Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 21
Текст из файла (страница 21)
[27, ch.II,prop.5.12]). Следовательно, для всех больших 0 (, (Proj((−1)))()) ≃−1 (ср. [27, ch.II, ex.5.9]; аргументы из доказательства леммы 25 показывают, что˜ 0 (, Proj(˜,−1 ()) = −1 ). Заметим, что пучок Proj((−1))— пучок идеалов ℐ дивизора (можно рассуждать как в доказательстве леммы 23 и/или заметить, что локализация˜идеала = (−1)относительно любого элемента ∈ с нормированием () = − (то˜есть ∈/ (−1)) совпадает с идеалом нормирования в кольце ˜() ). Таким образом, длявсех больших имеем 0 (, ( ′ )) ≃ /−1 и имеем естественные вложения 0 (, ( ′ )) ˓→ ( ′ ) , : ( ′ ) ≃ ( ′ ) /ℐ( ′ ) ˓→ , /ℐ == , /( ) ≃ , ˓→ [[, ]]/() ≃ [[]] (3.24)такие что образ 0 (, ( ′ )) в [[, ]]/() совпадает с образом отображения /−1 ˓→ [[, ]]/().С другой стороны, для пучка ℱ = ( ′ ) имеются аналогичные конструкцииподпространства в (()), происходящие из одномерного соответствия Кричевера (ср.[118]). А именно, для каждого ≥ 0 имеются естественные вложения 0 (, ℱ ( )) ˓→ ℱ ( ) ≃ − (ℱ, ) ˓→ (()),где последнее вложение — это вложение − ℱ, ˓→ − [[]] = − [[]] ˓→ (())(ср.
определение 45, пункт 4; мы отождествляем здесь элемент из определения и его образв [[]]). Следовательно, мы имеем вложение (ср. определение 3.5.3) 0 (∖, ℱ ) ˓→ (()),чей образ обозначим через . Если ′ — очень обильный дивизор Картье, то, рассуж′дая как в лемме 26, получаем 0 (, ℱ (′ )) ≃ ,′ , где ,′ = ∩ − [[]].Для больших по теореме Римана-Роха для кривых получаем dim ( 0 (, ℱ (′ ))) −dim ( 0 (, ℱ ((−1)′ ))) = ′ для всех ≥ 0.
Таким образом, dim (,′ /,(−1)′ ) = ′ ,и следовательно пространство содержит элемент с произвольным заданным отрицательным значением нормирования .Теперь рассмотрим пучок ℱ ′ = ℱ (−′ ). Для каждого ≥ 0 имеются естественныевложения 0 (, ℱ ′ ( )) ˓→ ℱ ′ ( ) ≃ − (ℱ ′ , ) ˓→ (()),′−+′ − где последнее вложение — это вложение ℱ , ≃ ℱ, ˓→ − [[]] ˓→ (()).′0′Следовательно, мы имеем вложение (∖, ℱ ) ˓→ (()), чей образ ′ = − .
Снова по теореме Римана-Роха мы получаем, что для достаточно больших пространство ′ содержит элементы любых заданных отрицательных значений нормирования . Более того, существует константа ≥ 0, такая что для всех достаточно больших пространство содержит элементы любых заданных значений нормирования , если ≤ − (поскольку по определению 45 пункт 6 пространство не содержит элементов с нормированием большим чем ). В частности, отсюда следует, что пространство содержитэлементы любых заданных значений (−, ) нормирования , если ≤ − .
Такимобразом, кольцо допустимо.−′83Теперь мы можем повторить все рассуждения выше для пучка ℐ( ′ )| . Заметим,что 0 (, ℐ( ′ )| ) ≃ −1 /−2 , и образ вложения 0 (, ℐ( ′ )| ) ˓→ [[, ]]/() —это −1 (−1 ) mod (). Следовательно, для достаточно больших пространство −1содержит элементы любых заданных значений (−( − 1), ) нормирования , если ≤˜ | и( − 1) − . Таким образом, = и кольцо строго допустимо, поскольку ˜ ≥ .Продолжая рассуждать в том же духе, получим, что для достаточно больших каждое пространство содержит элементы любых заданных значений (−, ) нормирования , если ≤ − .˜=Лемма 28. Пусть (, ) — пара Шура ранга . Тогда ∞⨁︀ и gr() ==0— конечно порожденные -алгебры (ср.
лемму 23).∞⨁︀ /−1=0Пусть порождена элементами 1 , . . . , как -алгебра. Обозначимчерез 1,1 , . . . , , соответствующие однородные элементы в ˜, где для каждого обозначает минимальное число, такое что ∈ . Без ограничения общности мы можемпредположить, что среди порождающих есть элементы , с ( (), ()) = , () =(0, ()), () = (0, ()), и элемент с () = (1, *) (так как строго допустимое кольцо).Рассмотрим конечно порожденную -подалгебру ˜1 = [11 , 1,1 , . . .
, , ] ⊂ ˜ (здесьчерез 11 обозначен элемент 1 ∈ 1 ). Рассуждая как в доказательстве леммы 23 и предложения 5, мы можем построить геометрические данные (, , , ℱ, , ) ранга из определения 45. Заметим, что 0 (∖, ) ≃ (˜1 )(11 ) ≃ . Следовательно, пространство,построенное по данным в определении 3.5.3, будет совпадать с .
