Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 15
Текст из файла (страница 15)
По лемме 14 1 2 ∈ Π . Более того, 1 + 2 ∈ Π ,поскольку 1 + 2 удовлетворяет условию для такого порядка ( , ), = 1, 2, длякоторого значение выражения + / больше (см. также замечание 16). Следовательно,Π — ассоциативная подалгебра в ^+ с единицей 1.^ ⊂ ^+ — коммутирующие операторы со старшими коэффиЛемма 15. Пусть , ∈ циентами 1, и пусть ordΓ ( ) = (0, ), ordΓ () = (1, ). Тогда1. Существуют единственные операторы 1 ∈ ^+ , 2 ∈ ^+ , такие что 2 = ,1 2 = , [1 , 2 ] = 0.2. Если , удовлетворяют условию с ≥ 1, то 1 , 2 удовлетворяют условию .3.
Если , ∈ , то 1 , 2 ∈ ^+ ∩ .4. Если , ∈ удовлетворяют (очень) сильному условию с ≥ 1, то 1 , 2удовлетворяют (очень) сильному условию .Доказательство 1. Коэффициенты оператора 2 = 2 +0 +−1 2−1 +. . . можно найти по-следовательно, решая систему уравнений, которая получается сравнением коэффициентовоператоров и 2 :0 = −1 ,− + (0 , . . . , −+1 ) = −1− ,(3.7)где — многочлен от переменных 0 , .
. . , −+1 и их производных. Ясно, что эта системаоднозначно разрешима. Таким образом, оператор 2 однозначно определен. Заметим, что−2 — обратимый элемент, −1∈ ^+ и ordΓ (−122 ) = (0, −1). Следовательно, 1 = 2также однозначно определен.Те же аргументы показывают, что справедлив пункт 3.2 и 4. Мы будем доказывать утверждения одновременно в (очень) сильном и несильном случаях.Из формул (3.7) следует, что 0 удовлетворяет для порядка ordΓ (2 ) или, эквивалентно,в силу замечания 16, 0 удовлетворяет .
Предположим, что (0 , . . . , −+1 )в (3.7) удовлетворяет (1+) . Тогда − будет также удовлетворять условию (1+) .Покажем, что (0 , . . . , − ) удовлетворяет (2+) .Имеем:2 = (2 + 0 + . . . + − 2− ) + −−1 2−−2+ + члены высшего порядка.По лемме 14 и замечанию 16 оператор (2 + 0 + . . . + − 2− ) удовлетворяет . Но (0 , . . . , − ) — коэффициент при 2−−2+ у этого оператора. Таким образом, он удовлетворяет условию (2+) , см.
замечание 16.Теперь для оператора 2 пункты 2 и 4 получаются по индукции. Оператор 1 удовлетворяет условию в силу леммы 14 и следствия 6.3.3.2Квази-эллиптические кольца коммутирующих операторовПоследняя лемма, а также лемма 12 служат мотивировкой для следующих определений:^+ коммутирующих операторов называется квазиОпределение 30. Кольцо ⊂ эллиптическим, если оно содержит два таких оператора , с постоянными старшимикоэффициентами, что ordΓ ( ) = (0, ) (см. определение 24) и ordΓ () = (1, ) для некоторых , ∈ Z.Кольцо называется -квази-эллиптическим, если , удовлетворяют условию .60Определение 31.
Скажем, что коммутирующие операторы с постоянными равными 1^+ , где ordΓ ( ) = (0, ), ordΓ () = (1, ), почти нормастаршими коэффициентами , ∈ лизованы, если−1−1∑︁∑︁ = 2 + 2 = 1 2 + 2 ,=−∞=−∞^ 1.где , ∈ Скажем, что , нормализованы, если−2∑︁ = 2 + 2 = 1 2 +−1∑︁ 2 ,=−∞=−∞^ 1.где , ∈ Лемма 16. Для любых двух операторов с постоянными равными 1 старшими коэффи-^ порядков ordΓ ( ) = (0, ), ordΓ () = (1, ) имеет место:циентами , ∈ 1. (a) Существует обратимая функция −1 , −1 почти нормализованы.∈ [[1 , 2 ]], такая что операторы^ 1 1 ⊂ ^+ и ∈ [[1 , 2 ]] обра(b) Существует оператор = + − , где − ∈ −1−1тима, такой что операторы , нормализованы.(c) Если 1 — другой оператор с таким свойством, то −1 1 ∈ .2. (a) Если , удовлетворяют условию , то почти нормализованные операторыиз 1a также удовлетворяют .(b) Если , удовлетворяют условию с = 1, то в 1b удовлетворяет условию .
