Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Отображение из определения 48 индуцирует контравариантный функ-тор : → ,который является эквивалентностью категорий.86Доказательство Сначала покажем, что отображение индуцирует биекцию : → .Это будет следовать из леммы 28, леммы 26, предложения 5, леммы 23, леммы 25и следующего утверждения (ср. например [118, lemma 9]). Пусть — проективная схеманад полем, ℱ — когерентный пучок на , и ′ — обильный дивизор Картье на . Тогда ≃ Proj() и ℱ ≃ Proj( ), где = ⊕≥0 0 (, ( ′ )), = ⊕≥0 0 (, ℱ( ′ )).Имея в виду это утверждение, стартуя с геометрических данных = (, , , ℱ, , )ранга , мы можем восстановить их по паре Шура () = (, ) ранга следующим об∞∞⨁︀⨁︀разом: ≃ Proj( ) (см. лемму 26), и Proj( ) ≃ Proj ˜. Дивизор и точка =0=0однозначно восстанавливаются по дискретному нормированию и нормированию кольца [[]](()). В силу [63, prop.2.6.5] композиция канонических гомоморфизмов Γ* (ℱ) →Γ* (Proj(Γ* (ℱ))) → Γ* (ℱ) (обозначения см.

там же) — тождественный изоморфизм. Вчастности, гомоморфизм Γ* (Proj(Γ* (ℱ))) → Γ* (ℱ) сюръективен. По определению геомет∞∞⨁︀⨁︀˜рических данных Proj(Γ* (ℱ)) ≃ Proj( (−, 1)) (и Proj( (−, 1)) ≃ Proj =0=0по [63, prop. 2.4.7]). По лемме 25 Γ* (Proj(Γ* (ℱ))) = Γ* (ℱ). Следовательно, каноническийгомоморфизм Proj(Γ* (ℱ)) → ℱ должен быть изоморфизмом (иначе существует ≫ 0,при котором 0 (, Proj(Γ* (ℱ( ′ ))) → 0 (, ℱ( ′ )) — не изоморфизм). Таким обра˜ ).

Гомоморфизмы и естественно определяются по вложениям подпрозом, ℱ ≃ Proj(странств , в [[]](()).Обратно, стартуя с пары (, ) ∈ , по лемме 28, лемме 23, предложению 5 мыможем построить геометрические данные ∈ . Применяя к ним отображение , мыполучим ту же пару (ср. доказательство леммы 28).Теперь покажем как определить функтор на морфизмах. Начнем с морфизма(, ) : 1 → 2 между двумя данными. У нас есть автоморфизм ℎ : [[, ]] → [[, ]]из определения 47, 2c.

По лемме 29 существует допустимый оператор 1 ∈ Adm1 , такойчто1−1 1 = ℎ(), 1−1 1 = ℎ().Более того, как следует из доказательства леммы 17, мы можем найти 1 , такой что1 · 1 = 1.Автоморфизм ℎ продолжается до автоморфизма колец ℎ : [[]](()) → [[]](())очевидным образом. Таким образом,[[]](()) ∋ (, ) ↦→ (ℎ(), ℎ()) = (1−1 1 , 1−1 1 ) = 1−1 (, )1 ∈ [[]](()).Изоморфизм [[, ]]-модулей : [[, ]] → ℎ* [[, ]] из определения 47, 2d задается умножением на один обратимый элемент ∈ [[, ]]* . Он определяет 1-допустимый оператор2 = 1−1 () (см. следствие 10). Так как это оператор с постоянными коэффициентами,2−1 2 = для любого подмножества ⊂ [[]](()).Теперь пусть ( , ) = ( ), = 1, 2. Так как из определений 3.5.3 и 47, 2c мыимеем, что* 0 (2 ∖2 , 2 ) −−−→ 0 (1 ∖1 , 1 )⎮⎮⎮2⎮1⌄⌄[[]](())ℎ−−−→[[]](()),получаем1−1 2−1 2 2 1 = 1−1 2 1 = ℎ(2 ) = ℎ2 ( 0 (2 ∖2 , 2 )) ⊂ 1 ( 0 (1 ∖1 , 1 )) = 1 .87С другой стороны, из определений 3.5.3 и 47, 2d мы имеем, что̂︀ 0 (2 ∖2 , ℱ2 ) −−−→ 0 (2 ∖2 , * ℱ1 ) = 0 (1 ∖1 , ℱ1 )⎮⎮⎮2⎮ 1⌄⌄[[]](())−−−→ℎ* ([[]](())) = [[]](()).Изоморфизм полностью определен образом (1) = 1 · 2 .

