Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Из определения риббона (определение 49) следует что−1 ∈ ( )∖+1 ( ), где ≤ − . Ясно, что ( ) = 0 ( ) . Из предложений 7 и 9,кольцо 0 ( )/− ( ) Нётерово.Пусть ˜ ⊂ ( ) — некоторый идеал. Пусть = ˜ ∩ 0 ( ). Положим − = / ∩− ( ). Пусть ¯1 , . . . , ¯ будут порождающими − в 0 ( )/− ( ), и 1 , . . . , будут любыми их представителями в . Пусть ∈ – произвольный элемент, ∈ ( )∖+1 ( ).∑︀Если < −, то существуют 1 , . . . , ∈ 0 ( ) такие, что − ∈ ( )∖+1 ( )с ≥ −.
Если ≥ −, то −1 ∈ , и для некоторого ≥ 1 имеем − ∈ ( )∖+1 ( )с 0 ≤ < −. Повторяем эту процедуру. Т.к. ord() > 0 и 0 ( ) полное хаусдорфовопространство, получаем что 1 , . . . , порождают , отсюда ˜. Поэтому ( ) — Нётеровокольцо.Аналогично можем показать, что 0 ( ) – тоже Нётерово кольцо. А именно, дляидеала ⊂ 0 ( ) пусть ˜ будет идеалом, порожденным в ( ). Если ˜ = (1), то ∈ Доказательство*103для некоторого > 0. Для любого ≥ − имеем ( ) ⊇ ( ). Следовательно, элементы1 , . .
. , , образы которых находятся в 0 ( )/− ( ), порождают идеал / ∩− ( ),и элемент породит идеал .Если ˜ ̸= (1), то ˜ = (1 , . . . , ), как и ранее, где 1 , . . . , ∈ 0 ( ). Как было показано выше, для∑︀ любого достаточно большого элемент ∈ ∩ ( ) может быть написанв виде = ℎ с 1 , .
. . , ∈ 0 ( ), ℎ > 0. С другой стороны, для достаточно большого ℎ имеем ℎ 1 , . . . , ℎ ∈ . Поэтому существует натуральное такое, что для любого ∈ ∩ ( ) с > имеем ∈ (ℎ 1 , . . . , ℎ ) ⊂ 0 ( ). Теперь, если 1′ , . . . , ′ ∈ — представители порождающих идеала / ∩ ( ), то система 1′ , . .
. , ′ , ℎ 1 , . . . , ℎ является системой порождающих идеала .Чтобы показать, что когерентный, достаточно доказать, что пучок из определения когерентного пучка (см. Замечание 38) является пучком локально конечного типадля каждого .Для любого открытого ⊂ имеем ( ) = (′ ( )) и ( ) = (0 ( )) , где′ = ((0 | )⊕(1 ,..., )−→(0 | ))для достаточно большого (как в примере 12). Имеем такжеlim←− 0 ( )/ 0 ( ) = 0 ( ),≥0т.к. для идеала () = 0 ( ) всегда выполнено ⊇ () ⊇ ( ) при ≥ − и длялюбого , и () ⊇ ( ) ⊇ () для ≤ [/(−)].Собирая все вместе, получаем, что следующие локально окольцованные пространства изоморфны:\( , 0 | ) ≃ (Spec0 ( )) ,где — замкнутая подсхема Spec 0 ( ), заданная идеалом (), и формальная Нётерова\схема (Spec0 ( )) является дополнением схемы Spec 0 ( ) вдоль .
Таким образом,из [62, ch.I, §10.10] следует, что пучок 0 | когерентный, а пучок ′ 0 | -модулей – локально конечного типа. Следовательно, пучок | -модулей является пучком локальноконечного типа.Покажем последнее свойство леммы. Во первых, заметим, что для любого открытого ⊂ кольцо ( ) удовлетворяет (*) и поэтому Нётерово, как было показано ранее. Т.к.для открытого аффинного = Spec существует база топологии, содержащая открытыемножества ( ) ≃ Spec , и любое аффинное множество квазикомпактно, можно покрыть множество конечным числом аффинных открытых множеств ≃ Spec таких,что кольца ( ) удовлетворяют (*) и являются Нётеровыми.
