Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

А именно: понятие изоспектральных деформаций может бытьопределено аналогично тому, как оно определено в классическом случае (см. напримерраздел 1.2.2 или обзор [108]). Рассмотрим семейство операторов{ (), ∈ },где пространство параметров является областью в C и () = (1 (), 2 ()),˜ := [[1 , 2 ]][]((1−1 ))[2 ], — пара коммутирующих «дифференциальных» операто ∈ ров со старшим коэффициентом 1, зависящих от = (1 , . . . , ) ∈ ⊂ C аналитически.Определение 77. Будем говорить, что { (), ∈ } — семейство изоспектральных де˜ , зависящие от параметраформаций, если существуют операторы 1 (), . .

. , () ∈ ∈ аналитически, такие что система⎧ ()(, ; ) = (, ; )⎪⎪⎨ (, ; ) = ()(, ; )11(6.5)...⎪⎪⎩ (, ; ) = ()(, ; )имеет нетривиальное решение (, ; ) для каждого собственного значения = (1 , 2 ) ∈C2 семейства ().Повторяя рассуждения из работы [108], §4, получаем условия совместности для системы (77):0=( ()(, ; ) − (, ; )) = ( () − [ (), ()])(, ; ),где = (1 , 2 ). Для каждого фиксированного ∈ , собственные функции (, ; )линейно независимы (в том числе топологически) для разных собственных значений ∈ C.Так как () − [ (), ()], = 1, 2 — псевдо-дифференциальные операторы конечногопорядка по 2 , они имеют не более чем счетный (топологический) базис независимыхрешений. Следовательно, из соображений мощности, () = [ (), ()].Аналогично, условие = (6.6)даёт уравнение () − = [ (), ()].(6.7)187Система уравнений (6.6) и (6.7) эквивалентна условию, что уравнение (77) имеет нетривиальное решение для каждого ∈ C2 .

Следовательно, нахождение семейства () изоспектральных деформаций данной пары (0) эквивалентно нахождению решенияуравнения Лакса (6.6) для дифференциальных операторов (), удовлетворяющих (6.7),с начальным условием ()|=0 = (0).Предположим без ограничения общности, что ord2 (1 ) ≥ ord2 (2 ). Пусть− ord2 (1 )(ord1 (1 2и− ord2 (2 )(ord1 (2 2)+ , ord2 (1 )) = (1 , 1 ))+ , ord2 (2 )) = (2 , 2 ).Для каждого псевдодифференциального оператора будем называть такую пару целыхчисел полным порядком.Лемма 48 ( [17], лемма 2).

Предположим, что (1 , 1 ) ̸= (2 /, 2 /), ∈ Z, где =(2 , 2 ). Тогда уравнение (6.6) эквивалентно уравнению() = [ (), ()],где = (1 , 2 ),(6.8)1 = 0 + 1 2−1 + . . . , ∈ [[1 , 2 ]][]((1−1 )), ord1 (0 ) = 1, 0 имеет старший коэффициент 1,2 = −1 2 + 0 + 1 2−1 + . . .

, ∈ [[1 , 2 ]][]((1−1 )), ord1 (−1 ) = 0, −1 имеет старший коэффициент 1.Для удобства читателя приведем здесь доказательство. Рассмотрим /(·(1 ,2 /)) −(1/)1 /(1 ,2 /)2. Пусть полный порядок оператора 1′ равеноператор 1′ := 1 2(, 0), ∈ Z.Если = 0, это означает, что 1 2 /( · (1 , 2 /)) = 2 1 /( · (1 , 2 /)), откудаследует, что 2 / делится на 2 /( · (1 , 2 /)), и 1 делится на 1 /(1 , 2 /). Так как(2 /, 2 /) = 1, то, следовательно, (1 , 2 /) = 2 / и (1 , 1 ) = 1 /2 (2 /, 2 /), противоречие.Таким образом, ̸= 0, и мы положим 1 := 1′ 1/ . Так как 1 , 2 — операторы со2 1/2старшим коэффициентом 1, такой корень существует. Тогда 2 := (2 −.

Очевидно,1 )уравнение (6.8) влечет уравнение (6.6). Докажем обратное.Так как и [ (), .] — дифференцирования, имеемДоказательство−1∑︁0=(− [ (), .])2 () =2 ()/ ( 2 ()1/ − [ (), 2 ()1/ ])2 ()(−1−)/=0Так как 2 ()1/ — оператор со старшим коэффициентом 1, последнее уравнение влечет, что ()1/ − [ (), 2 ()1/ ] = 0. Следовательно, уравнение (6.6) эквивалентно уравнению 22 ()1/ = [ (), 2 ()1/ ],1 () = [ (), 1 ()]Продолжая в том же духе, получаем эквивалентность уравнения выше и уравнения (6.8).188В том случае, когда операторы 1 , 2 образуют пару нормализованных квазиэллиптических операторов (т.е. их Γ-порядки равны (0,k) и (1,l)), и → ∞, система из определения оказывается эквивалентной системе уравнений() = [(1 () 2 () )+ , ()], ∈ Z, ∈ Z+ ,где () = (1 (), 2 ()),1 = 1 + 1 2−1 + .

. . ,2 = 2 + 1 2−1 + . . . .В этом случае из уравнения (6.8) мы также получаемord2 ([ (), 1 ()]) < 0,ord2 ([ (), 2 ()]) < 0.(6.9)Лемма 49 ( [17], лемма 3). Пусть = (1 , 2 ), 1 , 2 ∈ [[1 , 2 ]]((1−1 ))((2−1 )) —произвольные операторы со старшим коэффициентом 1 и такие, что ord2 (1 ) = 0,ord2 (2 ) = 1, ord1 (1+ ) = 1, ord1 ((2 2−1 )+ ) = 0.

