Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 38
Текст из файла (страница 38)
5.6, corol. 5.8, th. 5.10, th. 5.11] и [150, vol. I, ch. V, th. 9].Тогда для каждой нетеровой области между и ее нормализацией с depth() > 1получаем, что ′ содержится в (так как ℘ ⊃ ℘ ∩ для любого простого идеала ℘ в высоты один в силу (*) и = ′ по лемме 41).Лемма 42. Предположим, что dim > 1, удовлетворяет (*), и обладает свойством,что его нормализация — конечный -модуль. Тогда имеем:(i) ′ — конечный -модуль;(ii) depth(′ ) > 1 и ′ содержится в любой подобласти нормализации, котораясодержит и имеет глубину больше единицы;(iii) для ненулевого ∈ имеем [1/ ]′ = ′ [1/ ].Доказательство Как мы видели выше, ′ содержится во всякой подобласти нормализа-ции, которая содержит и имеет глубину больше 1.
Так как нормализация — конечный-модуль, то ′ — также конечный -модуль. Чтобы доказать, что depth(′ ) > 1, мыможем действовать как в доказательстве леммы 41. Для любого ненулевого необратимого ∈ ′ имеем⋂︁⋂︁⋂︁( ℘ ′ ), ℘ = ′ =ht ℘=1ht ℘=1и идеалы ℘ либо совпадают с ℘ , либо ℘-примарны в кольцах ℘ , так как⋂︀кольца ℘ —нетеровы локальные кольца размерности один. Таким образом, идеалы ℘ ′ в ′ либосовпадают с ′ , либо ℘′ -примарны в ′ , где ℘′ — простой идеал ℘℘ ∩ ′ .
Заметим, чтоht(℘′ ) = 1. Действительно, ℘′ ∩ = ℘ и ht(℘) = 1. Если ht ℘′ > 1, то существует простойидеал ℘1 ⊂ ℘′ высоты один, такой что ℘1 ∩ = ℘ (так как ′ цело над , ℘1 ∩ ̸= 0).Но тогда ℘1 = ℘′ в силу [1, corol. 5.9]. Значит, существует примарное разложение для ′ без вложенных компонент, и следовательно, существуют необратимые не делителинуля в ′℘ / ′℘ для всех ℘ ⊃ высоты один, поскольку dim > 1 (ср. [1, prop. 4.7]).Следовательно, depth(′ ) > 1.Чтобы доказать (iii), сначала заметим, что ′ — пересечение1) всех локализаций относительно всех простых идеалов высоты 1, не содержащих;2) конечного числа локализаций относительно простых идеалов высоты 1, содержащих .Конечные пересечения и локализации коммутируют, и локализация колец в пункте 2)относительно — поле частных Quot .
Поэтому мы можем опустить все эти компонентыпересечения. Кольца в пункте 1) совпадают с локализациями [1/ ] относительно тех жеидеалов. Отсюда следует равенство ′ [1/ ] = [1/ ]′ .Замечание 69. Для 2-мерных областей свойство depth() > 1 эквивалентно свойству,что — кольцо Коэно-Маколея, см. [91, ch. 7, § 17, (17.I)].Имеется следующая геометрическая интерпретация вышеизложенных фактов. Пусть — двумерная целая схема конечного типа над полем или над кольцом целых чисел.Пусть () — подсхема всех точек высоты 1 со структурным пучком, полученным ограничением структурного пучка на . Тогда прямой образ структурного пучка () при154вложении () в — когерентный пучок алгебр на (так как ()( ) = ′ для любого аффинного = Spec ). Пусть () — относительный спектр над этой алгебры.Тогда, используя лемму 42, получаем:(i) () — целая схема, с конечным и бирациональным морфизмом на , и ()— Коэно-Маколеева схема.(ii) Любая целая Коэно-Маколеева -схема с конечным и бирациональным морфизмом на обладает единственной факторизацией над ().Будем также называть схему () Коэно-Маколеевизацией схемы .Замечание 70.
Таким же способом можно определить Коэно-Маколеевизацию пучка.В дальнейшем пусть — целая поверхность, и ℱ — когерентный пучок без кручения. Пусть : () → — морфизм как выше. По пучку ℱ определим пучок (ℱ) := * (ℱ| () ) на . Тогда, используя те же аргументы, что и выше, можнодоказать:(i) ℱ — Коэно-Маколеев пучок если и только если ℱ = (ℱ).(ii) Если ℱ Коэно-Маколеев, и : ′ → — Коэно-Маколеевизация , то ℱобладает единственной структурой * ′ -модуля, так что он происходит из КоэноМаколеевого пучка ℱ ′ на ′ как ℱ = * ℱ ′ .(iii) Если Коэно-Маколеева, то ℱ ∨ = ℋ (ℱ, ) (см., например, [43,Lemma 3.1]) Коэно-Маколеев для любого когерентного пучка без кручения ℱ на . Следовательно, получаем, чтоℱ ⊂ (ℱ) ⊂ ℱ ∨∨(потому что для любого открытого ⊂ и естественного вложения : ( ) ˓→ имеемHom (* (ℱ| ( ) ), ) = Hom (* (ℱ| ( ) , * ( | ( ) )) == Hom ( ) (* * (ℱ| ( ) ), ( ) ) = Hom ( ) (ℱ| ( ) , ( ) ) = Hom (ℱ| , ),и пучки ℱ , * (ℱ| () ) без кручения) и в силу (i) пучок (ℱ) минимален среди КоэноМаколеевых пучков ⊃ ℱ , таких что /ℱ — пучок кручения.(iv) Если ⊂ ℱ — когерентный подпучок когерентного Коэно-Маколеева пучка безкручения ℱ , то — Коэно-Маколеев если и только если никакие примарные компоненты не ассоциированы с замкнутой точкой.5.2.2Коэно-Маколеевость спектральных поверхностейВ этом разделе изучаются свойства поверхности .Теорема 32.