В этом случае нормализованные операторы из 1b также удовлетворяют .Доказательство Сначала покажем, что существует функция ∈ [[1 , 2 ]]* , такая что −1 = 2 +−1∑︁′ 2 , −1 = 1 2 +=0−1∑︁(3.8)′ 2 .=0∑︀Пусть = =0 2 и = 1 2 + . Простые прямые вычисления показывают, что длялюбой функции ∈ [[1 , 2 ]]* имеют место равенства−1 =2+−1∑︁′ 2 ,−1 =2 (1+−11 ( ) + ) +=0−1∑︁′ 2=0^ 1 . Следовательно, можно найти необходимуюдля некоторых коэффициентов′ , ′ ∈ ∫︀функцию в виде = exp(− 1 ).Таким образом, мы сводим проблему к операторам , , которые имеют вид правыхчастей равенств (3.8).
Аналогично рассуждая, можно найти такую функцию ∈ [[2 ]]* ,что, начиная с таких операторов, мы получим равенства−1 =2+−1∑︁=0′ 2 ,−1 =1 2+−1∑︁=0′ 2 ,(3.9)61где ряд ′−1 не имеет свободного члена. И опять прямые вычисления показывают, что длялюбой функции ∈ [[2 ]]* имеют место формулы −1 = 2 +−1∑︁′ 2 , −1 = 2 (1 + −1 1 ( ) + ) +−1∑︁′ 2 ,=0=0где ′−1 = −1 + −1 2 ( ) (заметим, что коммутирует с ). Так как [, ] = 0, должновыполняться 1 (−1 ) = 0.
Следовательно, можно найти искомую функцию ∈ [[2 ]]* .Заметим, что любая функция ∈ [[1 , 2 ]]* , сохраняющая два оператора вида (3.9),должна быть константой. Это немедленно следует из формул выше.Таким образом, мы свели проблему к операторам , , которые выглядят как правые^ 1 1 , такойчасти равенств в (3.9). Покажем, что существует оператор = 1 + − , − ∈ что−2−1∑︁∑︁−1′ −1 = 2 + 2 , = 1 2 +′ 2 .(3.10)=0=0Так как 1 (−1 ) = 0, то можно искать такой оператор , что 1 () = 0.
Прямые вычисления (заметим, что коммутирует с −1 ) показывают, что для такого оператора−1 =2+ (−1 + −12 ())2−1+−2∑︁′ 2 ,−1 ==01 2+−1∑︁′ 2 .=0∫︀Следовательно, мы можем найти искомый оператор в форме = exp(− ∫︀−1 /2 ). Таккак −1 без свободного члена,∫︀ 1 (−1 ) = 0, и существует интеграл (− −1 /2 ) снормированием по 2 ord2 (− −1 /2 ) > 0, то эта экспонента корректно определена,^ 1.и∈Заметим, что оператор , сохраняющий нормализованные операторы , , долженбыть оператором с постоянными коэффициентами.
Это легко следует из вышеприведенных вычислений. Так как он обратим, он должен быть константой. Объединяя все аргументы вместе, мы получаем доказательство пунктов 1, 1c.Доказательство пункта 2a немедленно следует из леммы 14.Чтобы доказать пункт 2b заметим, что, согласно замечанию16, коэффициент −1∫︀удовлетворяет условию . Следовательно, интеграл (− −1 /2 ) (см. выше) удовлетворяет условию −1 .
