Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 42
Текст из файла (страница 42)
подалгебры в }168{Пары (, ⋂︀) в [[]](())}{Пары (A, W) в (())(())}↘↗↖↘←→←→{Геом. данные⋂︀ (, , ℱ)}{Геом. данные с риббонами}Теорема 36. Пусть (, ) — пара Шура, соответствующая геометрическим данным(, , ℱ), где — Коэно-Маколеева поверхность, а ℱ — когерентный пучок ранга 1.Пусть (A, W) — пара, соответствующая данным на риббоне, построенным по данным(, , ℱ). Тогда∙ = A ∩ [[]](()), = W ∩ [[]](()).∙ ℋ (W) ≃ (, ℱ), = 0, 1, 2; 1 (, ℱ) = 2 (, ℱ) = 0,(, ℱ( ′ )) =( + 1)( + 2).2В частности, геометрические данные (, , ℱ) однозначно восстанавливаются посоответствующим им данным на риббоне.Для доказательства теоремы докажем сначала несколько необходимых утвержденийо парах (A, W).Три свойства пары (A, W)Первое свойство заключается в следующем.
Пусть пара (A, W) является образомгеометрических данных с риббоном, соответствующих некоторым геометрическим данным ранга один из определения 45 с когерентным пучком ℱ ранга один. Напомним (см.определение 5.2, замечание 74), что для таких пучков без кручения ранга 1 мы определилиотображение (5.2). Тогда (см.
доказательство теоремы 27)A() ≃ образу квинтета (, , ( ′ ), , ) в (())при отображении Кричевера, (5.3)где ′ = — обильный дивизор Картье как и выше (заметим, что ( ′ ) ≃( ( ′ ))), иW( + ) ≃ образу (, , (ℱ ( ′ )), , ) при отображении Кричевера,(5.4)где 0 ≤ < и — некоторая тривиализация пучка (ℱ ( ′ )) в точке на (заметим,что (ℱ ( ′ )) ≃ (ℱ /ℱ−1 )( ′ )). Из одномерной теории КП (см.
(1.36)) имеем 0 (, (ℱ /ℱ−1 )( ′ )) ≃ W( + ) ∩ [[]], 1 (, (ℱ /ℱ−1 )( ′ )) ≃ (())/(W( + ) + [[]])(5.5)Второе свойство заключается в следующем. Предположим, что пара A, W ∈(())(()) происходит из геометрических данных ранга один. Тогда 0 (, ( ′ )) ≃ A · ∩ [[]](()) ∩ (())[[]], 1 (, ( ′ )) ≃A · ∩ ([[]](()) + (())[[]]),A · ∩ [[]](()) + A · ∩ (())[[]](5.6)(5.7)169 2 (, ( ′ )) ≃A·(())(()).+ [[]](()) + (())[[]](5.8)Для доказательства см. замечание 49 и лемму 36 (замечание 49 отсылает к доказательствам в статьях [23, 25], где была дивизором Картье; в общем случае нетрудно усовершенствовать доказательство из этих статей; однако, нам будет нужно это свойство лишьтогда, когда известно, что — дивизор Картье).
В частности, если — дивизор Картье,то () ≃ , , ( ()) ≃ ()(5.9)для любого (ср. замечание 74).Третье свойство заключается в следующем.Если — кольцо Коэно-Маколея, то = A ∩ [[]](()),(5.10)где , — подпространства в [[]](()), строящиеся по геометрическим данным как вглаве 3. Аналогичное свойство для пространства : = W ∩ [[]](())является одним из утверждений теоремы 36.Свойство 5.10 следует из такого предложения:Предложение 29. Если , ′ ∈ , и поверхности , ′ Коэно-Маколеевы, и данные(, , , , ), ( ′ , ′ , ′ , ′ , ′ ), построенные с помощью отображения Φ (см. раздел 4.1.4для обозначений) из и ′ , изоморфны, то изоморфна ′ .Идея доказательства состоит в том, чтобы применить рассужденияиз [23, th.5,6] к данным (, , ˜ , ), ( ′ , ′ ′ , ˜ ′ , ′ ), где , ′ ′ — обильные дивизоры Картье, и ˜ , ˜ ′ — обильные дивизоры Картье на , ′ ′ , индуцированные дивизорами Картье , ′ на , ′ и локальными параметрами , ′ (ср.
