Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Но каждое решение в (3.11) можно записать в виде∫︁∫︁ ∫︁∫︁ = − 1 + ( 2 ( )1 − + [0 , 1 ])2 .(3.12)63Мы знаем что удовлетворяетусловию (1+) и удовлетворяет условию +1∫︀∫︀ . Значит, существует интеграл ∫︀ 1 , удовлетворяющий . Тогда по лемме 13 [0 , 1 ]удовлетворяет (+1) . Член 2 ( )1 будет∫︀ снова удовлетворять∫︀ условию +1 . Таккак ( + 1) ≥ + 1, мы получаем, что член ( 2 ( )удовле∫︀ 1∫︀− + [0 , 1 ]) будет∫︀творять условию (+1) . Тогда существует интеграл ( 2 ( )1 − + [0 , 1 ])2удовлетворяющий (1+)−1 .
Так как (1+)−1 ≥ , мы получаем, что будет удовлетворять (1+)−1 . Но (2 − 1) ≥ (1 + ) − 1, поэтому существует удовлетворяющий(2−1) .В качестве следствия теории Шура получается следующий результат о "чистоте"1квази-эллиптических подколец дифференциальных операторов в частных производных:^ — 1-квази-эллиптическое кольцо коммутирующихПредложение 2.
Пусть ⊂ ⊂ ^ комдифференциальных операторов в частных производных. Тогда любое кольцо ′ ⊂ мутирующих операторов, такое что ′ ⊃ , — кольцо дифференциальных операторов вчастных производных, т.е. ′ ⊂ .Если ⊂ , то в силу леммы 17 пункт 1b оператор , такой что = ⊂ [1 ]((2−1 )), принадлежит . Так как ′ — 1-квази-эллиптическое кольцо,^ ∩ = .имеем также: ′ −1 ⊂ [1 ]((2−1 )) ⊂ . Следовательно, ′ ⊂ Доказательство−13.4Классификация подколец коммутирующих операторов в терминах пар ШураВ этом разделе классифицируются 1-квази-эллиптические кольца коммутирующихоператоров в терминах подпространств определенного вида (пар Шура) двумерного локального поля = ((1 ))((2 )). Для этого доказываются аналоги теорем Сато (описывающих соответствие между точками большой клетки грассманиана Сато и операторами изгруппы Вольтерра) для подпространств в , снабженном стандартной топологией.3.4.1Аналог теоремы Сато в размерности 2В этом параграфе мы будем работать с кольцом = [[1 , 2 ]]((1−1 ))((2−1 )).Предложение 3.
Пусть 0 = [1−1 , 2−1 ] ⊂ — линейное пространство. Тогда ⊂ можно описать следующим образом: = { ∈ | 0 ⊆ 0 }.Доказательство Очевидно, что ⊂ { ∈ |0 ⊂ 0 }. Для элемента ∈ обозна-чим через + сумму всех мономов в , принадлежащих , и положим − = − + .
Если∈ и∈/ , то − ̸= 0. В этом случае имеем0 ̸= − ord1 ,2 (− ) − = ord1 ,2 (− ) (− )(0) ∈/ 0 ,где равенство имеет место, поскольку ß (− )(0) = 0 при ß < ord1 ,2 (− ). Так как − ord1 ,2 (− ) + ∈ 0 , то − ord1 ,2 (− ) ∈/ 0 . Таким образом, если сохраняет 0 , должно быть в .^ = { ∈ |^ 0 ⊂ 0 } (здесь 0 = [1−1 , 2−1 ] ⊂ ).Предложение 4.
Имеем: Доказательство такое же, как и доказательство предложения 3.Напомним определение носителя -подпространства в пространстве ((1 ))((2 )).64Определение 32. Носитель -подпространства в пространстве ((1 ))((2 )) — замкну-тое -подпространство Supp( ) в пространстве ((1 ))((2 )), порожденное LT() для всех ∈ .В размерности 1 известна теорема Сато (см. например [107], appendix), которая описывает соответствие между точками большой клетки грассманиана Сато и операторами изгруппы Вольтерра. Мы можем доказать следующий аналог этой теоремы в размерностидва.Теорема 19.
Для всякого замкнутого -подпространства ⊂ [1−1 ]((2 )) с носителемSupp( ) = 0 = [1−1 , 2−1 ] существует единственный оператор = 1 + − , где − ∈^ 1 [[2−1 ]]2−1 , такой что 0 = .^ 1 [[2−1 ]]2−1 , —Доказательство Заметим, что любой оператор = 1 + − , где − ∈ обратим, −1 = 1 − − + ( − )2 − . . ..