Тогда˜ ord2 ([ (), 1 ()]) < 0, = { ∈ |ord2 ([ (), 2 ()]) < 0}совпадает с C-линейным пространством (топологически) порожденным операторами(1 2 )+ , ∈ Z, ∈ Z+ .Отсюда мы получаем, что уравнение() = [(1 () 2 () )+ , ()], ∈ Z, ∈ Z+влечет уравнение (6.7). Таким образом, это — универсальное уравнение для всех возможных изоспектральных деформаций пары "дифференциальных"операторов, удовлетворяющих условию леммы 48 и предположениям перед леммой 49.

Более подробно, см. [151],§6.˜ появилось в работе [24], и является "максимально"возможным.Замечание 81. Кольцо В той же работе А.Н.Паршин заметил, что возможны другие разложения кольца в прямую сумму + и − (ср. раздел 3.1.3). Необходимо отметить, что другие разложения˜ можно заменить на кольцо ⊂ ^+действительно имеют смысл, и, например, кольцо (обозначение из главы 3) или какое-лиюо другое (в зависимости от разложения). В зависимости от выбора мы будем получать в итоге динамические системы на пространствемодулей Коэно-Маколеевых пучков с фиксированным полиномом Гильберта на спектральной поверхности (как в замечании 79) или пространстве модулей пучков без кручения(скажем, на схеме Пикара) на риббоне (см.

дискуссию ниже).Отметим, что были попытки исследования систем Паршина другими авторами, см.например [120]. В работах [123], [124], [125] были даже приведены формулы для тауфункции, подобные формуле 1.41. К сожалению, эти работы содержат ошибки, неочевидные для исправления.Система уравнений для изоспектральных деформаций может быть модифицированамногообразными способами, причем для операторов не только со скалярными коэффициентами, но с коэффициентами из достаточно общего ассоциативного кольца.

Объяснимэто более подробно.Рассмотрим ассоциативную алгебру с единицей над полем характеристики 0 ис двумя дифференцированиями (1 , 2 ), такими что 1 2 = 2 1 и (1 ) ∩ (2 ) = .Определим кольцо : = ((1−1 ))((2−1 )).189Будем предполагать, что следующие последовательности точны:1 −→ −→ 0,2 −→ −→ 0,1ker 2 −→ker 2 −→ 0.2Легко видеть, что тогда также точна последовательность ker 1 −→ker 1 −→ 0.Рассмотрим кольцо := [.

. . , , . . .] многочленов от бесконечного числа переменных , ∈ Z, ∈ Z+ с коэффициентами из кольца . Мы определяем, что переменныекоммутируют друг с другом и с элементами кольца . Определим псевдонормирование этого кольца : ∖{0} −→ Z ⊕ Z+по правилу (, ) = (−, ), () = 0 для ∈ . Определим также псевдонормирование2 : ∖{0} −→ Z+ как 2 ( ) = , () = 0 для ∈ . Мы считаем, что (1 , 1 ) > (, )если 1 > или 1 = и 1 > .Введем групповую топологию на , где мы рассматриваем как абелеву группу.А именно, определим базу окрестностей нуля, состоящую из множеств следующего типа∑︁ := { ∈ с 2 ( ) = и ( ) ≥ (, ), если < },≥0где ∈ Z, ∈ Z+ и — сумма мономов с одинаковыми значениями нормирования 2 .¯ := ^ топологической группы , состоящее из фундаментальныхПополнение последовательностей относительно этой топологии, имеет структуру ассоциативной алгебры с покомпонентным сложением и умножением фундаментальных последовательностей.

Каждый элемент этой алгебры можно представлять в виде ряда, чьи слагаемыеявляются мономами, принадлежащими , причем любая окрестность нуля в содержитпочти все слагаемые этого ряда. Нормирование (и 2 ) может быть однозначно продол¯ по правилужено на кольцо ∑︁( ) = min{( )},¯ обычнымгде { } ∈ — мономы. Продолжим дифференцирования 1 , 2 на кольцо способом, полагая ∈ ker 1 ∩ ker 2 .

Определим теперь кольца¯ 1−1 )),¯ := (( := ¯ ((2−1 )).Для кольца определено разложение на плюс и минус части: = ,+ ⊕ ,− , где,+ = ¯ [2 ], ,− = ¯ [[2−1 ]]2 . Для кольца ¯ разложение определяется аналогичноотносительно 1 .¯ на ¯ по правилу 2 (∑︀ ) = min{2 ( )}. НепоПродолжим нормирование 2 с 1средственно проверяется, что это определение корректно.Определим∑︁̂︀¯ := { =¯ и ∀ ∈ Z и ∈ Z+ 1 | ∈ ∈Zсуществует лишь конечное число с < таких, что 2 ( ) = }̂︀¯ аналогично тому, как это было сделано дляПродолжим нормирование 2 с ¯ на кольца ¯ .Определим∑︁̂︀ := { =̂︀¯ и существует ∈ R+ | ∈ 2∈Zи ∈ Z+ , такие что 2 ( ) > для всех > },190̂︀ := {1 + ̂︀,− }.Определим группу Рассмотрим теперь следующие модифицированные системы КП:= ,где( ) = ([( )+ , ], [( )+ , ])если = (, ) и ≥ 0, ≤ (), ∈ Z, и — любая функция : Z+ → R, такая что(0) ≤ 0.

Характеристики

Список файлов диссертации