Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Операторы и здесь имеют вид = 0 + 1 2−1 + . . . = −1 2 + 0 + 1 2−1 + . . . ,̂︀¯ , а начальные условия 0 , 0 ∈ ((1−1 )) — операторы со старшим коэффигде , ∈ 0 −10циентом 1 и ord1 (00 ) = 1, ord1 (−1) = 0.Отметим, что как было показано в работе [151], нетривиальное решение системы( ) может существовать, лишь если [0 , 0 ] = 0. Поэтому, мы будем предполагать,что 0 , 0 коммутируют. Модифицированные системы удовлетворяют всем основнымсвойствам, полученным в работе [118] для оригинальных систем Паршина.
Далее в этойже работе была доказана теорема о существовании и единственности решений модифицированных систем.Предложение 31 ( [17], предл. 1). Система ( ) с начальным условием 0 = (0 , 0 )эквивалентна следующей модифицированной системе Сато-Вилсона:= −(1 2 −1 )− ( ) ,̂︀ , с начальным условием (0) ∈ (1 + − ).где ∈ Предложение 32. Существует биекция между элементами следующих двух мно-жеств:(( ) ) = { = (, ),̂︀ ( ) | , ∈ удовлетворяет ( )и , не зависят от , > }и̂︀ · ̂︀ ( · ̂︀ ) | (( ) ) = { ∈ удовлетворяет ( )и не зависит от , , > }/(,00 ,00 )Теорема 40. Для любого начального условия (0) ∈ 1 + − существует единственное̂︀ системы ( ) , такое что |=0 = (0).решение = () ∈ Все эти утверждения являются естественными обобщениями соответствующих утверждений классического случая, ср.
[106]. Таким образом, для любого кольца коммутирующих операторов могут быть определены подходящие деформации, которые через классификационную теорему задают потоки на пространствах модулей.191Пример 30. Рассмотрим подпространство = ⟨1 + , − , ≥ 1, 0 ≤ ≤ ⟩ ⊂ [[]](()).Легко проверить, что его кольцо стабилизаторов содержит элементы −2 , −3 , −2 .
Такимобразом, оно строго допустимо. Максимальное кольцо стабилизаторов будет бесконечнопорождено над . Пара Шура (, ) с конечно порожденным кольцом , содержащим элементы выше, соответствует геометрическим данным с особой торической поверхностью.Используя замечание из примера 25, можно показать, что поверхность Spec получается склейкой двух прямых 2A1 на A2 . Кондуктор кольца в нормализации ˜ ≃ [, ℎ]равен (2 ) (в ˜). Таким образом, в обозначениях примера 25 ′ = 2A1 и = A1 . Заметим, что пространство бесконечно порождено над ; следовательно, оно определяет квазикогерентный пучок на проективной поверхности.
Наконец, легко видеть, что Коэно-Маколеево (как кольцо многочленов над [2 , 3 ], которое также Коэно-Маколеево,см. [91, th.33]).Операторы, соответствующие элементам −2 , −2 в кольце коммутирующих операторов, соответстующем (операторы, удовлетворяющие определению квази-эллиптичности,ср. также следствие 9), — это = 22 − 21(: exp(−1 1 ) :),(1 − 2 )2 = 1 2 +1(: exp(−1 1 ) :)1 ,1 − 2где (: exp(−1 1 ) :) = 1−1 1 +21 12 /2!−31 13 /3!+. .
.. Оператор, соответствующий элементу−3 , — это ′ = 23 − 311(: exp(−1 1 ) :)2 − 3(: exp(−1 1 ) :).2(1 − 2 )(1 − 2 )3Таким образом, эти операторы очень похожи на операторы из примера 2. Эта схожестьраспространяется и дальше: система изоспектральных деформаций для этих операторов— модифицированная система Паршина ( ) с , ≥ 0 с начальными условиями, происходящими из операторов , (см.
лемму 48), а потому все операторы этой системы,^+ ().включая решение, будут принадлежать кольцу Первые уравнения соответствующей модифицированной системы Сато-Вилсона преобразуются к системе трех уравнений:131= (1 )2 2 2 − (1 )22 ,14211= −(1 )2 (1 )1 − (1 )2 2 1 ,22(6.10)1= −(1 )21 − (1 )1 2 1 − (1 )2 12 ,3где 1 (1 , 2 , 3 ) = 1 () — первый коэффициент оператора () = 1 + 1 ()2−1 + . .
., и(0) = — сопрягающий оператор: = 0 , = 22 −1 .1Примечательно, что 1 (0) = 1−(: exp(−1 1 ) :) — решение уравнений выше. Это2соответствует следующему факту из одномерной теории КП: функция () = (−1 ) —рациональное решение уравнения КдВ (и эта функция является уполовиненным коэффициентом оператора в примере 2).Замечание 82. Простой анализ уравнений (6.10) показывает, что даже если деформиро-вать коммутативное кольцо дифференциальных операторов в частных производных (чтоозначает, что 1 (0) ∈ [[1 , 2 ]][1 ] = 1 ), изоспектральные деформации не будут диф^ , такференциальными операторами в частных производных, но будут операторами из ^ появляется совершеннокак 1 () ∈/ 1 для общих значений .
Таким образом, кольцо 192естественным образом. Эта ситуация с деформациями похожа на аналогичную ситуацию,возникающую при попытке описания коммутативных колец обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами. В одномерной теории КП, еслимы стартуем с коммутативного кольца обыкновенных дифференциальных операторов сполиномиальными коэффициентами, его изоспектральные деформации (которые связаныс решениями уравнения КП) будут состоять из операторов с неполиномиальными коэффициентами, хотя они и будут оставаться обыкновенными дифференциальными операторами.193Литература1.
