Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 23
Текст из файла (страница 23)
, ] ⊃ () ⊗C — конечно˜ — конечнопорожденный модуль над () ⊗C . Тогда в силу [2, Ch.III, §2.9, corol.1] ˜˜порожденный ⊗C -модуль, а потому ℱ := Proj( ) — когерентный пучок без крученияна × .˜ ()); имеем ℱ, ˓→Заметим, что определены пучки без кручения ℱ, := Proj(′˜˜ℱ,+1 , поскольку () ˓→ ( + 1), и ℱ, = ℱ ( ), поскольку в силу [27, ch.II,˜ () ()), и Proj(˜ () ()) ≃ Proj(˜ ()) в силу [63, prop.prop.5.12] ℱ ( ′ ) ≃ Proj(2.4.7].Утверждение о том, что ℱ задает семейство пучков Кричевера следует из болеесильного утверждения:Лемма 30. (ср. лемма 25) Имеем 0 ( × , ℱ, ) = .90Доказательство По определению, мы всегда имеем ⊂ 0 ( × , ℱ, ).
Пусть ∈˜˜ 0 ( × , ℱ, ), ∈/ . Тогда = (1 , . . . , ), где ∈ ()( ) , ∈ — порождающие˜ (а также порождающие алгебры ˜ () ), причем 1 = 1 и = в ˜ .пространства 1Имеем: = ˜ / (/ . Действительно,˜ ∈ + ), 1 = ˜1 /1 и 1 > 0, т.к. ∈˜ () — ˜ -модуль без кручения — противоречие.если бы ˜1 ∈ , то = ˜1 , т.к. ˜ ())1 ∖(˜ ())1 −1 ). Тогда для ∈ ˜ ∖˜−1 (такие элеТаким образом, ˜1 ∈ (˜ ∖˜ −1 , и следовательно,менты существуют по определению числа ) имеем ∈ ˜˜˜1 ∈ ( ())1 + ∖( ())1 + −1 . С другой стороны, мы имеем равенство ˜1 = ˜ 11 ,˜ ())1 + −1 ⊂ (˜ ())1 + , противоречие.
Значит, ∈ .и˜ 11 ∈ (Пучок ℱ имеет ранг 1, т.к. мы рассматриваем кольцо ранга 1 (ср. [20, lemma 4.3]).Заметим, что из леммы вытекает и существование дифференцирований ∇ : для ∈ определим ∇ () = (1 1 +...+ )−1 1 −...− ∈ +1 .Последнее утверждение теоремы следует из теоремы 16.Пусть — коммутативное кольцо дифференциальных операторов, — спектральноемногообразие из теоремы 25.
Тогда справедлива следующая теорема.Теорема 26. На существует свободный модуль Бейкера – Ахиезера ранга 1, порож-денный(, ) = (, )1 1 +···+ ,где (, ) — сечение пучка Кричевера на , такой, что образом морфизма → ,заданного формулой () = , ∈ , является кольцо .Теорема следует непосредственно из теоремы 16. А именно, положим = (, ).
— модуль Бейкера – Ахиезера, поскольку всякая мероморфная функция на с полюсомв является элементом коммутативного кольца операторов, коммутирующих с 1 , . . . , .Ясно, что этот модуль свободен и порожден (, ).^ и для поверхности из определения 45 можно ввести естеЗамечание 35. Для кольца ственное обобщение понятия формального модуля Бейкера-Ахиезера или формальныхфункций Бейкера-ахиезера как собственных векторов кольца из теоремы 24 (ср.
[19,§4]), хотя этот модуль (или функции) в общем случае будут отличаться от тех, которыерассматривались в работе [19].А именно, рассмотрим выражение = exp(1 1−1 + 2 2−1 ) и определим действие1 ( ) = 1−1 ,2 ( ) = 2−1 ,1−1 ( ) = 1 , 2−1 ( ) = 2 .^ -модуль = ^ . Будем называть его элементы формальными функТеперь определим циями Бейкера-Ахиезера.Пусть , , , 1 , 2 , — кольцо и операторы, рассматривавшиеся в параграфе 3.4.2.Определим формальную БA-функцию, соответствующую как (, ) = −1 ( ).Тогда имеем: (, ) = 2− (, ), (, ) = 1−1 21− (, ).Заметим, что собственные значения отличны от символов операторов даже если , —дифференциальные операторы в частных производных как в [19, §4].91В общем случае, для произвольного элемента ∈ имеем (, ) = (, ), где — ряд от переменных 1 , 2 . Если применить замену переменных 1 из следствия 10 к элементу , мы получим ряд от , , который является выражением мероморфной функции,соответствующей элементу , на поверхности в терминах локальных параметров точки (см.
определение 45). Таким образом, может рассматриваться как аналог БA-модуля,и 1 ( (, )) может рассматриваться как аналог BA-функции из [19, §4].92Глава 4Формальные пунктированные ленты(риббоны) и пучки без кручения на нихВ этой главе излагается теория формальных пунктированных лент (риббонов) и пучков без кручения на них. Результаты этой главы содержатся в работах [84], [85].4.1Формальные пунктированные ленты (риббоны) идвумерные локальные поляВ этом разделе вводятся определения риббонов и пучков без кручения на них, напоминается конструкция Паршина, строящая по геометрическим спектральным даннымпару подпространств (A, W) в двумерном локальном поле (())(()) (другая версия парШура, тесно связанная с парами из предыдущей главы), а также ее обобщение на данные,состоящие из риббона и пучка без кручения на нем.