Если имеется два оператора 1 , 2 такого типа, то^ 1 [[2−1 ]]2−1 .1 2 − 1 ∈ Единственность: если есть два таких оператора , ′ , то 0 = 0 ′ −1 , отсюда по^ . Таким образом, ′ −1 = 1.предложению 4 ′ −1 ∈ Существование: для любых (, ) ∈ Z+ ⊕ Z+ должно выполняться 1− 2− ∈ . Изопределения действия имеем:∑︁1− 2− = 1 2 ()(0) +,(3.13)∑︀где— конечная сумма элементов следующего типа: · 1− 2− 1 2 ()(0) где ≤ , ≤ , ≤ , ≤ и + = , + = .Будем называть ряды 1 2 ()(0) (, )-слоями оператора . Заметим, что однозначно определен своими (, )-слоями, где , ≥ 0: (, )-слой — это ряд из коэффициентов при1 2 ,∞∞ ∑︁∑︁1 2 1 2 ()(0).==0 =0Из формулы (3.13) следует, что (, )-слой однозначно определен элементом 1− 2− ∈ и такими (, )-слоями, что (, ) < (, ).Мы знаем, что ordΓ (1− 2− ) = (, ).
Рассмотрим базис {, , , ≥ 0} в со свой−−ством , = 1− 2− + ,, где ,∈ [1−1 ][[2 ]]2 (заметим, что такой базис однозначноопределен). Тогда с одной стороны∑︁1− 2− =, , , , ∈ .0≤(,)≤(,)С другой стороны∑︁=∑︁0≤(,)≤(,), 1− 2− +∑︁−,где∑︁∈ [1−1 ][[2 ]]2 ,−и 1 2 ()(0) ∈ [1−1 ][[2 ]]2 . Таким образом,∑︀должно быть , = , , и следовательно− −элемент 1 2 однозначно определяется по .Итак, начиная с (, ) = (0, 0), мы находим сначала (0, 0)-слой, затем, по индукции,мы находим (, 0)-слой для каждого > 0, и затем, опять по индукции, мы находим(, )-слой для каждой пары (, ).65Теорема 20.
Пусть — -подпространство: ⊂ [1−1 ]((2 )) и Supp( ) = 0 . Пусть−{, , , ≥ 0} — базис в , однозначно определенный условиями , = 1− 2− + ,, где−−1, ∈ [1 ][[2 ]]2 . Предположим, что все элементы , удовлетворяют условию с ≥ 1.Тогда существует единственный оператор = 1 + − удовлетворяющий условию^ 1 [[2−1 ]]2−1 , такой что 0 = . , где − ∈ Доказательство Мы можем повторить доказательство теоремы 19, чтобы показать, чтов нашей ситуации удовлетворяет . Заметим, что удовлетворяет , если каждый(, )-слой удовлетворяет условию для порядка (, ).Чтобы это показать, используем индукцию по (, ). Имеем: (0, 0)-слой равен 0,0 ,следовательно он удовлетворяет условию для (0, 0).
Предположим, что каждый (, )слой с ≤ , ≤ и (, ) ̸= (, ) удовлетворяет для порядка (, ). Тогда из формулы(3.13) следует, что (, )-слой удовлетворяет условию для порядка (, ), так как каждыйэлемент , удовлетворяет (ср. следствие 7).Следствие 8. Пусть — подпространство из теоремы. Пусть ⊂ [1−1 ]((2 )) —^ (здесь мы отожкольцо, такое что ⊂ . Тогда имеется вложение −1 ⊂ −1−1дествляем кольцо [1 ]((2 )) и [1 ]((2 )), см.
определение 16).^.Доказательство Ясно, что 0 −1 ⊂ 0 . Тогда, в силу предложения 4, −1 ∈ 3.4.2Классификация в терминах пар ШураТеперь мы готовы описать классификацию удовлетворяющих некоторым условиямколец коммутирующих операторов. А именно, мы можем сделать это для всех 1-квазиэллиптических колец (см. ниже). Сначала покажем, что большое количество примеровколец коммутирующих дифференциальных операторов в частных производных являются1-квази-эллиптическими после замены координат.А именно, рассмотрим кольцо коммутирующих дифференциальных операторовв частных производных, которое содержит два оператора , с постоянными главнымисимволами и удовлетворяющее условиям предложения 1.