лемму 34). Таккак данные с риббонами изоморфны, их образы при обобщенном отображении Кричеверасовпадают (см. теорему 27). В этой ситуации алгебры (0) ( ), (0) ( ′ ) совпадают (см.доказательство теоремы [23, th.6]), следовательно, поверхности , ′ , определенные поэтим алгебрам, будут изоморфны.ДоказательствоЗамечание 78. Как следует из [23, th.5,6], (0) ( ) = A ∩ [[]](()). Отсюда получаетсяравенство (5.10).теоремы. Первая часть первого пункта была доказана в замечании.Докажем вторую часть. По определению пучка ℱ , по замечанию 74 и по лемме 45 имеемДоказательство 0 (, ℱ( ′ )) ≃ ,+ /+−1 ≃ 0 (, (ℱ ) ⊗ ( ′ )| )(5.11)для всех ≥ 0. В силу (1.36) и (5.4) имеем 0 (, (ℱ ) ⊗ ( ′ )| ) ≃ W( + ) ∩ [[]].Отсюда и из (5.11) следует, что = W ∩ [[]](()).Утверждение про эйлерову характеристику пучка следует опять из определения.Изоморфизм нулевых когомологий следует из определений пучка (ср.
лемму 45) и картинных когомологий. Докажем, что остальные когомологии (как картинные, так и обычные)равны нулю.Из утверждения об эйлеровой характеристике пучка ℱ и из (5.11) следует ℎ1 (, ℱ)−2ℎ (, ℱ) = 0.170Для каждого ≥ 0 по свойству (1.37) существует открытое подмножество в ,такое что 0 (, (ℱ ) ⊗ ( ′ )| ⊗ (−( + + 1) )) = 1 (, (ℱ ) ⊗ ( ′ )| ⊗ (−( + + 1) )) = 0 (5.12)для любой точки ∈ .
В частности, отсюда следует, что ℎ1 (, (ℱ )⊗ ( ′ )| ) = 0для любого 0 ≤ < и ≥ 0.Напомним, что имеются точные последовательности0 → ℱ → ℱ+1 → (ℱ+1 ) → 0для любого 0 ≤ . Тогда из длинной точной последовательности когомологий и из (5.11)получаем 1 (, ℱ ) ≃ 1 (, ℱ+1 ) для любого ≥ 0. Значит, все эти группы равны нулю,так как 1 (, ℱ+ ) = 1 (, ℱ ( ′ )) = 0 для всех ≫ 0.
Следовательно, 2 (, ℱ) = 0(а потому и 1 (, ℱ) = 0). Из пункта ii) получаем (так как Supp = ⟨ , + ≤ 0, ≥0, ≤ 0⟩)W ∩ ([[]](()) + (())[[]]) ⊂ W ∩ [[]](()) + W ∩ (())[[]],откудаℋ1 (W) =W ∩ ([[]](()) + (())[[]])= 0.W ∩ [[]](()) + W ∩ (())[[]]В силу (1.36) и (5.4) имеем0 = 1 (, (ℱ ) ⊗ ( ′ )| ) ≃(())W + [[]]для всех ≥ 0. Следовательно,ℋ2 (W) =5.3.4(())(())= 0.W + [[]](()) + (())[[]]Необходимые условия на геометрические спектральные данныеТеперь мы можем сформулировать дальнейшие необходимые условия.Следствие 23. Пусть (, , ℱ) — геометрические данные, соответствующие максимальному коммутативному кольцу дифференциальных операторов ⊂ ранга 1.Тогда∙ — Коэно-Маколеева поверхность,∙ — обильная рациональная кривая (Q-Картье дивизор) с ( 2 ) = 1,∙ ℱ — Коэно-Маколеев пучок c(, ℱ( ′ )) =( + 1)( + 2),2 0 (, (ℱ )(−( + 1) )) = 1 (, (ℱ )(−( + 1) )) = 0,где 0 ≤ < , и ℱ| ≃ * (P1 ), где : P1 → — морфизм нормализации.
Крометого, такой пучок не является прямым образом пучка с аналогичными свойствамина конечном накрытии .171Первые два свойства следуют из теорем 33 и 18. Утверждение проКоэно-Маколеевость пучка ℱ и его полином Гильберта были доказаны в теореме 36.˜ )) (см.Утверждение про когомологии следует из (1.36) и (5.4). Далее, ℱ| ≃ Proj((˜лемму 45 и свойства пучков в разделе 5.3.2). Но ( ) ≃ /−1 для всех больших (см. предложение 26 и доказательство теоремы 18), аДоказательство() ⊂ /−1 ≃ [1 , . .
