Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 27
Текст из файла (страница 27)
,т.е. = 0 при < −1, −1 = ℱ ( ), и = Č ({ }, ℱ ) при ≥ 0.Для любого ∈ Z∙lim∙ = ←− , ,>где комплексопределен следующим естественным образом для любых ≥ ∈ Z:−1,= 0 при < −1, ,= (ℱ /ℱ )( ), и ,= Č ({ }, ℱ /ℱ ) при ≥ 0.Из утверждения 2 этого предложения получим что для любого фиксированного ∈Z, для любого ∈ Z проективная система (,, ≥ ) удовлетворяет МЛ-условию, потомучто отображения в этой проективной системе являются сюръективными.∙,107∙Для любых ≥ ∈ Z комплекс ,– ациклический, потому что когомологии Чехаˇ 0 ({ }, ℱ /ℱ ) = (ℱ /ℱ )( ),ˇ ({ }, ℱ /ℱ ) = (, ℱ /ℱ ) = 0 для любого > 0.Следовательно, для любого ∈ Z комплекс ∙ – ациклический комплекс, как это следуетиз следующей леммы.Лемма 33.
Пусть (∙ , ≥ 0) – проективная система ациклических комплексов ∙ абе-левых групп. Предположим, что для любого ∈ Z проективная система ( , ≥ 0)удовлетворяет МЛ-условию. Тогда комплекс∙∙ = ←lim− ≥0ацикличен.Доказательство Пусть отображения : → +1 , ∈ Z является дифференциаламив комплексе ∙ , ≥ 0. Имеем следующие точные последовательности:0 −→ Ker −→ −→ I −→ 0.(4.5)Поскольку комплекс ∙ является ацикличным комплексом, то I = Ker +1для любого.Так как для любого проективная система ( , ≥ 0) удовлетворяет МЛ-условию,получаем из точной последовательности (4.5), что для любого проективная система(I−1, ≥ 0) = (Ker +1 , ≥ 0) удовлетворяет МЛ-условию. Пусть отображения : → +1 являются дифференциалами в комплексе ∙ .
Теперь, используя лемму 31 ито, что всегда Ker = ←lim− Ker для любого ∈ Z, получаем, что проективный предел по≥0отношению к ≥ 0 последовательностей (4.5) даст следующую точную последовательностьдля любого ∈ Z:0 −→ Ker −→ −→ I −→ 0.Следовательно, для любого ∈ Z имеем+1+1limI = ←lim− Ker = Ker .− I = ←≥0≥0Следовательно, комплекс ∙ – ацикличен. Лемма доказана.ˇ ({ }, ℱ ) = 0Теперь закончим доказательство предложения 10. Мы доказали, что ˇ (, ℱ ) = 0 для любого ∈ Z длядля любого ∈ Z и любого > 0. Следовательно любого > 0. Поэтому, для любого ∈ Zˇ 1 (, ℱ ) = 0.
1 (, ℱ ) = Более того, имеем спектральную последовательность с начальным членомˇ (, ch (ℱ )) =⇒ + (, ℱ ),2 = (4.6)где ch (ℱ ) – предпучок ⊂ ↦→ ch (ℱ )( ) = (, ℱ ) (см. [60]). Таким образом, поскольку любое открытое подмножество ⊂ вновь является подпространством Штейна,в нашей ситуации получаемˇ 0 (, ch2 (ℱ )). 2 (, ℱ ) = 108Для того, чтобы получить 2 (, ℱ ) = 0, достаточно показать, что для любой точки ∈ 2lim−→ (, ℱ ) = 0.∈ ⊂Это следует из следующего факта ( [60, lemma 3.8.2]: для любой точки ∈ , для любого>0(4.7)lim−→ (, ℱ ) = 0∈ ⊂Теперь с помощью индукции по , теми же самыми методами, как и в случае =2 используем спектральную последовательность (4.6) и равенство (4.7), получаем, что (, ℱ ) = 0 для всех > 0.
Предложение доказано.Следствие 13. Пусть X̊∞ = (, ) – аналитический риббон. Пусть ℱ – аналитическийинд-про-когерентный пучок на X̊∞ , и – неприводимое компактное пространство.1. Если = 1 ∪ 2 , где 1 и 2 – открытые подпространства Штейна, то имеемточную последовательность для любых ∈ Z0 → 0 (, ℱ ) → 0 (1 , ℱ ) ⊕ 0 (2 , ℱ ) → 0 (1 ∩ 2 , ℱ ) → 1 (, ℱ ) → 0.*2. * (, ℱ ) = lim←− (, ℱ /ℱ ), ∈ Z.>3.
