Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

По той же самой причине, если кривая – аффинная, то для любого фиксированного ≥ 0 проективная система ( 0 (, , ), ≥ ) удовлетворяет МЛ-условию.Если кривая проективная, то рассмотрим следующие точные последовательности, которые следуют из последовательностей (4.15):**0 −→ 0 (, , ) −→ 0 (, ) −→ 0 (, ).(4.19)Получим, что -модули ( 0 (, ), ≥ 0) удовлетворяют МЛ-условию, поскольку яв*ляются артиновыми -модулями. Следовательно, группы 0 (, ) = 0 (, )* удовлетворяют МЛ-условию как обратимые элементы соответствующих алгебр, для которых:1) мы имеем МЛ-условие и 2) отображения в проективной системе имеют нильпотентныеядра.

Откуда, для фиксированного ≥ 0 из точной последовательности (4.19) получим,что проективная система ( 0 (, , ), ≥ ) удовлетворяет МЛ-условию как система ядер*отображений в постоянную группу 0 (, ).Теперь применим лемму 31 для того, чтобы получить, что для фиксированного ≥ 0точная последовательность (4.17) является проективным пределом точных последовательностей (4.18) по отношению к ≥ . Следовательно1 1 (, ) = lim←− (, , ).≥Пусть = 0, тогда из точной последовательности (4.15) получим следующую точнуюпоследовательность при ≥ 0:*0 −→ 0 (, 0, ) −→ 0 (, ) −→ 0 (, * ) −→*) −→ 1 (, * ) −→ 0.−→ 1 (, 0, ) −→ 1 (, Каждый член этой последовательности удовлетворяет МЛ-условию по отношению .

(Длянулевых когомологий это доказано выше, для первых когомологий это следует из отсутствия вторых когомологий на кривой. ) Следовательно, используя лемму 33, получим, чтоследующая последовательность точна:00*0*0 → lim←− (, 0, ) → lim←− (, ) → (, ) →≥0≥011*1*→ lim←− (, 0, ) → lim←− (, ) → (, ) → 0.

(4.20)≥0≥0Из точной последовательности1 −→ 0 −→ *0 −→ * −→ 1получаем следующую точную последовательность:0 −→ 0 (, 0 ) −→ 0 (, *0 ) −→ 0 (, * ) −→−→ 1 (, 0 ) −→ 1 (, *0 ) −→ 1 (, * ) −→ 0.(4.21)Имеем естественное отображение точной последовательности (4.21) в точную последовательность (4.20), и мы знаем, что отображения на каждом члене за исключениемодного члена последовательности, являются изоморфизмами. Но тогда оставшееся отображение1* 1 (, *0 ) −→ lim←− (, )≥0также является изоморфизмом.131Следствие 18. В условиях предложения 20 предположим, что является аффиннойкривой.

Тогда (∞ ) = ().Доказательство следует из предложения и из того, что 1 (, ,+1 ) = 1 для любого ≥ 0.Пример 20. Пусть X̊∞ – риббон из примера 10 (так что выполняется условие (**)). Пред-положим также, что ( · ) ̸= 0, и – неприводимая кривая. Получаем, что условие1, −1, = 0, следствия 15 выполенено в каждой точке ∈ (ср.

доказательствопредложения 12). Следовательно, по предложению 17 и следствию 15 имеем следующуюточную последовательность пучков на :1 −→ *0 −→ * −→ Z −→ 0,и 0 (, * /*0 ) = Z, 1 (, * /*0 ) = 0. Это дает следующую точную последовательность:0 → Z → (∞ ) → (X̊∞ ) → 0,где (1) = 1 . (Отображение является инъективным, потому что (1) не являетсяэлементом кручения в группе (∞ ).

