Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(5.15)=0 =0В силу (5.13) эти неравенства являются равенствами. Следовательно, 0 (, ℱ( ′ )) ≃ для любого ≫ 0. Отсюда ℱ ≃ ℱ0 и 0 (, ℱ( ′ )) ≃ ,+ /+−1 ≃ 0 (, (ℱ ) ⊗ ( ′ )| )(5.16)для всех ≥ 0 по замечанию 74 и по лемме 45. Вместе с (5.14) это влечет, что условия изпункта 6 определения 45 выполняются для некоторой тривиализации в точке .iv) В силу предложения 27 пучок ℱ Коэно-Маколеев вдоль .
Те же рассуждения доказывают, что пучки ℱ Коэно-Маколеевы вдоль . Рассмотрим маколеевизацию (ℱ)пучка ℱ (см. раздел 5.2.1). Рассмотрим образ ′ = 1 ( 0 (∖, (ℱ))) в [[]](()), гдедля определения 1 мы используем то же вложение пучка ℱ (ср. параграф 3.5.2). Заметим, что пучок (ℱ)| ′ = ℱ| ′ имеет чистую размерность один для любого > 0(обозначения см. в замечании 74), так как ℱ коэно-маколеев вдоль .
Тогда по лемме 45′имеем 0 (, (ℱ)( ′ )) ≃ для всех ≥ 0.Непосредственно из определения пучка Коэно-Маколея следует, что пучки (ℱ)Коэно-Маколеевы для всех . Заметим, что (ℱ ) ≃ (ℱ) . Действительно, по определению маколеевизации имеем (ℱ ) ⊂ (ℱ) . Если бы (ℱ ) ̸≃ (ℱ) , то этозначило бы, что (ℱ )− ̸≃ ( (ℱ) )− ≃ (ℱ). Но (ℱ )− ≃ (ℱ), так как (ℱ )− ⊂ ( (ℱ) )− ≃ (ℱ), и (ℱ )− — Коэно-маколеев пучок, содержащийℱ (ср. раздел 5.2.1).В частности, мы можем применить конструкцию из 4.1.4 и построить пучок без кручения на риббоне (, ) (который построен по нашим геометрическим данным).
Далее,мы можем построить пространство W′ ⊂ (())(()) по пучку . Так как конструкция зависит только от сечений пучков (ℱ ) вдоль кривой , мы получаем W′ = W. Отсюдаиз пункта ii) мы получаем ℱ ≃ (ℱ).Замечание 79. Пучки без кручения ранга один на проективной поверхности с фик-сированным полиномом Гильберта из предложения 30 стабильны в смысле стандартного определения из [75, Ch.2]. Стабильные пучки параметризуются проективной схемойℳ () (см.
Chapter 4 в той же книге).173С другой стороны, все пучки, которые нас интересуют, удовлетворяют условиямиз леммы 46 (и, ввиду теорем 35 и 39 ниже, даже более строгим условиям: они КоэноМаколеевы на ). В силу [40, Prop.1.2.16] Коэно-Маколеевость — открытое условие. Таким образом, имеет смысл рассматривать открытую подсхему ℳ1 пространства модулейℳ (), параметризующую такие пучки. Тогда отображение из параграфа 5.3.2 индуцирует морфизм : ℳ1 → ℳ (),где ℳ () — пространство модулей пучков без кручения ранга один степени = ()на (ср.
[127]). Мы предполагаем, что этот морфизм сюръективен (ср. примеры в концеэтой статьи).5.4Геометрические свойства рациональных коммутативных алгебр ДОВ этом разделе изложены некоторые следствия теории: результаты о преобразованиях Дарбу колец дифференциальных операторов с рациональной спектральной поверхностью, и о пополнении аффинной плоскости.5.4.1Теорема о пополненииТеорема о пополнении получается с помощью конструкции обобщенного отображения Кричевера-Паршина. Необходимость в ней возникает естественным образом при рассмотрении примеров алгебраически интегрируемых коммутативных колец ДО, чьи аффинные спектральные поверхности удовлетворяют следующему свойству: их нормализация — A2 . Эта теорема дает ответ на вопрос о том, какова нормализация проективнойспектральной поверхности .Теорема 37.