(, ℱ ) = 0 для > 1, ∈ Z.Доказательство близко к доказательству следствия 12 предложения 9. Мы должныиспользовать следующую точную последовательность Майера-Виеториса для пучка на:. . . −→ −1 (1 ∩ 2 , ) −→ (, ) −→ (1 , ) ⊕ (2 , ) −→ . . .4.1.4нах.Пополнение пучков на риббонахВ этом разделе доказываются технические результаты о пополнении пучков на риббо-Пусть X̊∞ = (, ) – риббон над полем . Для точки ∈ обозначим 0, локальноекольцо, которое является слоем пучка 0 в точке . Пусть ℳ – это максимальный идеал0, . В дальнейшем нам потребуется сравнить два следующих кольца.̂︀0, ℳ -адическое дополнение кольца 0, .
За ˜0, обоОпределение 57. Обозначим значим кольцо̂︀˜0, = ←lim− , .Предложение 11.1. Следующая диаграмма морфизмов локальных колец0, → ̂︀0,‖↓˜0, → 0,коммутативна, где горизонтальные стрелки инъективны.2. Если dim (ℳ /ℳ2 ) < ∞, то кольцо ̂︀0, нетерово и сюръективно, и размерность̂︀ , ),Крулля ˜0, : ˜0, ≥ 2. Более того, ˜ = ̃︀0, , где ˜ = (̃︀0, → = , .109Доказательство Докажем утверждение 1 предложения. Определим линейную тополо-гиюна := 0, взяв в качестве открытых идеалов все идеалы конечной кодлины, которые содержат некоторый идеал := , . Таким образом, множество {} идеаловсодержит идеалы + ℳ для всех , , поскольку / нетерово, и таким образом онагрубее либо эквивалентна ℳ -адической топологии, и она отделима (посколько длялюбого ̸= 0 в существует с ̸= 0 mod , и с mod ∈/ ℳ (/ ), отсюда∈/ ℳ + = ).Утверждение 1 верно, поскольку ˜ является дополнением по отношению к {}топологии.Докажем утверждение 2 предложения.
Напомним, что () = /ℳ . Еслиdim() (ℳ /ℳ2 ) = < ∞, то ℳ () нетерово (как образ сюръекции̂︀/ℳ (ℳ /ℳ2 ) → ℳ ()) и dim() (/ℳ+1 ) ≤ + . Следовательно, – нете̂︀̂︀ ˜рово в силу [2, ch. III, §2.9, corol.2] (поскольку {ℳ̂︂ } () = ℳ ()), и , оба имеют̂︀ линейно компактна, полинейную топологию, которая линейно компактна. (Топология ̂︂ < ∞, см. [2, ch.III, §2]). Поскольку – непрерывный гомоморфизм и ̂︀ ℳскольку dim /̂︀, получаем, что сюръективно с ядром ∩ ̂︀ = ∩ ̂︀ (̂︀ – это ℳ -адичекоеплотно в ˜ и в дополнение идеала).
Топология ˜ является ℳ̃ -адической топологией.\˜ ˜˜Докажем, что ˜ = ˜. Имеем ˜ /˜+ = /+ = /+ , следовательно, = ˜ + ˜+ для любого > 0. Но поскольку ˜ – Нётерово, идеал ˜ (как и любой идеалв ˜) замкнут в ℳ -адической топологии и {˜ }-топология лучше (поскольку ˜ линейнокомпактно). Следовательно, ˜ = ˜.Для того, чтобы доказать, что ˜ ≥ 2, выберем элемент ∈ ℳ , являющийсяподъемом не делителя нуля в ℳ, = ℳ /1 .
Докажем, что (/(+1 + )) ≥ + 1. Спомощью индукции по это следует из следующей точной последовательности0 → /+1 → /+1 → / → 0↓↓↓0 → /+1 → /+1 → / → 0так как выполнено утверждение (3c) определения 49, так что (( /+1 )/( /+1 )) ≥ 1,((/1 )/(/1 )) = (/(1 + )) ≥ 1, ((/+1 )/(/+1 )) = ((/ )/(/ )) +(( /+1 )/( /+1 )).˜ ˜ + ))˜ ≥ , и (/˜ )˜ = ∞. Поскольку не является делителемТем самым (/([˜нуля в ˜ = ←lim− / , выполнено неравенство > 1.Следствие 14.