Пусть , — поверхность и дивизор из геометрических данных (, , ℱ)(см. опред. 45). Тогда Коэно-Маколеева всюду кроме конечного числа точек, не лежащих на .Доказательство Напомним, что если имеются геометрические данные из определения45, то определено кольцо ⊂ [[′ ]]((′ )) (см. раздел 3.5.3 выше), фильтрация , определенная дискретным нормированием ′ над полем ((′ ))((′ )): = { ∈ | ′ () ≥ −}, ≥ 0, которая удовлетворяет следующему свойству: ≃ 0 (, ()) для всех ≥ 0, где — минимальное натуральное число, такое что — очень обильный дивизор Картье.∞⨁︀Таким образом, ≃ Proj ˜() ≃ Proj ˜, где ˜ = , и определен однородным=0155˜идеалом = (−1)= () в кольце ˜. Кривая покрыта аффинными подмножествами˜Spec ( ) , где ∈ , ′ ( ) = −.Покажем сначала, что каждая точка кривой является Коэно-Маколеевой на .Достаточно показать, что идеал ( / ) в кольце ˜( ) ( ) -примарен для всех как выше.
(Элемент / — не делитель нуля в кольце ˜( ) . Следовательно, чтобы доказатьсвойство Коэно-Маколеевости, достаточно найти необратимый не делитель нуля в кольце˜( ) /( / ). Но все делители нуля в этом кольце совпадают с /( / ), если ( / ) —( ) -примарный идеал, и все эти делители нуля нильпотентны.
Тогда в силу [1, prop. 4.7]и по теореме Крулля ht ( ) = 1. Таким образом, dim ˜( ) /( ) = 1 и необратимые неделители нуля существуют). Предположим, что элементы / и / принадлежат˜( ) , но не принадлежат идеалу ( / ), и(+−1) ·=∈·+−1(︂)︂⊂ ( ) .Мы должны показать, что / , / ∈ ( ) . Так как ( ) — простой идеал, мы можемпредположить без ограничения общности, что элемент = / ∈ ( ) .
Заметим, чтолюбой элемент ∈ ( ) обладает свойством ′ () > 0. Далее, ′ () = − + , где 0 < < , поскольку ∈ ( ) и ∈/ ( / ) (если ≥ , то ′ () ≤ ( − 1) и следовательно ∈ (−1) ⊂ , так что = ((−1) ) и / ∈ ( / ), противоречие). Тогда2 − =−· ∈(︂)︂,2и − /−∈/ ( ) , поскольку ′ ( /−) = 0.Если 1 = / ∈/ ( ) , то мы получаем2 −1 −∈/ ( ) .Но с другой стороны,22 − −12 (+−1) −= 1 = (+−1) · − ∈ ( ) ,противоречие. Таким образом, 1 ∈ ( ) , и следовательно ( / ) — ( ) -примарный идеал.Пусть теперь обозначает открытую подсхему в , такую что ∈ ( — гладкаяточка из определения 45) и нормальна (следовательно, Коэно-Маколеева). Тогда ∖ —замкнутая подсхема, каждая неприводимая компонента которой имеет размерность не выше чем один.
Пусть — неприводимая компонента размерности один. Пусть обозначаетпростой идеал, соответствующий в кольце (общая точка принадлежит аффинномумножеству ∖ = Spec ). Рассмотрим элемент ∈ . Делая подходящую локализациюпо мультипликативно замкнутому подмножеству ⊂ , используя [1, prop.
4.9.], получаемкольцо , в котором примарное разложение идеала () не содержит ассоциированныхвложенных идеалов. Таким образом, все точки на Spec ∩ Коэно-Маколевы. Следовательно, может существовать лишь конечное число не Коэно-Маколеевых точек на .Так как все точки на Коэно-Маколеевы, мы можем найти открытое множество ⊃ ,такое что — Коэно-Маколеева схема.^ всегда можно увеОказывается, однако, что кольцо коммутирующих операторов в личить, так что будет Коэно-Маколеевой всюду. Это следует из теоремы классификациигеометрических данных в терминах пар Шура и следующей теоремы.156Теорема 33.
Пусть (, ) — пара Шура ранга , причем — конечно порожденный-модуль. Тогда ( (), ) — тоже пара Шура ранга .В частности, если (, ) соответствует кольцу дифференциальных операторовв частных производных (ср. теорему 18), то по теореме 21 и предложению 2 пара( (), ) также соответствует кольцу дифференциальных операторов в частныхпроизводных, которое будет Коэно-Маколеевым.
Соответствующая паре ( (), )проективная поверхность также Коэно-Маколеева в силу теоремы 32.Пусть — проективная поверхность, соответствующая паре (, )по теореме 23. Тогда по теореме 32 существует естественный изоморфизм окрестности дивизора на и на (), что влечет изоморфизм (), ≃ , . Таким образом, мы можем продолжить вложение из определения раздела 3.5.3: () ≃ 0 ( ()∖, () ) ˓→ [[]](()) (заметим, что образ этого вложения содержит ).Обозначим образ этого вложения также через ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
