Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Те же аргументы, что и в доказательстве леммы 26 показывают, что 0 ( (), () ( ′ )) ≃ () .Рассмотрим подпространство ′ в [[]](()), порожденное над (). Так как — конечно порожденный -модуль, пространство ′ порождено конечным числом элементов 1 , . . . над () (эти элементы также порождают над ). В силу теоремы32 градуированные кольца gr( ()) и gr() эквивалентны, поэтому ′ порождено как -подпространство пространством и конечным числом элементов , где = 1, .
. . , — базис конечно порожденного подпространства () для некоторого фиксированного .Пусть — оператор (см. теорему 20), такой что 0 = 1−1 ( ) (см. следствие 21).Тогда = 1−1 () −1 ⊂ согласно нашим предположениям, откуда ∈ (см. доказательство теоремы 21 и леммы 17). Обозначим через 0′ пространство 1−1 ( ′ ) −1 . Какпоказывают рассуждения выше, 0′ порождено 0 и конечным числом элементов −1как -пространство. Заметим, что 0′ ⊂ 0′ и 0′ ′ ⊂ 0′ , где ′ = 1−1 ( ()) −1 .Теперь можно рассуждать как в доказательстве предложения 3 чтобы показать, что′ ⊂ .
Так как ∈ , имеем ′ ∈ . Пусть ∈ ′ , ∈/ . Тогда − = − + ̸= 0. В этомслучае имеем0 ̸= − ord1 ,2 (− ) − = ord1 ,2 (− ) (− )(0) ∈/ 0Доказательствои − ord1 ,2 (− ) + ∈ 0 . Так как 0′ порождено 0 и конечным числом элементов непринадлежащих 0 , и так как ∈ , то для некоторого ≫ 0 имеем − ord1 ,2 (− )−(,0) − ∈/0′ . Действительно, пусть — коэффициент ряда − , такой что ord1 ,2 (− ) ( )(0) ̸= 0.Пусть +1, , . . .
+, ̸= 0 — ненулевые коэффициенты ряда − с фиксированным , т.e.+, = 0 для всех > . Тогда для каждого ≫ 0 условие − ord1 ,2 (− )−(,0) − ∈ 0′влечет уравнение ord1 ,2 (− ) (, )(0) + ord1 ,2 (− )+(1,0) (+1, )(0) + 2 ord1 ,2 (− )+(2,0) (+2, )(0) + . . .+ ord1 ,2 (− )+(,0) (+, )(0) = 0. (5.1)Таким образом, для = , . . . , + + 1 (при ≫ 0) должна выполняться системалинейных уравнений = 0, = (0 , . . . , ), где = ord1 ,2 (− )+(,0) (+, )(0), = 0, .
. . ,и⎛⎞11 . . . ⎜ 1 1⎟+1 . . . +1 ⎟⎜ = ⎜ ...... ⎟..⎝ .... ⎠11 +. . . +Так как обратима, имеем = 0, а значит, противоречие с условием ord1 ,2 (− ) ( )(0) ̸=0. Таким образом, если сохраняет 0′ , то должен быть в . Следовательно, ′ ⊂157 и ′ сохраняет 0 . Тогда () сохраняет , следовательно, ( (), ) — параШура ранга (все свойства из определения 42, пункт 2 для кольца () выполняются,поскольку () ⊃ — конечный -модуль).5.2.3Конструкция склейкиВ этом разделе мы напоминаем конструкцию склейки замкнутых подсхем. Оказывается, что всякая Коэно-Маколеева спектральная поверхность получается при помощиэтой конструкции из своей нормализации.Как в рамках одномерной теории КП можно получать интересные решения уравнения КП из алгебраических кривых со склееныыми точками (например, чтобы получитькаспидальные или нодальные кривые с нетривиальными якобианом и компактифицированным якобианом, см.
[110, 136]), мы надеемся, что похожая конструкция для поверхностей, примененная к P2 , или к рациональным или иным поверхностям позволит строитьпримеры геометрических спектральных данных. Эта надежда подтверждается тем фактом, что практически все известные примеры коммутирующих колец ДО (от двух переменных) имеют такие склеенные поверхности в качестве спектральных многообразий, см.примеры ниже.˜ , одномерРассмотрим следующую проблему: по данной проективной поверхности ной замкнутой подсхеме и конечному сюръективному морфизму : → на кривую ,˜ → , таким что ( ) = построить поверхность с кривой ⊂ и морфизмом : ˜(и | равен данному морфизму ) и : ∖≃ ∖ — изоморфизм.В работе [71] дается общая конструкция склейки замкнутых подсхем. Она пригоднадля многих схем с небольшими ограничениями, и эта конструкция является естественнымобобщением конструкции для кривых из книги [138]:Теорема 34.