Пусть — проективная поверхность, ⊂ — целый дивизор Вейля, несодержащийся в сингулярном локусе , являющийся также обильным Q-Картье дивизором, и 2 = 1. Предположим, что ∖ ≃ A2 .Тогда ≃ P2 , ≃ P1 .Доказательство Так как не содержится в сингулярном локусе , мы можем выбратьточку регулярную на и на .
Выберем локальные параметры , в , такие что —локальное уравнение в точке , и ∈ , ограниченное на , — локальное уравнениеточки в .Тогда имеется естественный изоморфизм^ → [[, ]].:Используя этот изоморфизм мы можем повторить конструкцию подпространства изdefпараграфа 3.5.2 и определить = 1 ( 0 (∖, )).Повторяя рассуждения из доказательства леммы 26, мы получаем, что для всех ≥ 0 0 (, ( ′ )) ≃ ,где = ∩ − [[, ]]. Так как 2 = 1, для всех ≫ 0 должно выполнятьсяdim( /(−1) ) = 2 + .(5.17)Рассмотрим произвольный элемент ∈ , такой что () = (*, ).
Мы утверждаем, что * ≤ .174Действительно, в силу 4.1.4 существует канонически определенный риббон (, ) надполем . Тогда мы можем построить, как в доказательстве теоремы 27, пространство A в(())(()), являющееся обобщенным фредгольмовым подпространством. Как следует из(5.3), пространство A() естественно изоморфно фредгольмову подпространству в поле(()), равному образу пучка ( ′ )| при отображении Кричевера. Для ≫ 0 имеемтакже изоморфизмы 0 (, ( ′ )| ) ≃ /−1 , и в силу (1.36)dim(A() ∩ [[]]) = ℎ0 (, ( ′ )| ) = + .(5.18)Замечание 80. В качестве альтернативы (чтобы избежать ссылок на теорию риббонов)можно просто повторить конструкцию обобщенного отображения Кричевера из работы[118] или из работы [23] в нашей ситуации (заменяя дивизор Картье в тех работах наQ-Картье).Так как 2 = 1, мы получаем уравнение на эйлерову характеристику(A()) = + .Теперь можно применить рассуждения из доказательства теоремы 22, чтобы показать, что* ≤ .
Предположим обратное. Имеем · A(0) ⊂ A(). Легко видеть, что ( · A(0)) =(A(0)) + *. Тогда получаем(A()) = + < * + = (A(0)) + * = ( · A(0)) ≤ (A()),противоречие.Заметим теперь, что так как ∖ ≃ A2 , то ≃ [, ]. Таким образом, пространство порождено мономами . В силу утверждения и формул (5.17) и (5.18) мы получаем(без ограничения общности), что () = (0, 1), () = (1, 1) (так как при любых другихзначениях эти формулы не выполняются).
Но тогда ≃ [−1 , −1 ] и ≃ Proj(⊕ ) = P2 , ≃ Proj(⊕ /−1 ) = P1 .5.4.2Теорема о преобразовании ДарбуТеорема о преобразовании Дарбу является естественным обобщением подобной теоремы в размерности один. Преобразование Дарбу как метод использовался в работе [36]для построения новых нетривиальных примеров коммутативных колец ДО.Теорема 38. Пусть ⊂ — коммутативное кольцо ранга rk() = 1, удовлетворяющеесвойствам теоремы 18.
Предположим, что нормализация Spec() изоморфна A2 .Тогда существует дифференциальный оператор , такой что −1 ⊂ [1 , 2 ].А именно, = 2 , где — оператор как в аналоге теоремы Сато 20.Доказательство Без ограничения общности мы можем предполагать, что — конечнопорожденное 1-квазиэллиптическое вполне допустимое кольцо, удовлетворяющее свойству(3.18) (см.
