Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Покажем, что пучок = (()) некогерентен.Если бы он был когерентен, тогда по определению для каждого ≥ 1 и 1 , . . . ∈2(1 ,..., )( ) пучок = ((| )⊕ −→ (| )) должен был быть локально конечного типа.Возьмем ∋ , = 2, и пусть 1 , 2 будут образами , в ( ). Пусть ⊂ , ∈ —открытые множества, такие, что ( ) является конечно порожденным в каждой точке.Рассмотрим элемент (1 , 2 ) ∈ ( ), такой, что 1 , 2 являются образами −, в ( ). Тогда (1 , 2 ) ∈ (())⊕2 ( ), но (1 , 2 ) ∈/ 2 (())⊕2 ( ). Заметим, что элементы(1 , 2 ) ∈ ( ) для любого ∈ Z, и тоже удовлетворяют этому∑︀ условию.Заметим, что для каждого (1 , 2 ) ∈ ( ) имеем = , где ∈ ( ).Действительно, должно быть 1 1 + 2 2 = 0 для всех , и это тождество выполняетсятолько если являются полиномами от 1 , 2 без свободных членов, т.е.
принадлежатидеалу ( ).Пусть 1 , . . . — порождающие ( ). Пусть они имеют порядки ( , ′ ), = 1, . . . ,где порядок элемента ∈ ( ) равен степени (относительно ) наименьшего члена . Длякаждого ∈ Z должно выполняться(1 , 2 ) =∑︁(4.4) =1где ∈ ( ). Если = min{1 , . . . , , 1′ . . . , ′ }, то все коэффициенты с < вправой части формулы (4.4) должны принадлежать 2 ( )⊕2 для каждого . Но если ≪0, тогда имеются коэффициенты при , если < , в левой части формулы (4.4), которыене принадлежат 2 ( )⊕2 (и то же самое верно для их образов в стебле ).
Получаемпротиворечие.Аналогично можно показать, что идеал ( )(()) ⊂ ( ) не является конечнопорожденным, т.е. кольцо ( ) не нётерово.Для удобства, введем также следующее определение.Определение 53. Пучок колец ℱ на топологическом пространстве называется слабонётеровым, если существует открытое аффинное покрытие { }∈ такое, что ℱ( ) —нётерово кольцо для любого ∈ .Пример 12.
Это пример когерентного, но не слабо Нётерового пучка риббона.Рассмотрим окольцованное пространство (, = (()) ), где — приводимая алгебраическая кривая над полем , ∈ — гладкая точка. Докажем что пучок являетсякогерентным пучком колец. Для того, чтобы доказать, что пучок является когерентным пучком колец, достаточно доказать, что пучок из определения когерентности (см.замечание 38 выше) является пучком локально конечного типа.Рассмотрим открытое ⊂ . Если ̸∋ , то имеем (| )⊕ ≃ ( (())| )⊕ и поэтому для любого аффинного открытого подмножества ⊂ кольцо (| )( ) являетсяНётеровым.
Ясно, что ( ) = (′ ( )) и ( ) = (′ ( )) , где′ = ((′ | )⊕(1 ,..., )−→(′ | )),′ = [[]]для достаточно большого (заметим что определение пучка не зависит от замен(1 , . . . , ) ↦→ (1 , . . . , )). Локально окольцованное пространство (, ′ ) является Нётеровой формальной схемой (таким образом, ′ является когерентным пучком, см. [62,100ch.I, §10.10]), следовательно ′ – локально конечного типа, т.е. для каждой точки ∈ there существует открытое ⊂ , ∈ и порождающие (1 , . . . , ) ′ ( ) над ′ ( )такие, что их образы порождают стебли ′ для каждого ∈ . Очевидно, что (1 , . .