Атья M., Макдональд И., Введение в коммутативную алгебру, М.: Мир, 1972.2. Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, М.: Мир, 1971.3. В. М. Бухштабер, С. Ю. Шорина, Коммутирующие дифференциальные многомерныеоператоры третьего порядка, задающие КдФ-иерархию, Успехи матем. наук, vol 58,3, 2003, 187–1884. Гельфанд И.M., Дикий Л.A., Асимптотика резольвенты штурм–лиувиллевскихуравнений и алгебра уравнений Кортевега–де Фриза , УМН, 1975, 30:5(185), 67–100;Дробные степени операторов и гамильтоновы системы, Функц. анализ и его прил.,1976, 10:4, 13–295. П.Г. Гриневич, Рациональные решения уравнений коммутации дифференциальныхоператоров, Функц.
анализ и его прил., 16:1 (1982), 19–24.6. Демидов Е. Е. Иерархия Кадомцева–Петвиашвили и проблема Шоттки, Фундамент.и прикл. матем., 1998, 4:1, 367–460.7. Дринфельд В., О коммутативных подкольцах некоторых некоммутативных колец,Функц. анализ и его прил. 11:1 (1977), 11-14.8. Дринфельд В. Г., Соколов В. В., Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега-де Фриза,Итоги науки и техники, Совр. пробл. математики ВИНИТИ, 1984, т.24, с. 81-180.9. Жеглов А.Б. О структуре двумерных локальных тел, Известия РАН: Сер.
Мат., 1,2001, стр. 25-60.10. А. Б. Жеглов, “ О диких алгебрах с делением над полями степенных рядов ”, Матем.сб., 195:6 (2004), 21 –56.11. А. Б. Жеглов, “ О кольцах коммутирующих дифференциальных операторов ”, Алгебраи Анализ, 25:5 (2013), 86 –145.12. А. Б. Жеглов, Х. Курке, “ Геометрические свойства коммутативных подалгебр дифференциальных операторов в частных производных ”, Матем. Сб., 206:5 (2015), 676 –717.13. А. Б. Жеглов, А. Е. Миронов, “ Модули Бейкера–Ахиезера, пучки Кричевера и коммутативные кольца дифференциальных операторов в частных производных ”, Дальневосточный математический журнал, 12:1 (2012), 20 –34.14.
А. Б. Жеглов, А. Е. Миронов, “ О коммутирующих дифференциальных операторах сполиномиальными коэффициентами, отвечающих спектральным кривым рода один ”,Доклады Академии наук, 91:3 (2015), 281 –282.19415. А. Б. Жеглов, А. Е. Миронов, Б. Т. Сапарбаева, Коммутирующие несамосопряженные дифференциальные операторы с полиномиальными коэффициентами, принят кпечати в Сиб. Мат. Ж., 6 p.;16.
А. Б. Жеглов, Д. В. Осипов, “ О некоторых вопросах, связанных с соответствием Кричевера ”, Матем. заметки, 81:2 (2007), 528 –539.17. А. Б. Жеглов, Д. В. Осипов, “ Высшие иерархии КП и проколотые ленты ”, Современные проблемы математики и механики, 3 - Математика, Издательство Моск. Ун-таМГУ, 2009, 15 –35.18. М. Касивара, П. Шапира, Пучки на многообразиях, Мир, Москва, 1997.19. И.M. Кричевер, Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений,УМН 32, 6 (1977), 183-20820. И.M.
Кричевер, Коммутативные кольца обыкновенных линейных дифференциальныхоператоров, Функц. анализ и его прил., 12:3, 1978, 20–3121. И.М. Кричевер, С.П. Новиков, Голоморфные расслоения над алгебраическими кривымии нелинейные уравнения, УМН, 35:6 (1980), 47–68.22. А. Е. Миронов, Коммутативные кольца дифференциальных операторов, отвечающиемногомерным алгебраическим многообразиям, Сиб.
матем. журнал, 43, 5, 2002, 1102–1114.23. Осипов Д.В., Соответствие Кричевера для алгебраических многообразий, Изв. РАН.Сер. матем., 2001, 65:5, 91–128.24. Паршин А.Н., О кольце формальных псевдодифференциальных операторов, Алгебра.Топология. Дифференциальные уравнения и их приложения, Сборник статей. К 90летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Тр. МИАН, 224,Наука, М., 1999, 291–30525. Паршин А. Н., Соответствие Кричевера для алгебраических поверхностей, Функ.Анал. и Прил., том 35 (2001), 1, стр. 88-90.26.
Прессли Э., Сигал Г., Группы петель, М., Мир, 1990, 456 с.27. Хартсхорн Р., Алгебраическая геометрия, М.: Мир, 1981.28. Arbarello E., De Concini C., Kac V. G., Procesi C., Moduli Spaces of Curves andRepresentation Theory, Comm. Math. Phys., 117 (1988), 1-3629. Artin, M., Mazur, B. Formal groups arising from algebraic varieties, Ann. Sci. Ec. Norm.Super. (4) 10, 87-132 (1977).30. L. Badescu, Projective geometry and formal geometry, Monografie Matematyczne. InstytutMatematyczny PAN (New Series), 65, Birkhauser, Basel, 2002.31. H.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