рассуждения перед замечанием 19), так как наше утверждение не зависит отлинейных замен координат.Так как ранг кольца равен 1, ранг соответствующих геометрических данных(, , , ℱ, , ) также равен 1 по классификационной теореме 24. Тогда пучок ℱ когерентен и ранга один в силу 26 и — рациональная кривая с 2 = 1 по 28.Предположение о нормализации эквивалентно предположению, что нормализацияSpec() ≃ ∖ изоморфна A2 . Заметим, что это предположение эквивалентно предполо˜ → —жению о том, что нормализация изоморфна P2 .
Действительно, если : P2 ≃ *морфизм нормализации, то () — рациональная неприводимая кривая. Таким образом,175* () — обильный рациональный дивизор Картье-Вейля на P2 с * ()2 = 1, т.е. * () = P1 .Следовательно, нормализация схемы Spec() изоморфна дополнению к P1 в P2 , т.е. A2 .Обратное утверждение следует из тех же рассуждений вместе с теоремой 37.˜ ≃ P2 , * () ≃ P1 , * ( ) = ˜ ) — нормализация (, , ). Так как регуПусть (лярна, локальные кольца , и P2 ,˜ канонически изоморфны.Повторяя рассуждения из начала доказательства теоремы 37, мы можем построитьвложение 0 (P2 ∖P1 , ) в то же пространство [[]](()) (здесь , — локальные параметрыв точке ∈ ). Обозначим это пространство через ′ .
Как мы видели выше, ′ должно быть нормализацией . Рассуждения из доказательства теоремы 37 показывают, что′ ≃ [, ], где старшие члены рядов , равны −1 , −1 соответственно (таким образом,Supp(′ ) = [−1 , −1 ]).Положим ′′ = 1−1 (′ ) (см. (10)). Тогда Supp(′′ ) = [1−1 , 2−1 ] и ′′ — 1пространство. По лемме 17, 2),3) существует оператор , такой что −1 1 = 1−1 (), −1 2 = 1−1 (), и удовлетворяет условию 1 .
Значит, ∈ Adm1 .Теперь рассмотрим пару Шура (1−1 (), ) из теоремы 21, соответствующую кольцу . Рассмотрим эквивалентную пару ( = −1 , = −1 ). Тогда кольцо ′′ −1 =[1−1 , 2−1 ] является нормализацией кольца 1−1 () −1 (в поле (1 , 2 ) ⊂ ((1 ))((2 ))).Таким образом, все элементы пространства 1−1 () −1 — многочлены от переменных1−1 , 2−1 .Пространство −1 является конечно порожденным модулем над 1−1 () −1 . Безограничения общности мы можем предполагать, что 1 ∈ −1 , рассмотрев в случае необходимости эквивалентную пару Шура (, ) (для подходящего оператора с постоянными коэффициентами; просто меняет тривиализацию в определении 45, пункт 6).
Изконструкции пары Шура, приведенной в параграфе 3.5.2, следует ⊂ (1 , 2 ) (так какэта пара Шура соответствует паре, приходящей из геометрических данных с подходящейтривиализацией , и ранг когерентного пучка ℱ равен 1).Таким образом, порождено конечным числом элементов из (1 , 2 ) над . Таккак — 1-пространство, то мы можем выбрать порождающие, удовлетворяющие условию 1 . Обозначим через их общий знаменатель.
Из леммы 47 (см. ниже) следует, чтоordΓ () = (0, ), где = ord() (здесь и ниже мы отождествляем 1 с 1−1 , 2 с 2−1 ; вэтом случае ord() = deg(), где deg обозначает обычную степень многочлена от двухdeg()переменных). Рассмотрим эквивалентную пару Шура (, /2) (это пара Шура,deg()поскольку /2— оператор нулевого порядка с постоянными коэффициентами и сdeg()ordΓ (/2) = (0, 0), удовлетворяющий условию (1 )!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