. , )– также порождающие ( )-модуля ( ), и они также порождают стебли над длякаждого ∈ , т.е. – локально конечного типа.Пусть теперь ∋ , 1 , . . . , ∈ ( ). Наш пучок является подпучком пучка˜ = (()), который является когерентным, как было доказано ранее. Определим пучок,..., )˜ = ((|˜ )⊕ (1−→˜ )).(|˜ как пучок абелевых групп.Это пучок локально конечного типа,подпучком ∑︀и является˜Для заданного элемента = ∈ ( ), ∈ определим его -порядок следующим образом:{︂ord () =min { : ∈/ }∞, если для любого ∈ .˜ ) имеемЯсно, что для любых , ∈ (ord () = ord () + ord ().Для заданного элемента ∈ ˜⊕ ( ), ∈ определим его -порядок как минимум-порядков компонент , т.е.ord () = min{1 , .
. . , } для = (1 , . . . , ).˜ )-модуля (˜ ), ∋ , такие, что их образыПусть 1 , . . . , — порождающие (˜ при каждом ∈ . Без ограничения общности можно предпопорождают стебли ложить, что является аффинным открытым множеством таким, что максимальныйидеал точки в ( ) является главным идеалом (), ∈ ( ). Предположим еще,что 1 , . . . , ∈ ( ), т.к. иначе мы можем заменить их на 1 1 , . . . . Т.к. максимальный идеал точки в ( ) является главным идеалом, имеем = ′ , где ≥ 0и ord (′ ) < ∞. Предположим, что ′ ∈ ( ) снова после умножения их на некоторые˜ ) и слоевстепени .
Очевидно, элементы ′ ∈ ( ) также являются порождающими (˜ для любой ∈ . Поэтому мы можем положить ord ( ) = 0 для любого 1 ≤ ≤ .Без ограничения общности предположим, что первая компонента 1 – ноль порядка. Поскольку кольцо ( ) имеет размерность 1, можем заменить 1 , . . . , на1 , 2 + 2 1 , .
. . , + 1 для некоторых 2 , . . . , ∈ ( ) таких, что первые компоненты элементов 2 + 2 1 , . . . , + 1 имеют бесконечный -порядок. Если -порядокэлемента + 1 конечен, мы можем вновь положить его равным нулю после умноженияего на подходящую степень .˜ ) (и ˜ приЭлементы 1 , 2 +2 1 , .
. . , + 1 снова являются порождающими (каждом ∈ ). Они образуют × матрицу, элементы которой лежат в ( ) (элемент + 1 является -ой строкой). Соответствующая × -матрица их -порядков имеетвид⎛⎞0 * ... *⎜ ∞ * ... * ⎟⎜⎟⎜ .. .... ⎟ ,⎝ . . ··· . ⎠∞ * ... *где некоторые строки могут состоять лишь из бесконечностей, и минимальной возможнойвеличиной в каждой строке является нуль.101˜ )иПри перестановки некоторых строк нашей матрицы система порождающих ( для каждого ∈ не поменяется. Поэтому можно считать, что наша матрица обладаетследующим свойством: матрица ее -порядков имеет вид⎛⎞0 *...*⎜ ∞ ⋆ ... ⋆ 0 *...* ⎟⎜⎟⎜ ∞ ⋆...⋆ 0 * ... * ⎟⎜ .⎟..⎜ .⎟.···* ⎟,⎜ .⎜⎟...∞ ⎟⎜ ∞ ∞⎜ .⎟⎝ ..⎠···∞ ∞...∞где ⋆ > 0.
(Последние строки содержат лишь ∞.)Ясно, что вышеупомянутые элементарные преобразования строк ведут к новой си˜ ) (и ˜ при каждом ∈ ).стеме порождающих (Поэтому, повторяя такие элементарные преобразования и перестановки строк с нулевым -порядком, получим систему порождающих 1 , . . . , , которые удовлетворяютследующему дополнительному свойству: при каждом 1 ≤ ≤ либо ord ( ) = ∞, либоord ( ) = 0, и имеет -компоненту нулевого -порядка такую, что соответствующие -компоненты всех других элементов , ̸= имеют бесконечные -порядки, матрица-порядков следующая:⎛⎞0 * ...