Действительно, образ (1) в () имеет степень, равную −( · ) ̸= 0.) Таким образом, получаем, что (X̊∞ ) ≃ (∞ )/⟨1 ⟩ ≃ (∞ )/Z.Для каждого имеем точную последовательность0 → 1 (,1 + 1) → ( ) → () → 01 + +1и, следовательно, имеем отображение ( ) → Z → 0,ℒ ↦→ (ℒ| ).По нашим предположениям (1 /+1 ) = = −( · ) ̸= 0. Следовательно, имеемследующие точные диаграммы для любого :0 → 0 ( ) → (Z →0⋃︀ ) → ⋃︀↑0→ ⟨1 /+1 ⟩ ≃ Z↑↑00откуда0 → 0 ( ) → ( )/⟨1 /+1 ⟩ → Z/Z → 0.Проективная система ( ( ), ≥ 0) удовлетворяет МЛ-условию (как система первых когомологий на кривой), следовательно, ( 0 ( ), ≥ 0) удовлетворяет МЛ-условию(как система ядер отображений в Z). Переходя к проективному пределу, получаем точнуюпоследовательность0 → 0 (∞ ) → (∞ )/⟨1 ⟩ → Z/Z → 0‖ (X̊∞ )В частности, когда = P2 , = P1 ⊂ , имеем = −1 и, следовательно, 0 (∞ ) ≃ (X̊∞ ). На 0 (∞ ) существует структура схемы (см., например, [89]), так, что в этомслучае структура схемы существует также и на (X̊∞ ).132Пример 21.

Пусть X̊∞ = (, ) — такой риббон, что — неприводимая кривая. Предпо-ложим, что функция порядка является гомоморфизмом (см., например, предложение 16выше.) Тогда каждый элемент ∈ (X̊∞ ) дает пучок без кручения ранга 1 на X̊∞ послефиксации фильтрации на . (Всевозможные фильтрации образуют Z-торсер.) Действительно, функция порядка ord дает гомоморфизм:: 1 (, * ) −→ 1 (, Z).А препятствием для нахождения фильтраций на является ( ) ̸= 0. Но любая локальная Z-система на неприводимом пространстве является тривиальной в топологииЗарисского, т.е. 1 (, Z) = 0. Таким образом, мы имеем фильтрацию на .4.2.3Функтор Пикара риббонаВ этом разделе определяется функтор Пикара риббона PicX̊∞ , а также функтор Пикара соответствующей ему формальной схемы Pic∞ , на категории аффинных нетеровых -схем, и излагаются результаты о формальной группе Пикара и формальной группеБрауэра риббона. Эти результаты используются в следующих разделах, где доказываетсяглобальная представимость функтора Пикара.Пусть X̊∞ = (, ) — риббон над полем .Определение 68.

Пусть ℬ — категория аффинных нетеровых -схем. Определим кон-травариантные функторы Пикара X̊∞ и Pic∞ из ℬ в категорию абелевых групп:def(i) X̊∞ () = (X̊∞, ) = 1 ( , * );def(ii) ∞ () = (∞, ) = 1 ( , *,0 ).Касательное пространство ЗарисскогоВ этом разделе доказывается предложение технического характера о касательномпространстве к функторам Пикара в нуле.Напомним определение касательного пространства Зарисского к функтору в 0. ПустьX̊∞ = (, ) — риббон над полем . Пусть = ⊕ · , где 2 = 0, — -алгебра.def X̊∞ (0) = Ker ( X̊∞ (Spec ) −→ X̊∞ (Spec )).Аналогично,def ∞ (0) = Ker ( ∞ (Spec ) −→ ∞ (Spec )).Имеет место следующее предложение.Предложение 21.

Пусть X̊∞ = (, ) — риббон над полем .1. Имеются равенства X̊∞ (0) = 1 (, ) и ∞ (0) = 1 (, 0 ).2. Пусть риббон X̊∞ соответствует некоторой обобщенной фредгольмовой подалгебре в (())(()) (после выбора гладкой точки ∈ риббона, формальныхлокальных параметров , , см. теорему 27). Тогда имеется следующая точная последовательность -векторных пространств:0 −→ ℋ1 () −→ ∞ (0) −→ X̊∞ (0) −→ ℋ2 () −→ 0.(4.22)133Доказательство Пусть = Spec . Обозначим пучки после замены базы′ = = ⊕ · ′0 = ,0 = ⊕ · 0 ,,где 2 = 0. Тогда имеются следующие канонические разложения:′* = * × (1 + · ) = * × ;**′*0 = 0 × (1 + · 0 ) = 0 × 0 .Следовательно, имеем: 1 (, ′* ) = 1 (, * ) × 1 (, );11* 1 (, ′*0 ) = (, 0 ) × (, 0 ).Отсюда мы получаем X̊∞ (0) = 1 (, ), ∞ (0) = 1 (, 0 ).(4.23)Имеется следующая точная последовательность пучков на :0 −→ 0 −→ −→ /0 −→ 0.Отсюда мы получаем следующую длинную точную последовательность0 −→ 0 (, /0 ) 0 (,) 0 (,0 )−→ 1 (, 0 ) −→ 1 (, ) −→ 1 (, /0 ) −→ 0.(4.24)Используя эту последовательность, формулы (4.23) и теорему 28, получаем точную последовательность (4.22).Замечание 58.