Каждый элемент [[]](())модуля [[]](()) имеет вид · 1, где ∈ [[]](()). Отсюда( · 1) = ℎ() · (1) = (1)1−1 1 .defСледовательно, мы можем заключить, что = = 2 1 , принимая во внимание следующую последовательность равенств:( · 1) = 1 · 2 · 1−1 1 = 1 · · −1 = .Итак, имеем:2 = (2 ( 0 (2 ∖2 , ℱ2 ))) ⊂ 1 ( 0 (1 ∖1 , ℱ1 )) = 1 . — 1-допустимый оператор и −1 2 ⊂ 1 и 2 ⊂ 1 . Следовательно, мы построилиморфизм(, ) : (2 , 2 ) → (1 , 1 )и наш функтор определен.Покажем, что задает анти-эквивалентность категорий.

Для этого нам осталосьпостроить обратный функтор на морфизмах в .Пусть : (2 , 2 ) → (1 , 1 ) — морфизм пар Шура, определенный с помощьюдопустимого оператора ∈ Adm1 . Это означает, что имеются вложения −1 2 ⊂ 1и2 ⊂ 1 .(3.25)Пусть — проективные поверхности, определенные по , и ℱ — пучки без кручения,определенные по , = 1, 2. Заметим, что 1 имеет естественную структуру −1 2 модуля. Следовательно, вложения (3.25) определяют морфизм (так как сопряжение иумножение на сохраняет фильтрацию на 2 и на 2 , и следовательно определены вложения градуированных колец и модулей) : 1 → 2 и морфизм пучков : ℱ2 → * ℱ1 .Как видно из имеющегося вложения градуированных колец, свойства 2a и 2b определения47 для морфизма выполняются.Так как 1-допустим, имеем −1 [[, ]] ≃ [[, ]], что дает изоморфизм ℎ :[[, ]] → [[, ]]. Более того, задает изоморфизм [[]](())-модуля [[]](()) и −1 [[]](()) -модуля [[]](()) .

Так как [[]](()) порожден элементом 1 как [[]](())defмодуль, : [[]](()) → [[]](()) определяется его образом = 1· ∈ [[, ]]. То есть —обратимый элемент, ∈ [[, ]]* . Каждый элемент [[]](()) однозначно представляется ввиде · 1, где ∈ [[]](()). Имеем ( · 1) = (1 · ) −1 = ℎ().Легко проверяется, что ℎ удовлетворяет условию 2c определения 47 и определяет изоморфизм [[, ]]-модулей : [[, ]] → [[, ]],который удовлетворяет условию 2d определения 47.

Это завершает доказательство.88Обозначим множество классов изоморфных пар Шура через / Adm1 и множествоклассов изоморфных геометрических данных через ℳ. По теореме 23 получаемСледствие 11. Существует естественная биекцияΦ : ℳ → /Adm1 .Комбинируя теорему 21 и теорему 23 получаемТеорема 24. Существует взаимно однозначное соответствие между множествомклассов эквивалентных 1-квази-эллиптических строго допустимых конечно порожден^ ранга (см. определения 30, 36, 41) и множеством классовных -алгебр операторов в изоморфных геометрических данных ℳ ранга (см.

определения 45, 47).Замечание 33. Возникает естественный вопрос: эквивалентны ли категория коммута-тивных алгебр операторов и категория пар Шура?Ответ на этот вопрос отрицательный уже в одномерном случае, см. [107], введение.Можно естественным образом определить категорию коммутативных алгебр операторов.Но она не будет эквивалентна категории пар Шура и категории геометрических данных,поскольку в конструкции в теореме 21, которая строит пару Шура по кольцу операторов,был важен выбор операторов 1 , 2 ; при выборе других операторов мы получим другуюпару Шура, изоморфную первой.Замечание 34.