* ∞ * ... * ∞ * ... *⎜ ∞ ⋆ ... ⋆ 0 * ... * ∞ * ... * ⎟⎜⎟⎜ ∞ ⋆ ... ⋆ ∞ ⋆ ... ⋆ 0 * ... * ⎟⎜ .⎟.⎜ .⎟⎜ . ⋆ · · · ⋆ ∞ ⋆ · · · ⋆ ∞ ⋆ .. * ⎟ .⎜⎟...∞ ⎟⎜ ∞ ∞⎜ .⎟⎝ ..⎠···∞ ∞...∞Пусть 1 , . . . , будут нулями -порядка и +1 , . . . , будут ∞ -порядка. Тогда = ′′ , ≥ + 1, где ord (′′ ) < ∞. После умножения ′′ на некоторую степень получим = ′ , ≥ + 1 для некоторых > 0 и таких, что ord (′ ) = 0.′Мы утверждаем, что элементы 1 , . .
. , , +1, . . . , ′ являются порождающими( )-модуля ( ) такими, что их образы порождают ростки для любого ∈ .Действительно, если ∈ , ̸= , то это очевидно в силу∑︀выбора элементов˜ . Пусть теперь ∈ . Тогда =1 , . . . , в начале, т.к. = для некото˜рого ∈ . Имеем ∈ для всех ≥ + 1, т.к. ord ( ) = ∞. Первая компонента1 нулевого -порядка, и -порядки первых компонент всех других , ≥ 2 бесконечны.Т.к. ∈ , поэтому -порядок первой компоненты 1 1 должен быть больше или равеннулю. Отсюда, ord (1 ) ≥ 0 и 1 ∈ .
Аналогично, ∈ при ≤ . Теперь для ≥ + 1имеем = ′ с > 0 и ′ := ∈ , т.к. > 0. Поэтому=∑︁=1 +∑︁′ ′ ,=+1где , ′ ∈ , что и требовалось.Тем не менее, пучок не является слабо Нётеровым. Например, рассмотрим следующую бесконечную возрастающую систему идеалов в ( ) (для любого ∋ ): := { =∞∑︁= , где ∈ ( ) и ∈ 2 ( ) при < − }.102Ясно, что 1 ⊂ 2 ⊂ .
. . не стабилизируется.Замечание 39. Случай, рассмотренный в примере 12, подобен случаю ранга 2 нормиро-ванного кольца ′ = [[]] + (())[[]] в 2-мерном локальном поле (())(()). Кольцо ′также не Нётерово (см. [117]), но можно доказать вышеупомянутым методом, что кольцо′ когерентно.Пример 13. Рассмотрим еще один пример. Пусть — приведенная алгебраическая кри-вая над полем .
Рассмотрим окольцованное пространство (, ), где={∞∑︁ · ,0 = 1, = 0для всех , ̸= 0}=Ясно, что является пучком, который удовлетворяет всем условиям определения 49.Поэтому (, ) является риббоном.Очевидно, что пучок тоже не когерентный и не является слабо Нётеровым.
Болеетого, 0 некогерентно. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть ядро умноженияна 1 . Ясно, что это ядро не может быть локально конечного типа.При определенных условиях на пучок риббона можно доказать в следующей лемме, что он будет когерентным, также как и любой пучок без кручения конечного рангана этом риббоне будет когерентным. (Определим пучки без кручения позже, смотритеопределение 51 и замечание 41).Определение 54. Будем говорить, что пучок риббона (, ) удовлетворяет (*), есливыполняется следующее условие:существует аффинное открытое покрытие { }∈ кривой такое, что для любого ∈ существует > 0 и обратимая секция ∈ ( ) ⊂ ( ).Определение 55. Для открытого множества определим функцию порядка ord на( ) следующим способом: если элемент ∈ ( )∖+1 ( ), то ord () = .
Иногда, еслиэто ясно из контекста, мы будем пропускать индекс .Докажем следующую лемму.Лемма 32. Пусть пучок риббона (, ) удовлетворяет (*). Тогда он слабо Нётеров икогерентный. Более того, для любого аффинного открытого подмножества в кольцо( ) является Нётеровым кольцом.Пусть { } будет покрытием из (*). Для открытого ⊂ пусть ∈ ( ), ∈ ( ), > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
