Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Следовательно, переходя к проективному пределу относительно в последовательности (4.44), мы опять получаем короткую точную последовательность.1490̃︂Теперь сравним пучки PicX̊∞ и PicX̊∞ . Пусть Pic∞ — связная компонента нуля вгрупповой схеме Pic∞ , которая, как известно, является замкнутой неприводимой подгруппой с0Pic0∞ () = lim←− ( )≥0(здесь = (, 0 /+1 ) — схема), см. предложение 20. Кроме того, имеется следующая точная последовательность пучков, вытекающая из явного описания групповой схемыPic∞ в предложении 24:0 −→ Pic0∞ −→ Pic∞ −→ Z −→ 0.Теорема 31.
Пусть X̊∞ — риббон из предыдущей теоремы 30. Предположим допол-нительно, что он происходит из проективной поверхности и дивизора Картье c( · ) ̸= 0. Тогда следующая последовательность пучков точна:̃︂0 −→ Z −→ PicX̊∞ −→ PicX̊∞ −→ 0,и X̊∞ — формальная групповая схема, (неканонически) изоморфная|(·)|(∐︁̂︁ .Pic0∞ ) × BrX̊∞=1Доказательство По нашим предположениям, риббон удовлетворяет условию (**). Зна-чит, по определению пучка ℑ (4.37) (см. также предложение 19), имеются точные последовательности пучков Зарисского для каждой :0 −→ ℑ −→ * −→ Z −→ 0.Тогда имеются следующие точные последовательности предпучков Зарисского: 1 ( × , ℑ ) −→ 1 ( × , * ) −→ 1 ( × , Z).(4.45)По теореме 29, пучок Зарисского, ассоциированный с предпучком ↦→ 1 (× , Z), равеннулю. (В силу [150, vol.I, ch.III, §15, th.40, cor.1], слои морфизма × → неприводимы.Следвательно, мы могли применить теорему 29.) Покажем, что ядро первого отображенияравно 0 ( × , Z).
Достаточно доказать, что 0 ( × , *,0 ) ≃ 0 ( × , * ) дляприведенной и связной схемы . Действительно, если это верно, то этот изоморфизм имеетместо для любой схемы , поскольку для любой аффинной нетеровой схемы имеетсятогда следующая диаграмма, которая точна по определениям и замечанию 67:0↓̂︀ ) → 0 ( × , ℑ ) → 0 ( × , * ,0 ) → 10 → 0 ( × , ‖↓‖̂︀ ) → 0 ( × , * ) → 0 ( × , * )0 → 0 ( × , Теперь, изоморфизм 0 ( × , *,0 ) ≃ 0 ( × , * ) для приведенной следуетиз примера 20.
Напомним, что в этом случае имеется точная последовательность0 −→ Z −→ (∞ ) −→ (X̊∞ ),где (1) = 1 , и 1 — не элемент кручения в группе (∞ ), поскольку его образ в ()̂︀ — не элемент кручения вимеет степень −( · ) ̸= 0. Таким образом, элемент 1 150 (∞, ), и следовательно отображение Z → (∞, ) инъективно и 0 ( × , *0 ) ≃ 0 ( × , * ) как показывает длинная точная последовательность0 → 0 ( × , *,0 ) → 0 ( × , * ) → Z → (∞, ).Следовательно, последовательность (4.45) приводит к точной последовательностипучков Зарисского̃︂0 −→ Z −→ Pic−→ Pic−→ 0.X̊∞X̊∞Непосредственно из конструкции последовательностей выше следует, что пучок Pic∞ /Z|(·)|∐︀представим схемойPic0∞ .
Следовательно, используя теорему 30, получаем=1|(·)|PicX̊∞ ≃ (∐︁̂︁ .Pic0∞ ) × BrX̊∞=1Замечание 68. Было бы интересно получить аналоги теорем 30 и 31, если условие (4.38)не выполняется. Кажется, в этом случае нужно рассматривать fpqc-пучки (вместо пучков̃︂Зарисского), ассоциированные с предпучками ↦→ X̊∞ () и ↦→ X̊∞ () соответственно, чтобы получить представимость этих пучков.151Глава 5Геометрические свойствакоммутативных подалгебр ДО от двухпеременныхВ этой главе изложены результаты об общих геометрических свойствах данных(, , ℱ) из главы 3, а также о необходимых условиях, выделяющих среди них спектральные данные алгебр коммутирующих дифференциальных операторов в частных производных. В конце главы доказываются теоремы о преобразованиях Дарбу алгебр ДО с рациональной спектральной поверхностью и о пополнении аффинной плоскости.
Результатыэтой главы содержатся в работах [11], [86] и [12].5.1Вводные замечанияКоэно-Маколеевы когерентные пучки без кручения ранга один, появляющиеся какпучки из геометрических данных, классифицирующих коммутативные подалгебры (пополненных) операторов с фиксированной спектральной поверхностью, параметризуютсяпространством модулей, которое является открытой подсхемой проективной схемы, параметризующей полустабильные пучки с фиксированным полиномом Гильберта (см.