Должно быть возможно расширить категорию геометрических данных,чтобы включить в нее также схемы не конечного типа над , и доказать эквивалентностьэтой категории и расширенной категории пар Шура, где кольцо не обязательно конечнопорождено над .3.5.6Модули Бейкера-АхиезераВ этом разделе мы дадим описание многомерных функций Бейкера-Ахиезера из теорем Кричевера (см.

начало главы 2 и первый раздел главы 1) и модулей Бейкера-Ахиезераиз работ разных авторов в терминах сечений семейств спектральных пучков.Накаяшики ввел модули Бейкера – Ахиезера (БА-модули) на алгебраических многообразиях в работах [112], [113] для построения примеров коммутирующих операторовс матричными коэффициентами. Они являются естественными обобщениями бимодулейДринфельда [7] (дальнейшее развитие этих идей см. в [129], [130], [131]). БА-модуль состоит из функций (, ), ∈ C , ∈ , где — -мерное проективное алгебраическоемногообразие. При фиксированном является сечением пучка на , кроме того, имеетсущественную особенность на дивизоре ⊂ . Элементы ∈ обладают следующимисвойствами:∙ ∈ и () ∈ , где () — аналитическая функция в некоторой окрестностификсированной точки 0 ;∙ ∈ для любой рациональной функции на с полюсом в .Эти свойства означают, что является модулем над кольцом дифференциальных операторов = [1 , .

. . , ], где — кольцо аналитических функций в окрестности 0 ,а также модулем над кольцом рациональных функций на с полюсом в . Особыйинтерес представляют конечнопорожденные свободные БА-модули над , поскольку вэтом случае конструкция позволяет строить коммутативные кольца дифференциальных89операторов. Выберем базис 1 (, ), .

. . , (, ) в . Тогда для ∈ существует единственный дифференциальный оператор () с матричными коэффициентами такой, что()Ψ(, ) = ( )Ψ(, ),где Ψ(, ) = (1 (, ), . . . , (, ))⊤ . Для другой функции ∈ ()Ψ(, ) = ( )Ψ(, ),откуда вытекает равенство (()() − ()())Ψ = 0. Из свободности -модуля следует, что оператор ()() − ()() нулевой, то есть () и () коммутируют.По мотивам определения 45, назовем пучок ℱ на проективном многообразии пучком Кричевера (К-пучком), если он является когерентным пучком без кручения и обладаетследующим свойством:dimC 0 (, ℱ( ′ )) = dimC {C[1 , . . .

, ]/(1 , . . . )+1 },(3.26)Теорема 25. Пусть — спектральное многообразие коммутативного кольца -мерных дифференциальных операторов ранга 1 со скалярными коэффициентами, старшие символы которых имеют постоянные коэффициенты.На существует семейство пучков Кричевера. Более точно, на × , где ⊂ C— некоторая область, существует пучок ℱ такой, что ℱ |× является пучком Кричевера ранга 1. Кроме того, определены операторы ковариантного дифференцирования∇1 , .

. . , ∇∇ : H0 ( × , ℱ, ) → H0 ( × , ℱ,+1 ), ∇ ∇ = ∇ ∇ ,где ℱ, = ℱ (( ′ × )). Множество глобальных сечений0∪∞=0 H ( × , ℱ, )является свободным модулем ранга 1 над C[∇1 , . . . , ∇ ].Доказательство Определим пучок ℱ на × следующим образом. Рассмотрим ⊗C -модуль, где — кольцо аналитических на функций: = ((, ))−1 1 −...− ,где — функция из теоремы 16. Как следует из этой теоремы, — модуль без кручения.На нем определена естественная фильтрация { } по степени относительно , и очевидно,˜ =что с этой фильтрацией — фильтрованный ⊗C -модуль. Таким образом, ∞˜ ⊗C -модуль без кручения. Далее, заметим, что, как и в⊕=0 — градуированный доказательстве теоремы 18, мы имеем: ( ) ≃ [1 , . . .

Характеристики

Список файлов диссертации