Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Из свойств (3.21), (3.22) легко следует, что пучкиℬ /ℬ−1 ≃ Proj(∞⨁︁+ /+−1 ),=0ℱ /ℱ−1 ≃ Proj(∞⨁︁+ /+−1 )=0являются когерентными пучками без кручения на ≃ Proj(ℬ0 /ℬ−1 )1 .Определение 76. Для любого пучка без кручения ℱ , для которого дополнительно опре-делено вложение -модулей ℱ ˓→ [[, ]], определим отображение (отображение "ограничения"): : ℱ ↦→ ℱ0 /ℱ−1(5.2)из множества пучков без кручения на поверхности в множество пучков без крученияна кривой .Замечание 74.
Для пучков ℱ , удовлетворяющих свойству ≃ 0 (, ℱ( ′ )) для всех ≫ 0, имеется изоморфизм ℱ ≃ ℱ0 в силу [118, Lemma 9]и [27, Ch.2, ex. 5.9]. Если ℱ — пучок без кручения ранга один локально свободный в точке , то по замечанию 73 для другого выбора тривиализации в имеются изоморфизмы ℱ′ ≃ℱ для всех .
Таким образом, в этом случае определение не зависит от тривиализации.На самом деле, в этом случае зависит лишь от пучка ℱ (см. замечание 76 ниже).С другой стороны, для любого пучка без кручения ℱ и любого > 0 имеются точныепоследовательности0 → ℱ ⊗ (− ′ ) → ℱ → ℱ ⊗ ( / (− ′ )) → 0.Мы подразумеваем здесь и далее в похожих ситуациях обратные образы фактор-пучков на. Заметим, что эти обратные образы канонически изоморфны пучкам Proj(⨁︀∞=0 + /+−1 ),, где градуированные модули рассматриваются как ℬ0 /ℬ−1 -модули. Действительно, для любогои для любого градуированного ˜-модуля имеется изоморфизм модулей, откуда следует, ⨁︀что обратные образы пучков ℬ /ℬ−1 ,изоморфны пучкам,на , где = ( ∞=0 + /+−1 )⨁︀⊗∞˜ (ℬ0 /ℬ−1 ), =. Но модули , изоморфны ℬ0 /ℬ−1 -модулям ( =0 + /+−1 ),.1⨁︀∞Proj( =0 + /+−1 ) ∈ ( ⊗˜ (ℬ0 /ℬ−1 ))( ) ≃ ( ) ⊗˜( ) (ℬ0 /ℬ−1 )( )ℱ⨁︀Proj( ) Proj( ) /ℱ−1∞(⨁︀=0 + /+−1 ) ⊗˜ (ℬ0 /ℬ−1 ) ∞( =0 + /+−1 )165Поэтому обратный образ пучка ℱ0 на схеме (, −1 ( / (− ′ ))) (где : ˓→ обозначает вложение) изоморфен обратному образу пучка ℱ0 /ℱ− .Всюду далее мы будем обозначать обратный образ пучка ℱ на схеме(, −1 ( / (− ′ ))) через ℱ| ′ .Отметим, что схема (, −1 ( / (− ′ ))) неприводима, так как кривая непри˜ (−)˜водима.
Поэтому нильрадикал кольца /прост. Снова из формул (3.21), (3.22)˜˜следует, что ( / (−)) совпадает с этим нильрадикалом. Следовательно, пучокℱ0 | ′ имеет чистую размерность один (ср. [75, p.3]), поскольку любое ограничение ненулевого сечения ∈ ℱ0 | ′ ( ) (где — произвольное открытое подмножество в ) наменьшее открытое подмножество не обращается в ноль. А значит, для любого пучка безкручения ранга один локально свободного в точке пучок ℱ| ′ ⊂ ℱ0 | ′ имеет чистуюразмерность один.Отметим еще, что для любого пучка без кручения ℱ такого, что его ограниченияℱ| ′ на схеме (, −1 ( / (− ′ ))) имеют чистую размерность один, имеет место следующее свойство:Лемма 45.