. ]˜ )) ≃ * ( 1 ).(см. (2.4)). Поэтому Proj((PНаконец, если спектральный пучок является прямым образом пучка с аналогичнымисвойствами, то это означает, в переводе на язык пар Шура, что исходная пара Шура,соответствующая кольцу , не максимальна, т.е. для пространства существует большийстабилизатор, что означает, по теореме 21 и предложению 2, что кольцо не максимально,противоречие.Ответ на вопрос о том как строить геометрические данные, дается следующей теоремой.Предложение 30.
Пусть ℱ — когерентный пучок без кручения ранга один на проек-тивной поверхности , определенной над несчетным алгебраически замкнутым полем . Предположим, что существует обильный неприводимый Q-Картье дивизор ⊂ ,не содержащийся в сингулярном локусе и такой что 2 = 1. Пусть ′ = — оченьобильный дивизор Картье. Предположим, что выполняются следующие условия (см. замечание 73, определение 5.2):(, ℱ( ′ )) =( + 1)( + 2),2 0 (, (ℱ )(−( + 1))) = 1 (, (ℱ )(−( + 1))) = 0для гладкой точки ∈ , ≥ 0, где 0 ≤ < . Тогдаi) существует точка ∈ регулярная в и в , такая что условия из пункта6 определения 45 выполняются для некоторой тривиализации ^ : ℱ^ ≃ [[, ]], т.е.гомоморфизмы 0 (, ℱ( ′ )) → [[, ]]/(, )+1являются изоморфизмами для всех ≥ 0;2ii) пучок ℱ коэно-маколеев на .Доказательство i) Для любого пучка ℱ и > 0 имеются короткие точные последова-тельности0 → (ℱ ) → (ℱ ) ⊗ ( ′ )| → (ℱ ) ⊗ ( ( ′ )| / ) → 0,так как ( ′ )| — обратимый пучок.
Отсюда 1 (, (ℱ ) ⊗ ( ′ )| ) = 0 длявсех ≥ 0. Так как 2 = 1 (т.е. deg( ( ′ )| ) = ), то по асимптотической теоремеРимана-Роха имеем((ℱ ) ⊗ ( ′ )| ) = ℎ0 (, (ℱ ) ⊗ ( ′ )| ) = + + 1.(5.13)Для читателя, предпочитающего альтернативное определение геометрических данных, этот пунктможно переформулировать так: существует морфизм : → с () = ∈ ∖( ∪ ) и −1 () =^, , / ≃ ^, ), такой что для некоторого выбора порождающей , -модуля1 (т.е.
= [[, ]] ≃ ℱ вложение ℱ ˓→ * (соответствующее изоморфизму ( * ℱ) = ⊗ℱ ≃ ℱ^ ) удовлетворяетусловию 3 определения, т.е. отображения 0 (, ℱ( ′ )) → · − /ℳ+1 · − — изоморфизмы.2,172Для каждого ≥ 0 по свойству (1.37) существует открытое подмножество в , такоечто 0 (, (ℱ ) ⊗ ( ′ )| ⊗ (−( + + 1) )) = 1 (, (ℱ ) ⊗ ( ′ )| ⊗ (−( + + 1) )) = 0 (5.14)для любой точки ∈ . Следовательно, так как основное поле несчетно, существуетточка ∈ ∩∞=0 , регулярная в и в , такая что эти свойства выполняются для всех ≥ 0 и 0 ≤ < .Так как для любого ≥ 0 по лемме 45 имеются вложения+ /+−1 ≃ 0 (, ℱ ( ′ ))/ 0 (, ℱ−1 ( ′ ))˓→ 0 (, (ℱ ) ⊗ ( ′ )| ),и 1 ( 0 (, ℱ( ′ ))) ⊂ по определению, мы получаем, что для всех ≫ 0ℎ0 (, ℱ( ′ )) = (ℱ( ′ )) =−1 ∑︁−1∑︁( + 1)( + 2)≤ dim ( ) ≤2ℎ0 (, (ℱ ) ⊗ ( ′ )| ) + ℎ0 (, (ℱ ) ⊗ ( ′ )| ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
