Proj(/ . Тогда = (1 , . . . , ), где ∈( )˜˜(())( ) , ∈ — порождающие пространства ˜ , такие что 1 = 11 , и = в˜ (здесь 11 обозначает элемент 1 в компоненте ˜1 ).˜ ( ) () = ˜ ( +) ), 1 = Имеем = ˜ / (˜ ∈ ˜1 /11 и 1 > 0 так как ∈/( )( )˜˜ . Действительно, если ˜1 ∈ (())0 = , то = ˜1 , поскольку () —˜() -модуль без кручения, противоречие.
Таким образом, имеем˜ ( ) ())1 ∖(˜ ( ) ())1 −1˜1 ∈ (77(или, эквивалентно, ( + 1 ) ≥ (˜1 ) > ( + 1 − 1) ).˜˜Тогда для ∈ ∖−1 (такой элемент существует, поскольку все элементы из˜−1 ⊂ ˜ лежат в идеале, определяющем дивизор ) имеем ∈ ˜ ∖˜ −1 (или,эквивалентно, ( ) = ), и следовательно˜ ( ) ())1 + ∖(˜ ( ) ())1 + −1 ,˜1 ∈ (так как (˜1 ) > ( + 1 + − 1) .С другой стороны, мы имеем равенство ˜1 = ˜ 11 , и˜ ( ) ())1 + −1 ⊂ (˜ ( ) ())1 + ,˜ 11 ∈ ( ) ≤ ( + + 1 − 1) , противоречие. Таким образом, ∈ .так как (˜ 11 ) = (˜Теперь мы имеем вложения 0 (, ℱ( ′ )) = ˓→ ℱ( ′ ) ≃ ℱ ˓→ [[, ]],определенные умножением на −1 .
Из-за условий на носитель пространства композицияс гомоморфизмами [[, ]] → [[, ]]/(, ) +1 дает изоморфизмы 0 (, ℱ( ′ )) ≃ [[, ]]/(, ) +1для каждого ≥ 0. Заметим, что они не зависят от выбора изоморфизма ℱ ( ′ ) ≃ ℱ .Теперь мы собираемся установить соответствие между парами Шура и геометрическими данными из леммы 23 и предложения 5. Наиболее подходящий способ сделатьэто — установить категорную эквивалентность, обобщающую соответствующую эквивалентность в одномерном случае, см. [107, th.4.6], поскольку мы имеем дело с большимколичеством данных.3.5.2Геометрические данныеОпределение 45.
Набор (, , , ℱ, , ) будем называть геометрическими данными ран-га (или модифицированными геометрическими данными Паршина), если он состоит изследующих данных (где мы фиксируем кольцо [[, ]] для всех данных):1. — приведенная неприводимая проективная алгебраическая поверхность, определенная над полем ;2. — приведенный неприводимый обильный Q-Картье дивизор на ;3. ∈ — замкнутая -точка, регулярная на и на ;4.̂︀ −→ [[, ]]:— локальный гомоморфизм локальных -алгебр, удовлетворяющий следующемусвойству.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
