Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 46
Текст из файла (страница 46)
параграф 3.5.2). Эту часть можноописать и более явным образом: имеем вложение˜ ≃ ⟨22 , 2 (22 + 312 ), 1 , ⟩ ⊂ ˜ ≃ [2 , 1 , ],˜ , и = Proj()˜ можнокоторое индуцирует морфизм нормализации : Proj(˜ ) → Proj()рассматривать как подсхему во взвешенном проективном пространстве Proj([, , ℎ, ]),где веса (, , ℎ, ) равны (2, 3, 1, 1). Тогда 2 = /( + 3ℎ2 ) = ( + 3ℎ2 )/ , откуда* P2 = + (−1)2и* P2 / ≃ (−1)2 / (−1)2 ∩ ≃ (−1)/ (−1) ∩ и = / ∩ (1)121≃ / (−3) + (−2)( + 3ℎ2 ),2где — сингулярный локус в (ср. пример 25). Таким образом, = Proj([ℎ, ]) = P1 и* P2 / ≃ (−1), откуда 1 (, ) = 0.Заметим, что для заданных геометрических данных (, , , ℱ, ...), где , , определены по кольцу и пучок ℱ когерентен и ранга один, соответствующая пара Шура(, ) индуцирует 1-мерную пару Шура (′ , ′ ), где′ = ((1 ))⟨22 , 2 (22 + 312 )⟩,и ′ — пространство над = ((1 )), порожденное элементами из (таким образом,′ , ′ ⊂ ((2−1 ))).
Пара Шура (′ , ′ ) соответствует одномерному геометрическомуквинтету ( ′ , ′ , ℱ ′ , . . .) (см. [107, Th.4.6] или [108], см. также параграф 1.2.1), где ′ —рациональная кривая рода 1 с обыкновенной двойной точкой (т.е. нодальная кривая) над , и ℱ ′ — пучок без кручения ранга один на ′ с 0 ( ′ , ℱ ′ ) = 1 ( ′ , ℱ ′ ) = 0. Нетрудновидеть, что дивизор на поверхности также естественно изоморфен нодальной кривой,чье аффинное уравнение (уравнение кривой ∖ ) равно ˜2 = ( + 3)2 .С другой стороны, все пучки без кручения ранга один на этой нодальной кривой(ср. [127]), равно как соответствующие пары Шура одномерных геометрических данных,могут быть описаны явно следующим образом (ср.
[136, Sec 3]). Нодальную кривую ′можно представить как проективную прямую с двумя склеенными точками с локальнымикоординатами и − (локальная координата на P1 ∖ ′ ). Нетрудно видеть, что в нашемслучае√ = 31 ,√а для кривой координата равна 3. Теперь мы можем использовать хорошо известнуюформулу для функции Бейкера-Ахиезера, ассоциированной с линейным расслоением накривой, чтобы описать соответствующие пространства пар Шура. Напомним, что функцию Бейкера-Ахиезера можно записать в виде (, ) exp ( −1 ) = (, −1 )(exp ( −1 ))(где — локальный параметр в точке на кривой).Для единственного не локально свободного пучка * (P1 ) степени ноль (где : P1 → ′ — отображение нормализации) соответствующее пространство ′ равно [2 ].
Этопространство задается пространством = [1 , 2 ], и пара (, ) очевидным образомсоответствует кольцу дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.Единственный локально свободный пучок степени ноль, у которого ненулевые когомологии, — это ′ . Для локально свободного пучка ℒ, чей параметр (в пространстве184модулей) равен ∈ * ≃ Pic( ′ ), ̸= −1 ( = −1 соответствует пучку ′ ) соответствующее пространство ′ равно[2 ] · , = −где = (1 + 2−1 ) и exp (2 ) − exp (−2 ). exp (2 ) + exp (−2 )Теперь мы можем описать те одномерные пары Шура (′ , ′ ) (над полем ), которые индуцированы двумерными парами Шура (, ) (над полем ).
Легко видеть, чтонеобходимые и достаточные условия для описания таких пар следующие: все элементыиз допустимого базиса в ′ должны принадлежать [1 ]((2−1 )) и удовлетворять условию(1 ). Так как ⊂ ′ и все элементы из удовлетворяют условию (1 ), достаточно проверить это свойство только для первых двух элементов из допустимого базиса в ′ . Этиэлементы равны0 = |=0 ,1 = 2 + 2 ()|=0 2−1 − (|=0 )2 2−1 .Значит, должны выполняться равенства−−1= (1 ),+1− 24= (1 ),( + 1)2где , — многочлены от 1 с коэффициентами в степени не выше чем 1 и 2 соответственно.
Следовательно, из первого уравнения получаем=−∈ (1 ),+а второе уравнение выполняется для любого такого и для любого такого . Те же формулы показывают (в силу теоремы 39), что для всех −1 ̸= ∈ * пучок (ℱ) (которыйопределется по пространству ⊕+1 / ) является линейным расслоением на , соответствующим . Очевидно, (* (P2 )) ≃ * (P1 ). Итак, отображение , упоминавшееся вначале этого примера, действительно сюръективно.С другой стороны, для любого такого можно вычислить операторы из соответствующего кольца операторов. В частности, в нем будет содержаться оператор вида −1 22 =22+ 22 () =2282 .−( exp (2 ) + exp (−2 ))2Последнее слагаемое этого оператора не может быть многочленом от 1 , потому что экспоненциальная функция не может принадлежать алгебраическому расширению поля рациональных функций. Таким образом, по замечанию 20 не существует колец ДО с проективной спектральной поверхностью , кроме кольца операторов с постоянными коэффициентами.Пример 28.