Операторы , удовлетворяют условию 1 для порядка (, ) и порядка (, ) соответственно, где + = ord( ),+ = ord(). В силу леммы 12 в существуют (после подходящей замены переменных)два оператора , специального вида, описанного в этой лемме (мы используем здесь тоже обозначение для , , чтобы подчеркнуть, что эти операторы удовлетворяют условиям 3.2 и 3.4 леммы 12; мы надеемся, что это не приведет к недоразумению читателя).В частности, они удовлетворяют условию 1 , и кольцо (после подходящей замены переменных) становится 1-квази-эллиптическим. Более того, применяя предложение 1, мывидим, что (после подходящей замены переменных) становится строго допустимым.Рассмотрим теперь 1-квази-эллиптическое кольцо коммутирующих операторов ⊂^ (см. определение 30), и пусть , — операторы с единичным старшим коэффициентомиз порядков ordΓ ( ) = (0, ), ordΓ () = (1, ).
По лемме 15 существуют однозначно определенные операторы 1 , 2 , такие что 2 = , 1 −1= , и эти операторы удовлетворяют2условию 1 .В силу леммы 16, 2b мы можем предполагать, что они нормализованы. Тогда полемме 17 существует оператор удовлетворяющий условию 1 , и 1 −1 = 1 , 2 −1 =2 .Лемма 18. Пусть — оператор, коммутирующий с , . Тогда он коммутирует так-же с 1 , 2 .66Доказательство Имеем:0 = [, ] =−1∑︁2 [2 , ]2−1− ,=0и HT(2 ) = 2 . Если [2 , ] ̸= 0, то HT([2 , ]) ̸= 0 (чтобы это увидеть, здесь доста^ 1 ((2−1 )) = ^+ относительно 2 ), откудаточно рассмотреть старший член оператора в −1HT([, ]) = HT([2 , ])2̸= 0, противоречие. Таким образом, [2 , ] = 0.
Тогдатакже [1 , ] = 0, поскольку 0 = [, ] = [1 , ]−12 .Следствие 9. (ср. теор. 18) Множество коммутирующих с , операторов — ком-мутативное кольцо. Более того, все эти операторы принадлежат кольцу Π1 (см. следствие 7).Доказательство Действительно, если коммутирует с , , то он коммутирует с 1 , 2 ,и следовательно −1 коммутирует с 1 , 2 , откуда следует, что −1 — оператор спостоянными коэффициентами. Следовательно, любые два оператора, коммутирующие с, , должны коммутировать друг с другом.Чтобы доказать второе утверждение рассмотрим пространство 0 −1 , где 0 =− −⟨1 2|, ≥ 0⟩.
Так как удовлетворяет условию 1 , то в силу следствия 6 −1удовлетворяет 1 , и, по определению действия, элемент 1− 2− −1 также удовлетворяет 1 для всех , ≥ 0. Заметим также, что (0 −1 )( −1 ) ⊂ (0 −1 ). Так какSupp(0 −1 ) = Supp(0 ), то существует базис {, , , ≥ 0} в 0 −1 , однозначно опре−−деленный условиями , = 1− 2− + ,, где ,∈ [1−1 ][[2 ]]2 , и все элементы , удовлетворяют условию 1 . Следовательно, оператор 0,0 ( −1 ) является конечной суммойэлементов , .
А значит, он принадлежит Π1 (ср. доказательство следствия 7), и следовательно −1 ∈ Π1 по лемме 14.Итак, стартовав с 1-квази-эллиптического кольца мы получили кольцо операторовс постоянными коэффициентами = −1 ∈ Π1 и пространство = 0 −1 , ⊂ ,со специальным свойством. Обратное также верно по теореме 20. Теорема 20 и лемма 17побуждают дать следующие определения:Определение 33. Подпространство ⊂ [1−1 ]((2 )) называется -пространством, еслисуществует такой базис в , что удовлетворяют условию для всех .Определение 34. Скажем, что пара подпространств (, ), где , ⊂ [1−1 ]((2 )) и — -алгебра с единицей, причем ⊂ , — -пара Шура, если ⊂ Π (см. следствие7) и — -пространство.Скажем, что -пара Шура -квази-эллиптична, если — -квази-эллиптическоекольцо (см.
опр. 30; мы отождествляем здесь кольцо [1−1 ]((2 )) с кольцом [1 ]((2−1 ))через соответствие 1 ↦→ 1−1 , 2 ↦→ 2−1 ).^+ называется допустимым, если онОпределение 35. (ср. [151, def.1]) Оператор ∈ обратим, порядка нуль, и такой что 1 −1 , 2 −1 ∈ [1 ]((2−1 )). Множество всех допустимых операторов обозначим через Adm (ср. классификацию допустимых операторовв [151, lemma 7]).^+ называется -допустимым, если он допустим и удовлетворяетОператор ∈ условию (в этом случае по лемме 14 имеем 1 −1 , 2 −1 ∈ Π . Множество всех-допустимых операторов обозначим через Adm .Скажем, что две -пары Шура (, ) и (′ , ′ ) эквивалентны, если ′ = −1 и ′ = , где — допустимый оператор.67Лемма 19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