Пусть ℱ — пучок без кручения на , для которого дополнительно опреде-лено вложение -модулей ℱ ˓→ [[, ]], удовлетворяющее следующему условию: если ∈ , то ∈ − (ℱ ). Допустим, что его ограничения ℱ| ′ имеют чистую размерность один для всех > 0.Тогда 0 (, ℱ( ′ )) ≃ для всех ≥ 0.Замечание 75. Условие на вложение -модулей из леммы выполняется, например, длявсех пучков без кручения ранга один локально свободных в точке (см. замечание 73) идля когерентных пучков ранга из геометрических данных (где совпадает с рангом данных), поскольку — регулярное факториальное кольцо.
Другие примеры см. в теореме35.Доказательство По определению пространства = { ∈ | ∈ [[]][[]]} = { ∈ | ( ) ≥ 0}.Также по определению 1 ( 0 (, ℱ( ′ )) ⊂ . Пусть ∈ , ̸= 0. Покажем, что ∈ 1 ( 0 (, ℱ( ′ )). Имеем: ∈ 1 ( 0 (, ℱ( ′ ))для некоторого . Так как ℱ — пучок без кручения, и ′ — дивизор Картье, имеют местовложения1 ( 0 (, ℱ( ′ )) ⊂ 1 ( 0 (, ℱ( ′ ))для всех ≤ . Предположим, что > .
Допустим обратное:∈/ 1 ( 0 (, ℱ( ′ )). Пусть ∈ 0 (, ℱ( ′ )) обозначает прообраз : = 1 ().Существует окрестность ( ) точки , где обильный дивизор Картье ′ определен элементом . Так как ∈ , мы получаем ∈ − (ℱ ), так что | ( ) ∈Γ( ( ), ℱ( ′ )) и | ( ) ̸= 0 (так как ℱ без кручения). Теперь мы можем написать коммутативную диаграмму:˓→ 0 (, ℱ( ′ )|(−) ′ )↓↓,′′0′0 → Γ( ( ), ℱ( )) → Γ( ( ), ℱ( )) → ( ( ) ∩ , ℱ( )|(−) ′ )где вертикальные стрелки — вложения. Действительно, правая стрелка является вложением, поскольку ℱ( ′ )|(−) ′ имеет чистую размерность один по предположению.Но () = 0, противоречие. Таким образом, ∈ 0 (, ℱ( ′ )).166В силу предложения 27 все пучки ℱ ранга один, происходящие из геометрических данных из определения 45, являются Коэно-Маколеевыми вдоль .
Из определения 45 (пункт 6) легко следует, что все такие пучки обладают свойством: ⊂ ℱ , ∈/ Supp(ℱ/ ).Лемма 46. Пусть ℱ — пучок без кручения ранга один на . Предположим, что ℱКоэно-Маколеев вдоль .Тогда для некоторой тривиализации ^ : ℱ^ ≃ [[, ]] (см. замечание 73) ≃ 0 (, ℱ( ′ ))для всех ≥ 0, или, эквивалентно, ℱ0 ≃ ℱ .Доказательство Доказательство сразу следует из замечаний 74, 75 и леммы 45, так какℱ локально свободен в .Замечание 76.
Если ℱ — пучок без кручения ранга один и локально свободен в , то(ℱ) ≃ * (ℱ), где обозначает то же отображение, что и в замечании 74. Действительно,ℱ ≃ ℱ0 по лемме 45, замечаниям 74, 75. Используя рассуждения из сноски 3 получаем˜ ⊗ ˜ (/˜ (−1)))˜˜ (−1))˜˜ ⊗ ˜ (/˜ (−1)))˜* (ℱ0 ) ≃ Proj(. Легко видеть, что (/-модули (˜˜˜˜и ( / (−1) ⊗˜ (/(−1))) изоморфны.
Но опять же из рассуждений сноски 3 имеем˜ (−1)))˜˜ /˜ (−1) ⊗ ˜ (/.* (ℱ0 /ℱ−1 ) ≃ Proj(Следствие 22. Для любого ≥ 0 имеются изоморфизмы 0 (, ℱ ( ′ )) ≃ + привсех ≥ 0.Доказательство очевидно.Теперь мы можем доказать следующие необходимые условия на геометрические спектральные данные.Теорема 35. Пусть (, , , ℱ, , ) — геометрические данные, соответствующие 1-квазиэллиптическому вполне допустимому кольцу ДО ⊂ , удовлетворяющему условиям теорем 18 и 24.Тогда ℱ — Коэно-Маколеев пучок на .Замечание 77. Если кольцо максимально, то по теореме 33 поверхность такжеКоэно-Маколеева.Рассмотрим маколеевизацию (ℱ) пучка ℱ (см. раздел 5.2.1).