В конце раздела доказывается теоремаклассификации данных, состоящих из риббона, пучка без кручения на нем, и некоторыхтривиализаций, в терминах пар (A, W), а также объясняется связь пар (A, W) и (, ).4.1.1Вводные замечанияРиббоны были введены в работе [84], чтобы решить проблему неоднозначности соответствия Кричевера в размерности 2 (см. Введение). Термин "риббон"произошел изработы [77], где был определен похожий объект (точнее, наши риббоны — более широкие объекты: риббоны из [77] — это (, 0 ) в нашей терминологии).
Мы раскладываемотображение Кричевера в композицию следующих отображений{︂}︂ {︂}︂{︀}︀геометрические данныегеометрические данные⊂↦→ пары (W, A)(, , , ℱ, , , )на риббонах4.1.2Категория формальных пунктированных лент (риббонов)Пусть — нетерова базисная схема.Определение 49. Формальная лента, или риббон (, ) над состоит из следующихданных.1. Плоское семейство приведенных алгебраических кривых : → .2. Пучок коммутативных −1 -алгебр на .933. Убывающая фильтрация подпучками ( )∈Z пучка при помощи −1 подмодулей, которая удовлетворяет следующим аксиомам:(a) ⊂ + , 1 ∈ 0 (таким образом, 0 — подкольцо, и для любого ∈ Z пучок — это 0 -подмодуль);(b) 0 /1 — структурный пучок кривой ;(c) для каждого пучок /+1 (который 0 /1 -модуль по (3a)) — это когерентный пучок на , плоский над , и для любой точки ∈ пучок /+1 |не содержит когерентных подпучков с конечным носителем и изоморфен пучку на плотном открытом подмножестве;(d) = −limlim→ , и = ←− /+ для каждого .>0∈ZЗамечание 36.
Из пункта (3c) определения следует, что если (для ∈ ) – непри-водимая кривая, то пучок /+1 | является пучком без кручения на для любого ∈ Z.Обозначение. Для краткости будем называть риббон (, ) над Spec , где – этокольцо, как риббон над .Пример 10. Типичный и наиболее важный пример риббона — риббон, возникающий изспектральной поверхности и дивизора. Пусть — алгебраическая поверхность над полем , и ⊂ — приведенный эффективный дивизор Картье.
Тогда можно следующимобразом построить риббон (, ) над :+lim := ^ (*) = lim←− /→ lim−→ ^ (−) = −∈Z ≥0∈Z+lim := ^ (−) = ←− / , ∈ Z,≥0^ — формальная схема, являющаяся пополнением вдоль , и — пучок идеалов,где определяющий кривую на (пучок — обратимый пучок).1. Для любого ≥ 0 окольцованное пространство = (, 0 /+1 )является схемой, плоской над .Предложение 7.2.
Для любого ∈ Z и любого ≥ 0 пучок /++1 — когерентный пучок на ,плоский над .3. Если ∞ = (, 0 ), то ∞ — локально окольцованное пространство, и имеютсязамкнутые вложения схем0 ⊂ 1 ⊂ 2 ⊂ . . . ⊂ ⊂ +1 ⊂ . . . ,такие что ∞ = −lim→≥0 в категории локально окольцованных пространств.Доказательство Докажем первое утверждение в предложении.Вначале покажем, что являются локально окольцованными пространствами. Поопределению, мы имеем, что 0 это схема (, ). Следовательно, 0 является локально окольцованным пространством.
Мы имеем, что для каждого ≥ 0 подпучок /+1 ⊂ 0 /+1 является нильпотентным пучком идеалов в силу (3a) определения 49.Рассмотрим следующую точную тройку пучков на :0 −→ /+1 −→ 0 /+1w0 / −→ 0.(4.1)94Для каждой точки ∈ рассмотрим росток в каждого пучка из этой последовательности. Получим следующую точную последовательность:0w( /+1 )w(0 /+1 )( )w(0 / )w 0.(4.2)Применим теперь индукцию на . По индукционному предположению полагаем, что кольцо(0 / ) является локальным кольцом с максимальным идеалом ℳ. Пусть ℳ′ – идеал−1 (ℳ).
Тогда этот идеал является единственным максимальным идеалом в (0 /+1 ) .Поэтому это кольцо является локальным кольцом. В самом деле, если ∈ (0 /+1 ) ∖ℳ′ ,тогда должен быть обратимым в кольце (0 /+1 ) , так как ( ) () обратим в кольце(0 / ) , и ( /+1 ) – нильпотентный идеал в кольце (0 /+1 ) .Во-вторых, покажем, что есть естественные морфизмы w локально окольцованных пространств для каждого ≥ 0, и что эти морфизмы являются плоскими. Примениминдукцию по ≥ 0.
Для каждого ≥ 0 морфизм состоит из топологического морфизма : → и морфизма пучков♯ : → * (0 /+1 ),где♯ ( ) : ( ) ∋ ↦−→ · 1 ∈ 0 /+1 ( −1 ( ))для каждого открытого подмножества ⊂ . Для каждой ∈ морфизм(♯ ) : ( ) ( ) −→ (0 /+1 )является локальным морфизмом, потому что его композиция с морфизмом ( ) являетсялокальным морфизмом по предположению индукции.Теперь для каждого ≥ 0 морфизм представляет собой плоский морфизм в видуизвестных результатов касательно плоских модулей (см. например [91, ch.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