Предположим, что dim() (ℳ /ℳ2 ) = 2. Тогда в обозначениях предложения 11 выполнены следующие свойства.1. – изоморфизм2. ˜0, – двумерное регулярное кольцо.^0, ≥ ˜0, . Ввиду [2, ch.III, §3, prop.3], фильДоказательство Мы знаем, что ̂︂ } является ℳ̂︂ -стабильной в кольце ^0, . Тогда с учетом [1, prop.11.4, th.трация {ℳ11.14], имеем ^0, = deg ℳ () = deg (), где ℳ (), () – характеристические̂︂ }, и 2 = /ℳ (ℳ /ℳ2 ) ≥ deg () (по̂︂ }, {ℳполиномы для фильтраций {ℳскольку () ≤ () для всех ≫ 0, где ⨁︀ – характеристический полином кольца22(/ℳ (ℳ /ℳ )) , где простой идеал = ∞=1 (ℳ /ℳ )).Следовательно, используя утверждение 2 предложения 11, получаем ˜0, =^0, = 2 и ˜0, есть двумерное регулярное кольцо с простым идеалом (0).
Поэтому() должен быть простым идеалом, и, значит, () = 0, поскольку иначе ^0, > 2.110Предложение 12. Группа * /*0, нетривиальна тогда и только тогда, когда суще-ствует натуральное > 0 такое, что , −, = 0, . В этом случае выполнены следующие свойства.1. Все , ( ∈ Z) являются конечно-порожденными 0, -модулями.2. Обратимые множества , , т.е. те, для которых , −, = 0, , образуют циклическую группу {, | ∈ Z} с некоторым > 0.Доказательство Если , −, = 0, , то существует конечное множество элементов∑︀ ∈ , , ∈ −, , = 1, .
. . , таких, что = 1.Поскольку 0, – локальное кольцо, существует одна пара ( , ) с ∈ *0, , поэтому существует пара (, ), ∈ , , ∈ −, с = 1.Теперь из того, что = 1, ∈ , , ∈ −, , получаем , = 0, , −, = 0, .Так как если ′ ∈ , и ′ = ∈ 0, , то 0 = ((′ − )) = ′ − , следовательно′ = . Аналогично, , = 0, , −, = 0, , поскольку = 1.Если , −, = 0, , , −, = 0, и = (, ), то , −, = 0, . Ибо если, = 0, , , = 0, ′ и = + , то ′ ∈ , , и если = −1 , ′ = ′ −1 , то ′ ∈ −, и ( ′ )( ′ ) = 1.Тем самым, утверждение 2 этого предложения доказано.
Для того, чтобы доказатьутверждение 1 предложения, заметим, что для любого , существует = , кратное такое, что , ⊂ , , и , /, – конечно-порожденный 0, -модуль.Следствие 15. Если существует гладкая точка на неприводимой кривой такая,что 1, −1, = 0, , то dim( ) (ℳ /ℳ2 ) = 2.Доказательство Из предложения 12 мы знаем, что в нашем случае , = 0, длявсех ≥ 1. Поскольку – гладкая точка, имеем ℳ, = , ¯ для некоторого ¯ ∈ ℳ, .Пусть ∈ 0, – представитель ¯. Тогда, ясно, что , порождают идеал ℳ в кольце 0,и линейно независимы в ℳ /ℳ2 . Таким образом, мы заключаем, что dim( ) (ℳ /ℳ2 ) =2.Определение 58.
Будем говорить, что точка ∈ является гладкой точкой на риббонеX̊∞ , если следующие условия выполнены.1. — гладкая точка .\\̂︀2. (\ /+1 ) ⊗ ( /+1 ) → (+ /++1 ) — изоморфизм , -модулей, и это отображение индуцировано отображением из определения риббона: · ⊂ + .Пример 17. Пусть X̊∞ – риббон из примера 10, где ∈ – гладкая точка кривой иповерхности . Тогда очевидно, что — гладкая точка риббона X̊∞ .Замечание 44.
Все риббоны из примеров 11 и 12 имеют открытые окрестности, в которыху них есть гладкие точки и они алгебраизуемы.Предложение 13. Пусть — гладкая –точка риббона (, ). Тогда˜0, ≃ ^0, ≃ [[, ]],̂︀, ≃ [[ ()]], где : ˜0, → ̂︀, — каноническое отображение.где ˜0, = ˜1, и 111˜0, ≃ ^0, следует из следствий 15 и 14. Теперь докажем,Доказательство Изоморфизм ̂︀ , ≃ [[]][]/ для некоторых , . Доказательство проведем по индукции по .что ̂︀1 , = ̂︀, ≃ [[]] для некоторого . Предположим, что мыЕсли = 1, тогда доказали утверждение для ( − 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