По определению риббонаи по предложению 9, можно взять = 0 ( )/1 ( ) и ∈ 0 ( )/1 ( ), порождаютидеал (1) кольца .Теперь докажем следующее утверждение. Пусть ⊂ ( ) будет идеалом и :( ) → ( ) являются гомоморфизмами ограничения, = 1, . . . , . Тогда⋂︁=−1 ( () · ( )).Очевидно, мы имеем ⊂∈⋂︁⋂︀−1 ( () · ( )). Пусть теперь−1 ( () · ( )) , ∈ ( )∖+1 ( ).104Пусть () =∑︁ ( ) ,=1где ∈ ( ), ∈ . Имеем () ∈ ( ) и поэтому ()mod +1 ( ) =∑︁( ( )mod +1−ord( ) ( )).mod +1−ord( ) ( ))(=1Рассмотрим гомоморфизмы¯ : ord( ) ( )/+1−ord( ) ( ) −→ ord( ) ( )/+1−ord( ) ( ),которые индуцируются отображением .
По предложению 7, пучок ord( ) /+1−ord( )является когерентным пучком на схеме = (, 0 /+1 ), где = −ord( ) − ord( ) (предположим, что ≥ 0, т.к. иначе наш пучок тривиальный и доказывать нечего). Поэтому ¯ является отображением локализации, и для любого элемента ∈ ord( ) ( )/+1−ord( ) ( ) существует на), где ˜ ∈ ord( ) ( )/+1−ord( ) ( ),туральное такое, что = ¯ (˜ ∈ 0 ( )/+1 ( ) и mod 1 ( ) = (см. [27, lemma 5.3]). Отметим, что можно выбрать = ˜ mod +1 ( ), где ˜ является фиксированным представителем в 0 ( ),для всех .
Следовательно, существует натуральное такое, что (˜ ) ()∑︁mod +1 ( ) =( ( ′ )mod +1 ( )),=1где ′ ∈ ( ) и (′ )mod +1−ord( ) ( ) = (˜ )mod +1−ord( ) ( ).Пусть ′ – такое целое, что ′ ∈ ′ ( ) для любого (заметим, что ′ ≤ ). Тогда,повторяя рассуждения выше для когерентного пучка ′ /+1 , получаем, что существуетнатуральное такое, что˜ mod +1 ( ) ∈ mod +1 ( ).˜Заметим, что можно выбрать∑︀ ˜одно и то же для всех и что элементы порождаютидеал (1) в 0 ( ), т.е., = 1 для некоторого ∈ 0 ( ). Следовательно, mod +1 ( ) =∑︁ ˜ mod +1 ( ) ∈ mod +1 ( ).⋂︀Поэтому существует 1 ∈ , 1 ∈ ( ) такое, что ( − 1 ) ∈ −1 ( () · ( )) и ord( −1 ) > ord().
Проведем рассуждения, приведенные выше, для элемента − 1 и т.д. Т.к.кольцо ( ) имеет полную хаусдорфовую топологию, получаем, что ∈ .Теперь легко показать, что кольцо ( ) Нётерово. Пусть 1 ⊂ 2 ⊂ . . . будет возрастающей цепью идеалов в ( ). Тогда для каждого цепь (1 ) · ( ) ⊂ (2 ) · ( ) ⊂ . . .стабильна, т.к. ( ) является Нётеровым кольцом. Т.к. существует только конечное число, первая цепь также стабильна и ( ) является Нётеровым кольцом.105Определение 56. Риббон (, ) называется алгебраизуемым, если он локально изомор-фен на риббону из примера 10.Пример 14. Пучок = ^ (*), с фильтрацией = ^ (−) на поверхности сэффективным приведенным дивизором Картье из примера 10 удовлетворяет условиямлеммы 32.
Действительно, локальное уравнение в является обратимым элементом,который принадлежит 1 ( ), и его обратный принадлежит −1 ( ).В частности, отсюда следует, что риббоны из примера 11, примера 12 и примера13 не алгебраизуемы, т.к. они не слабо Нётеровы.Замечание 40. Структурные пучки алгебраизуемых риббонов удовлетворяют более силь-ному свойству, которое полезно при изучении группы Пикарда риббона, см.
предложение16 ниже.Пример 15. Рассмотрим пример риббона со слабой Нётеровой и когерентной структуройпучка , но который не является алгебраизуемым. Его можно построить точно так же,как и в примере 13.Пусть – приведенная алгебраическая кривая над полем . Рассмотрим окольцованное пространство (, ), где={∞∑︁ · ,0 = 1,2 = 2 ,2+1 = 1 2 ,21 = 0}.=Ясно, что является пучком, который удовлетворяет всем условиям определения 49.Поэтому (, ) является риббоном.