Согласно замечанию 49 и лемме 36, если риббон X̊∞ = (, ) происходитиз алгебраической проективной Коэно-Маколеевой поверхности и обильного дивизораКартье на , то точная последовательность (4.22) преобразуется к следующей точнойпоследовательности:0 −→ 1 (, ) −→ ∞ (0) −→ X̊∞ (0) −→ 2 (, ) −→ 0.Формальная группа Брауэра алгебраической поверхностиВ этом разделе доказывается предложение технического характера о формальнойгруппе Брауэра алгебраической поверхности.Пусть — проективная алгебраическая поверхность над полем .

Напомним следующее определение формальной группы Брауэра поверхности из статьи [29].Определение 69. Пусть C — категория аффинных артиновых локальных -схем с полемвычетов (т.е. полная подкатегория аффинных -схем, такая что ∈ Ob(C) если и толькоесли = Spec для артиновой локальной -алгебры с полем вычетов ). Формальная̂︁ поверхности — контравариантный функтор из C в категориюгруппа Брауэра абелевых групп, заданный по следующему правилу:**̂︁ () def) −→ 2 (, )),= Ker ( 2 ( × , ×где ∈ Ob(C).134̂︁ .

Но, как былоМы используем топологию Зарисского для определения функтора замечено в [29, ch. II] (из-за фильтрации с факторами-когерентными пучками), мы можемиспользовать, например, этальную топологию, т.е. имеется следующее равенство:**̂︁ () def= Ker (´2 ( × , ×) −→ ´2 (, )),где ∈ Ob(C). Это объясняет название "формальная группа Брауэра".̂︁ В [29, corollary 4.1] было доказано, что при некоторых условиях на функтор ̂︁ , которая является формальной группро-представим формальной групповой схемой Brпой (для полей произвольной характеристики).

Это означает, что для любой ∈ Ob(C):̂︁ ),̂︁ () = Hom .ℎ. (, Brгде Hom .ℎ. берется в категории формальных схем.Так как мы предположили, что char = 0, мы дадим здесь простое доказательство̂︁ всегда про-представим.того, что функтор ̂︁ из категории C в категорию абелевых групп про-представимЛемма 39. Функтор ̂︁ = Spf [ ( 2 (, )* ), где групповой закон в форформальной групповой схемой Br̂︁ задан как ↦−→ ⊗ 1 + 1 ⊗ , ∈ 2 (, )* .мальной группе BrДоказательство По определению, мы имеем -алгебру[ ( 2 (, )* ) def=∞∏︁ ( 2 (, )* ),=0где (·) — -векторное пространство симметричных тензоров степени над полем ,[ ( 2 (, )* ) — топологическая локальная -алгебра над дискретным 0 (·) = .

полем . Эта топология задается топологией бесконечного произведения дискретных пространств.Для всякой = Spec ∈ Ob(C) имеем = ⊕ , где — максимальный идеал вкольце , dim < ∞ и = 0 для некоторого ≥ 0. Рассмотрим дискретную топологиюна кольце . Тогда[ ( 2 (, )* )) = Hom−., ([ ( 2 (, )* ), ) =Hom .ℎ. (, Spf = Hom ( 2 (, )* , ) = 2 (, ) ⊗ ,где Hom−.,. берется в категории топологических -алгебр. Мы используем также,*что 2 (, )* = 2 (, ), поскольку dim 2 (, ) < ∞.′С другой стороны, для пучка = × после замены базы на имеем′′** = ⊕ ( ⊗ ). Отсюда = × (1 + ⊗ ). Экспоненциальное отображениезадает изоморфизм пучков абелевых групп:: ⊗ −→ 1 + ⊗ .′**Следовательно, = × ( ⊗ ).

Характеристики

Список файлов диссертации