Так как в нашем случае = 1, мы получаем что удовлетворяет∫︀условию 0 как сумма операторов удовлетворяющих 0 , поскольку (− −1 /2 )удовлетворяет 0 в силу леммы 13. Отсюда тогда следует, что удовлетворяет .Остаток доказательства следует из леммы 14 и следствия 6.^+ — коммутирующие почти нормализованные операторыЛемма 17. Пусть 1 , 2 ∈ со старшими коэффициентами 1 порядков ordΓ (2 ) = (0, 1), ordΓ (1 ) = (1, 0):1 = 1 +∞∑︁ 2− ,=1 2 = 2 +∞∑︁ 2− .=0Тогда^ 1 [[2−1 ]]2−1 , такой что −1 1 =1. (a) существует оператор = 1 + − , где − ∈ −11 , 20 = 2 , где 20 = 2 + 0 .(b) Если 1 — другой оператор с таким свойством, то −1 1 ∈ [1 ]((−120 )).2.
Если 1 , 2 ∈ ^+ ∩ , то ∈ ^+ ∩ .623. (a) Если 1 , 2 удовлетворяют условию , где ≥ 1, то существует , удовлетворяющий условию 2−1 ; в частности, если = 1, то удовлетворяет .(b) Если 1 — другой оператор с таким свойством, то −1 1 ∈ [1 ]((−120 )) иудовлетворяет 2−1 .Доказательство 1a. Достаточно доказать следующий факт: если1 = 1 +∞∑︁ 2− ,2 = 2 + 0 +=∞∑︁ 2− ,[1 , 2 ] = 0,=то существует оператор = 1 + 2− , такой что−1 1 = 1 +∞∑︁′ 2− ,−1 2 = 2 + 0 +=+1∞∑︁′ 2− .=+1∏︀∞Действительно, если этот факт доказан, то −1 = =1 , где 1 берется для исходных операторов 1 , 2 , 2 берется для операторов 1−1 1 1 , 1−1 2 1 , и так далее.Чтобы доказать этот факт, заметим сначала, что, поскольку [1 , 2 ] = 0, должновыполняться 2 ( ) − 1 ( ) + [0 , ] = 0 и 1 (0 ) = 0.
Далее,−1 1 = 1 + −1 1 ( ) = 1 + 1 ( )2− + . . . ,−1 20 = 2 + −1 2 ( ) + −1 0 = 2 + (2 ( ) + [0 , ])2− + . . . ,откуда может быть найден из следующей системы:1 ( ) = −2 ( ) + [0 , ] = − .(3.11)Эта система разрешима, поскольку 2 ( ) − 1 ( ) + [0 , ] = 0 и 1 (0 ) = 0 и все коэффициенты у , лежат в [[1 , 2 ]].1b. Если 1 — другой оператор с таким свойством, то должны выполняться равенства−1[ 1 , 1 ] = 0, [ −1 1 , 20 ] = 0. Заметим, что любой элемент в ^+ может быть записан−1^ 1 ((−1как ряд из кольца 1 записан в виде такого ряда. Так20 )). Предположим, что как [1 , 20 ] = 0, первое условие дает равенство 1 ( −1 1 ) = 0, т.е. коэффициенты −1 1не зависят от 1 .∑︀−Теперь пусть −1 1 = ∞=0 20 и предположим, что — первый коэффициент,такой что [ , 20 ] ̸= 0.
Тогда0 = [ −1 1 , 20 ] = [ , 20 ]−20 + члены высшего порядка,откуда [ , 20 ] = 0, противоречие. Но [ , 20 ] = −2 ( ), поскольку 1 ( ) = 0 и следовательно [ , 0 ] = 0. Таким образом, мы получаем что коэффициенты ряда −1 1 не зависятот 2 .Это означает, что коэффициенты у −1 1 должны лежать в . Тогда из определения^+ следует, что −1 1 ∈ [1 ]((−1кольца 20 )).2. Доказательство такое же как в 1a.3. В силу следствия 6, доказательство пункта 3 будет следовать из доказательствапункта 1a, если мы покажем, что операторы удовлетворяют условию 2−1 . Чтобы доказать это, нужно показать, что существует решение в (3.11), удовлетворяющее условию(2−1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