По лемме 32 является слабо Нётеровым и когерентным пучком (т.к. 2 является обратимым сечением ( ) для любого открытого ⊂ ). Но (, ) не алгебраизуем, т.к. если бы он был алгебраизуем, то должно былобы существовать открытое аффинное покрытие такое, что для любого открытого изэтого покрытия существует обратимый элемент , который принадлежит 1 ( )∖2 ( ) и−1 ∈ −1 ( )∖0 ( ). Очевидно, что нет таких сечений в ( ) для каждого .Замечание 41.
Если пучок риббона X̊∞ удовлетворяет условию (*) из определения 54,то любой пучок без кручения ранга в X̊∞ — когерентный. Доказательство этого фактаточно такое же, как и в лемме 32.С другой стороны, если является только когерентным, то существует пучок безкручения, который не является когерентным, как это следует из следующего примера.Пример 16. Рассмотрим риббон (, = (()) ) из примера 12. Пучок когерентен, ноне является слабо Нётеровым. Пучок := (()) с естественной фильтрацией являетсяпучком без кручения ранга 1 на X̊∞ .
Но росток не может быть конечно порожден: длялюбого конечного числа сечений 1 , . . . , ∈ ( ), ∈ существует бесконечное числоэлементов , ≪ 0, которые не могут быть порождены элементами . Таким образом, не может быть конечного типа и, следовательно, не является когерентным.Аналитические риббоныВ случае поля C мы также можем работать в аналитической категории для того,чтобы определить риббоны над C, заменяя "алгебраический когерентный" на "аналитический когерентный пучок"(для /+1 , ∈ Z) в определении 49. Тогда мы получимпонятие аналитического риббона (, ).106Мы определяем аналитический инд-про-когерентный пучок ℱ на аналитическомриббоне X̊∞ = (, ) как фильтрованный пучок -модулей (с убывающей фильтрацией по подпучкам), удовлетворяющей свойствам 1, 3, 4 и свойству2′ .
ℱ /ℱ+1 – аналитический когерентный пучок на для любого ∈ Zвместо свойства 2 из определения 52.Замечание 42. Поскольку топологическое пространство, с которым мы имеем дело, неявляется Нетеровым в этом случае, мы должны взять пучок ℱ , ассоциированный с предпучком ℱ ′ : ↦→ lim−→ ℱ ( ).Имеем следующее предложение (сравните с предложением 9).Предложение 10. Для аналитичного инд-про-когерентного пучка ℱ выполнены следую-щие свойства в аналитическом риббоне X̊∞ = (, ), где – неприводимая комплекснаяалгебраическая кривая.1. ℱ /ℱ++1 – аналитический когерентный пучок на для любого ≥ 0, ∈ Z.2.
ℱ ( )/ℱ ( ) → (ℱ /ℱ )( ) – изоморфизм при < и для открытых множествШтейна ⊂ .3. (, ℱ ) = 0 для любого открытого подмножества Штейна ⊂ и > 0, ∈ Z.Замечание 43. Отметим, что каждое комплексное аналитическое пространство размерности 1, которое не имеет компактных несводимых компонент, является пространствомШтейна (см., например, [114]).Доказательство утверждения 1 и утверждения 2 этого предложенияточно такое же, как и в предложении 9. (Мы пользуемся тем, что для любого аналитического когерентного пучка на пространстве Штейна выполнено (, ) = 0 при > 0.)Теперь докажем утверждение 3 этого предложения. В силу замечания 43, любоеоткрытое подмножество подмножества Штейна ⊂ снова является пространствомШтейна. Поэтому, если { } – открытое покрытие , тогда каждое открытое является∙пространством Штейна.
Пусть Č ({ }, ℱ ) – комплекс Чеха этого накрытия для пучкаℱ . Получаем∙∙Č ({ }, ℱ ) = limČ←− ({ }, ℱ /ℱ ).Доказательство>Рассмотрим следующий естественный комплекс ∙ для любого ∈ Z:010 −→ ℱ ( ) −→ Č ({ }, ℱ ) −→ Č ({ }, ℱ ) −→ . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