замечание 79). Мы определяем в этой главе отображение ограничения из этого пространствамодулей в пространство модулей когерентных пучков без кручения ранга один на кривой (см. параграф 5.3.2, замечание 79). Изучение этого пространства модулей важно для нахождения новых примеров алгебраически интегрируемых систем или для классификациикоммутативных алгебр ДО.Отметим, что это пространство модулей может служить неким аналогом якобианакривой в контексте классической теории КП (см. раздел 1.2).
С другой стороны, схема Пикара риббона тоже может служить неким аналогом якобиана кривой в контекстеклассической теории КП. Так, например, на этой схеме определены обобщенные потокиКП (потоки, определяемые многомерной иерархией, см. главу 6). Неудобство схемы Пикара проколотой ленты заключается в ее бесконечномерности. В отличие от этой схемыпространство модулей, упомянутое выше, является конечномерным. Обобщенные потокиКП также определены на нем, при определенных ограничениях на начальные условия.Несложно показать, что оно вкладывается в схему Пикара проколотой ленты.Исследуя уже существующие примеры вышеупомянутых коммутативных алгебр мыдоказываем теорему (38) об алгебраически интегрируемых коммутативных кольцах ДО,чьи аффинные спектральные поверхности рациональны.
Такие кольца фигурировали, например, в статьях [69], [70], [67], [36]. В примерах из этих статей нормализации аффинныхспектральных поверхностей изоморфны аффинной плоскости A2 . В работе [36] авторы152указали метод построения новых нетривиальных примеров коммутативных колец ДО спомощью преобразования Дарбу. Мы доказываем в теореме 38, что все кольца с такимсвойством аффинной спектральной поверхности получаются с помощью преобразованияДарбу из колец ДО с постоянными коэффициентами. Заодно мы получаем геометрическое описание некоторого замыкания A2 (см. теорему 37): замыкание A2 , чей "бесконечноудаленный"дивизор — обильный неприводимый Q-Картье дивизор с индексом самопересечения один, изоморфно P2 . Возможо, этот результат можно доказать с помощью классических методов алгебраической геометрии, используя старые известные результаты Морроу( [104]) или относительно свежие результаты Кожимы и Такахаши ( [82]) (мы благодарныМ.
Гизатуллину и Т. Бандман за указание на эти работы), однако мы используем вместо этого некоторые наши идеи из теории пунктированных лент (риббонов) и (или какальтернативу) конструкцию обобщенного отображения Кричевера-Паршина.5.2Геометрические свойства спектральных поверхностей5.2.1Конструкция маколеефикацииВ этом разделе мы приводим конструкцию Коэно-Маколеевизации (или маколеефикации) поверхности и пучка, которая нам будет необходима в дальнейшем. Эта конструкция является в некотором смысле "математическим фольклором хотя в литературе онавстречается в разных конекстах, см. например некоторые факты о двумерном функтореМаколеефикации в [43, sec.
3], или Коэно-Маколеево разрешение особенностей в [68]. Походящую ссылку к этой конструкции мы не смогли найти, поэтому приводим ее здесь.Отметим, что, по-видимому, наиболее богатыми свойствами эта конструкция обладаетименно в размерности 2.Для нетеровой области определим⋂︁℘′ =ht ℘=1как пересечение всех локализаций относительно простых идеалов высоты 1. Скажем, чтоdepth() > 1, если выполнено условие (2 ) из [91, ch.
7, § 17, (17.I)], т.е. depth(℘ ) ≥inf(2, ht(℘)) для всех ℘ ∈ Spec().Лемма 41. Пусть dim() > 1. Тогда ′ = если и только если depth() > 1.Доказательство Если ′ = , то для любого ненулевого необратимого ∈ имеетсяравенство (так как — область) =⋂︁ht ℘=1 ℘ =⋂︁( ℘⋂︁),ht ℘=1и идеалы ℘ либо совпадают с ℘ , или ℘-примарны в кольцах ℘ , так как ⋂︀кольца ℘ —нетеровы локальные кольца размерности один. Таким образом, идеалы ℘ в либосовпадают с , либо ℘-примарны в . Значит, существует примарное разложение для без вложенных компонент (ср. [1, th.
4.10]), и, следовательно, существуют необратимыене делители нуля в ℘ / ℘ для любых ℘ ⊃ высоты один, потому что dim > 1 (ср. [1,prop. 4.7]). Отсюда depth() > 1.Теперь предположим, что depth() > 1. Если ∈ ′ , то множество всех элементов ∈ , таких что ∈ — идеал, не содержится в любом простом идеале высоты 1. Таккак depth() > 1, то существует регулярная последовательность (, ) в этом идеале. Таккак () − () = 0, получаем ∈ , так что ∈ .153(*)Предположим, что обладает следующим свойством:Каждый простой идеал высоты 1 в нормализации пересекает по простому идеалувысоты 1.Это свойство выполнено, например, для областей конечного типа над полем или над кольцом целых чисел в силу [1, prop.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