Это другой пример поверхности, дивизора и точки, для которых мы можемпосчитать все возможные геометрические данные ранга один, соответствующие пары Шура и соответствующие алгебры коммутирующих операторов. Отображение будет опятьсюръективно. Но, в отличие от предыдущего примера, для этой поверхности есть многокоммутативных колец ДО.Рассмотрим кольцо = ⟨22 , 23 , 1 ⟩ ⊂ [1 , 2 ]185Легко видеть, что ≃ [ℎ][, ]/( 2 − 3 ) (где 23 ↦→ , 22 ↦→ , 1 ↦→ ℎ) и что = [1 , 2 ],где обозначает нормализацию . Также ясно, что — 1-квазиэллиптическое вполнедопустимое кольцо.Используя похожие рассуждения из предыдущего примера можно показать, что получается из P2 склейкой двух совпадающих прямых (или прямой кратности 2, ср.
раздел5.2.3). Значит, опять 1 (, ) = 0. Снова, как и в предыдущем примере, — конус над , которая на этот раз является каспидальной рациональной кривой рода 1. Тем самым,мы можем использовать в этом случае те же идеи и обозначения.Всякая пара Шура (, ) индуцирует 1-мерную пару Шура (′ , ′ ) над , где′ = ((1 ))⟨22 , 23 ⟩.Для единственного не локально свободного пучка * (P1 ) степени ноль соответствующеепространство ′ равно [2 ].
Это пространство происходит из пространства = [1 , 2 ],и пара (, ) очевидным образом соответствует кольцу дифференциальных операторовс постоянными коэффициентами.Единственный локально свободный пучок степени ноль с ненулевыми когомологиями— это ′ . Для локально свободного пучка ℒ, чей параметр равен ∈ ≃ Pic( ′ ), ̸= 0( = 0 соответствует ′ ) соответствующее пространство ′ равногде = (1 + 2−1 ) и1.= − 2Теперь 0 = |=0 = 1 + (1/)2−1 . Чтобы найти те пары (′ , ′ ), которые индуцируютсяпарами (, ), мы опять приходим к условию 1/ = (1 ) для некоторого линейногомногочлена .
Нетрудно видеть, что для всех таких пространства ′ индуцированы и что отображение сюръективно.Кольца коммутирующих операторов будут содержать два оператора: 1 и[2 ] · ,2 (1 )2.(1 − 2 (1 ))2По замечанию 20 и по предложению 2 такое кольцо является кольцом ДО если и только если (1 ) равно константе. Очевидно, что пучки, соответствующие таким кольцам,являются прообразами пучка * (P1 ).
−1 22 = 22 +Пример 29. Используя идею из доказательства теоремы 37 можно построить примераффинной поверхности, которая не может быть спектральной поверхностью какого-либокольца ДО ранга один со свойством из теоремы 18. Например, рассмотрим кольцо = [1 , 2 , 3 ]/( ),∑︀(6.4)где = 1 2 + 3 + =1 1 , и ∈ [3 ] — произвольные многочлены, и алгебраически замкнуто.Тогда (см. [2, Ch.VII,§3, Ex.5]) — факториальное кольцо, и Spec() — рациональнаяаффинная поверхность. Легко видеть, что не изоморфно кольцу многочленов [, ] дляобщих и что Spec() гладка. Предположим, что существует кольцо ⊂ ранга один,удовлетворяющее свойству из теоремы 18 и такое, что ≃ . Без ограничения общностиможно предполагать, что — 1-квазиэллиптическое вполне допустимое кольцо. Так какранг кольца равен 1, ранг данных тоже равен 1 по классификационной теореме 24. Тогдапучок ℱ когерентен и ранга один в силу предложения 26.
По теореме 35 пучок ℱ КоэноМаколеев. Так как Spec() гладка, ℱ должен быть локально свободным на Spec(). Нотак как факториально, имеем () ≃ Pic() = 0, поэтому ℱ|Spec() ≃ Spec() . Нотогда пространство соответствующей пары Шура должно быть равно пространству .Следовательно, ≃ [−1 , −1 ] (где , — параметры из (10)), противоречие.1866.3Деформации коммутирующих операторовВ этом разделе определяются модифицированные системы Паршина, а в конце раздела приводится пример геометрических данных, построенных по паре Шура, соответ^ , пример модифицированной системы, опрествующие им коммутирующие операторы в деляющей деформации операторов, некоторые ее уравения — аналоги уравнения КдФиз классической теории КП, а также точные решения — аналог рациональных решенийуравнения КдФ (эта система определяет также деформации ряда других «тривиальных»алгебр, а также определяет потоки на пространстве модулей Коэно-Маколеевых пучковранга один с фиксированным полиномом Гильберта на спектральной поверхности такихалгебр).Систему Паршина можно понимать как универсальную систему всех изоспектральных деформаций пар дифференциальных (или пополненных дифференциальных) операторов от двух переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