Тогда по лемме 26 0 (, ( ′ )) ≃ , где ′ = — обильный дивизор Картье. Следовательно, кольцо ˜() — конечно порожденная -алгебра (см. например [149, corol. 10.3]). Поэтому ˜— конечно порожденная -алгебра (ср. начало доказательства леммы 27). Алгебра gr()˜ 1 ).конечно порождена, поскольку gr() ≃ /(1Доказательство3.5.4Категория геометрических данныхВ этом параграфе мы даем определение категории геометрических данных, а также альтернативное определение.Определение 47. Определим категорию геометрических данных следующим образом:1. Множество объектов:() =⋃︁ ,∈Nгде обозначает множество геометрических даныых ранга .2. Морфизм(, ) : [(1 , 1 , 1 , ℱ1 , 1 , 1 )] −→ [(2 , 2 , 2 , ℱ2 , 2 , 2 )]двух объектов состоит из морфизма поверхностей : 1 → 2 и гомоморфизма : ℱ2 → * ℱ1 пучков на 2 таких что:(a) |1 : 1 → 2 — морфизм кривых, и −1 (2 ∖2 ) = 1 ∖1 ;(b)(1 ) = 2 .84(c) Существует непрерывный изоморфизм -алгебр ℎ : [[, ]] → [[, ]] (в естественной линейной топологии, в которой база окрестностей нуля порожденастепенями максимального идеала), такой чтоℎ() = modℎ() = mod(2 ) + (),() + (2 ),и следующая диаграмма коммутативна:♯ 0 (2 ∖2 , 2 ) −−−→ 0 (1 ∖1 , 1 )⎮⎮⎮ 2⎮1⌄⌄^ℎ−−−→[[]](())[[]](()),^ обозначает естественное расширение отображения ℎ до автоморфизма где ℎалгебры [[]](()).(d) Существует изоморфизм [[, ]]-модулей : [[, ]] ≃ ℎ* ([[, ]]) (который задается умножением на обратимый элемент ∈ [[, ]]* ), такой что диаграмма 0 (2 ∖2 , ℱ2 ) −−−→ 0 (2 ∖2 , * ℱ1 ) = 0 (1 ∖1 , ℱ1 )⎮⎮⎮2⎮ 1⌄⌄[[]](())^−−−→ℎ* ([[]](())) = [[]](()).коммутативна.Альтернативное определение категорииМожно дать альтернативное определение категории следующим образом.
Множествообъектов определяется как и раньше, т.е. объект из — тройка (, , ℱ) ранга .Определим морфизм двух объектов (1 , 1 , ℱ1 ) → (2 , 2 , ℱ2 ) как пару (, ), где : 1 → 2 — доминантный морфизм поверхностей, : ℱ2 → * ℱ1 — морфизм квазикогерентных пучков, удовлетворяющие следующим условиям:1. ( −1 2 ) = 12. существует ℎ ∈ ( ) такой что ℎ* (1 ) = 1 ,ℎ* () = modℎ* () = mod(2 ) + (),() + (2 ),и диаграмма1 −−−→⎮⎮⌄ℎ1⎮⎮⌄2 −−−→ 2коммутативна;3. существует ∈ ( ) (т.е.
элемент из * ), такой что диаграмма(ℱ2 )2 −−−→ (ℱ1 )1⎮⎮⎮∩⎮∩⌄⌄коммутативна.−−−→85Композиция с вторым морфизмом ( ′ , ′ ) определяется как ( ′ , ′ ) ∘ (, ) =( ′ , ( ′ )* () ′ ).Замечание 31. Отметим, что, вообще говоря, морфизм пар : (1 , 1 ) → (2 , 2 ) инду-цирует вложение 0 (2 ∖2 , 2 ) ˓→ 0 (1 ∖1 , 1 ) если и только если ( −1 2 ) = 1 .В этом утверждении часть "если"очевидна, докажем его в обратную сторону.
Безограничения общности пусть > 0 — такое целое, что 1′ = 1 и 2′ = 2 — эффективныеочень обильные дивизоры Картье. Тогда * 1′ = 2′ + , где либо = 0, либо —эффективный дивизор Картье.Если = 0 (1 ∖1 , 1 ), = 0 (1 ∖1 , 1 (−)) (т.о. — обратимый идеал), тоSpec() = 1 ∖1 , Spec(∩ − ) = 1 ∖ −1 (2 ). Если = 0 (2 ∖2 , 2 ), то ⊂ ∩ − , имодуль ∩ − конечен над . Если ⊂ , то из точной последовательности0 → / → (∩ − )/ → (∩ − )/ → 0следует, что (∩ − ) должен быть конечным -модулем, что ведет к противоречию, если ̸= 0.Замечание 32. Условие на ℎ* (), ℎ* () из пункта 2 определения важно для того чтобыустановить категорную эквивалентность с категорией пар Шура. Дело в том, что автоморфизмы вида ℎ* () = 1 , ℎ* () = 2 , примененнные к паре Шура, приводят (послеприменения квази-обратного функтора из теоремы 23 ниже) к геометрическим данным спучком ℱ отличным от пучка данных исходной пары Шура (т.е.
к данным не изоморфным исходным). Этот эффект был известен уже в классической теории КП как действиескейлингового преобразования (см. [136, §4,§7]).3.5.5Эквивалентность категорийОпределение 48. Определим отображение : () → () следующим образом.Если = (, , , ℱ, , ) ∈ () — элемент из , то положим() = (1 ( 0 (∖, )), 1 ( 0 (∖, ℱ))) ∈ .Как следует из замечаний выше и леммы 27, () — пара Шура ранга ..Следующая лемма будет нужна для доказательства эквивалентности категорий иЛемма 29. Пусть ′ , ′ ∈ [[, ]] — ряды с единичными старшими коэффициентами снормированиями (′ ) = (1, 0), ( ′ ) = (0, 1). Тогда существует допустимый оператор ∈ Adm , такой что −1 = ′ , −1 = ′ .Это легкое следствие лемм 17, 3 и 16, 2b.Напомним, что для данной категории ϒ через ϒ обозначается категория с теми жеобъектами, но с противоположными морфизмами.Теорема 23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