Всилу предложения 27 пучок ℱ коэно-маколеев вдоль ; в частности, ℱ ≃ (ℱ) .Рассмотрим образ ′ = 1 ( 0 (∖, (ℱ))) в [[]](()), где для определения 1 мыиспользуем вложение пучка ℱ (ср. параграф 3.5.2). Тогда мы утверждаем, что этот образкак линейное пространство порождается конечным числом элементов над пространством = 1 ( 0 (∖, ℱ)): ′ = ⟨, 1 , . . . , ⟩,Доказательствогде 1 , . . . , ∈/ , 1 , .
. . , ∈ [[]](()).Чтобы доказать утверждение прежде всего заметим, что пучок (ℱ)| ′ = ℱ| ′имеет чистую размерность один для любого > 0 (обозначения см. в замечании 74), таккак ℱ коэно-маколеев вдоль .Покажем, что условие на пространство ′ из леммы 45 выполнено.
Это условиеверно для элементов из пространства , соответствующего пучку ℱ , потому что ≃ 0 (, ℱ( ′ )). Ясно, что для любого элемента из ′ мы имеем ∈ − ℱ167′для некоторого . Возьмем любой элемент ∈ . Тогда для всех достаточно больших>0 − − 1 1 − . . . − = ∈ (+)для некоторых 1 , . . .
, ∈ . Итак, = (+) + (+) (1 1 + . . . + ) ∈ ℱ .′для всех ≥ 0.Теперь по лемме 45 имеем 0 (, (ℱ)( ′ )) ≃ Как следствие мы получаем, что для достаточно большого > 0′′/(−1)≃ 0 (, (ℱ)( ′ )| ′ ) = 0 (, ℱ( ′ )| ′ ) ≃ /(−1) .′Очевидно, ⊃ для всех . Таким образом, наше утверждение доказано.По теоремам 23, 20 существует единственный оператор , удовлетворяющий условию1 , такой что 1−1 ( ) = 0 (отображение 1 определено в 10), где 0 = [1−1 , 2−1 ]. Болеетого, = 1−1 () −1 , где = 1 ( 0 (∖, )). Так как ′ · ⊂ ′ , имеем:(1−1 ( ′ ) −1 ) · ⊂ (1−1 ( ′ ) −1 ),1−1 ( ′ ) −1 = ⟨0 , ˜1 , . . . , ˜ ⟩,где ˜ = 1−1 ( ) −1 .
Каждый ряд ˜ может быть записан в виде:∑︁∑︁˜ = ′ + ′′ , ′ = 1− 2 , ′′ =≥0,>0,+= 1− 2 .≥0,>0,+<До конца доказательства будем называть числа порядками элементов ′ : ord(′ ) = .Так как кольцо удовлетворяет свойству (3.18), то для любого > 0 символы операторов , удовлетворяют тому же свойству (3.18) с числами , замененными на , . Длявсех ≫ 0 и для любого ˜ должно выполняться˜ ∈ (1−1 ( ′ ) −1 ),˜ ∈ (1−1 ( ′ ) −1 ).Прямые вычисления показывают, что эти элементы можно записать в виде˜ = ′ ( ) + чл.
меньшего порядка,˜ = ′ () + чл. меньшего порядкаСледовательно, поскольку ≫ 0, должно быть ′ ( ) , ′ () ∈ 0 . Значит,′ ( ) , ′ () должны быть однородными многочленами степеней + , + ( + 1).Так как характеристические схемы операторов и не пересекаются, это означает, что′ должен быть однородным многочленом степени . Но тогда, так как ′ ∈/ 0 и в си′′лу свойства (3.18), многочлены ( ) , () будут содержать ненулевой моном типа/ 0 с > 0, противоречие.
Значит, все ˜ должны быть нулевыми, и ′ = ,1− 2 ∈откуда (ℱ) = ℱ .Чтобы получить дальнейшие необходимые условия на геометрические спектральныеданные, нам необходимо будет воспользоваться результатами из главы 4. Прежде всего,нам надо сравнить пары Шура из глав 3 и 4.5.3.3Сравнение пар (, ) и (A, W)Общей иллюстрацией этого раздела служит следующая диаграмма и теорема.{Комм. подалгебрыв }⋂︀^{Комм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