( [71, th.5.4]) Пусть ′ — схема, ′ — замкнутая подсхема в ′ , и : ′ → — конечный морфизм. Рассмотрим окольцованное пространство = ′ ⊔ ′ (амальгаму) и кодекартов квадрат′wu′wuПредположим, что схемы ′ и обладают следующим свойством:( ) Любые конечные множества точек содержатся в открытом аффинном множестве.Тогда:a)b)c)d) — схема, обладающая свойством ( );квадрат выше декартов;морфизм конечный, и — замкнутое вложение; индуцирует изоморфизм ′ − ′ на − .Часто схемы после процедуры склейки подсхем являются собственными, но не проективными (см.
[71, § 6] и также [71, prop. 5.6]). Ниже мы перепишем конструкцию из [71] дляповерхностей с некоторыми дополнительными условиями другим, хотя и эквивалентнымспособом.Нам понадобятся некоторые дополнительные предположения. Идея состоит в том,чтобы построить сначала как топологическое пространство, взяв фактор-пространство158относительно отношения эквивалентности △ ∪ ( × )−1 (Γ ) в × (здесь Γ ⊂ × ˜ → , но не— график ). Тогда имеется топологическое отображение факторизации очевидно как сделать схемой.˜0 → ,Для этого мы сделаем предположение, что продолжается до морфизма ˜ : ˜0 ⊂ ˜ — открытая (по Зарисскому) окрестность .где ˜0 = ˜ : заменяя ˜ наБез ограничения общности мы можем предположить, что ˜˜ × , мы можем модифицировать ˜ до ˜ → ˜ , так что ˜замыкание графа ˜ в ˜˜ в , эта модификация не затрагивает ˜ 0 и после процедурыпродолжается до морфизма склейки ее можно обратить.Далее, проделав топологическую конструкцию как выше, мы получаем факторизацию подлежащего непрерывного отображения ˜˜˜wuи нужно определить = −1 + * ( ⊂ ˜ — пучок идеалов подсхемы ).Описание аффинного покрытия: для каждой ∈ существует аффинная окрест˜ множества −1 () в ˜ , такие что ˜ ∩ =ность ⊂ и аффинная окрестность ˜−1 ( ) ∩ (сначала возьмем произвольную аффинную окрестность множества −1 (),тогда ∖ замкнуто и = ( ∖ ) замкнуто в и не содержит .
Тогда возьмем ⊂ ∖˜ ∩ ˜−1 ( )). Тогда диаграмма отображений— аффинная окрестность , и = w˜uy˜ ∩ соответствует гомоморфизмам координатных колец˜u˜/uи мы определим = + ⊂ ˜. Нам нужно теперь показать, что — конечно порожденная-алгебра (и Spec() ⊂ как топологическое пространство).˜ — конечно порожденные области над полем размерностиЛемма 43. Пусть ⊂ ˜ конечно. Тогда = + ⊂ ˜Крулля 1 и 2, — идеал в ˜, такой что расширение ⊂ /конечно порождено, и ˜ конечно над .˜ такие чтоДоказательство Мы можем найти 1 , 2 ∈ 1) ˜ конечно над = [1 , 2 ];2) 1 ∈ (см.
[2, ch.V, §3, th.1]).˜ конечно над , то существуют 1 , . . . , ∈ , такие что + 1 2−1 +Так как /2. . . + = ∈ ; следовательно, если 0 = [1 , 1 , . . . , , ], то 0 ⊂ + и ˜ конечнонад 0 (0 ⊂ 0 [2 ] ⊂ ˜), следовательно, = + конечно порождено над .159Таким образом, ˜ — (частичная) нормализация, и — кондуктор из в ˜. Легкопроверить, что˜→1) универсально замкнут;2) отделима:(1)(2)˜ ט˜ ×w w ×uuuy˜△wyΓwy△Так как (1) и (2) — замкнутые отображения, и Γ , △ локально замкнуты, то отображения, — замкнутые вложения.Таким образом, отображение собственно, и — отделимая схема конечного типа˜ собственно над , отсюда следует, чтонад . Так как также конечно, сюръективно и структурное отображение → Spec универсально замкнуто, а потому — собственнаянад схема.Имея теперь такую конструкцию и общую теорему Ферранда 34, мы можем привестинекоторые примеры:˜ = P2 с морфизмом : ˜ − (0 : 0 : 1) → = P1 , ( : : ) =Пример 23.
Рассмотрим ( : ), и две прямые = 2P1 , где P1 = ( : : 0) в P2 . Ясно, что — обильный дивизор˜.Картье на В этом случае определен дивизор Картье ˜ на склеенной поверхности , заданныйтеми же уравнениями в индуцированном локальном покрытии (так что = * ˜ ). Так как — обильный дивизор, и — конечный сюръективный морфизм собственных схем, дивизор ˜ также обилен (см. [27, ex. 5.7., ch. 3]).
Следовательно, проективна, и отображение˜ = 2 . Таким образом, — обильный ”-Картье дивизор на .циклов дает ()Пример 24. Пусть ′ — проективная поверхность над . Пусть ′ =∐︀Spec , где=1каждое — локальная артинова -алгебра, — нульмерная подсхема в ′ . (Например, ′может быть конечным числом замкнутых точек на ′ , или ′ может быть нульмернойподсхемой с носителем в замкнутой точке на ′ .) Пусть = Spec — точка, и : ′ → — конечный морфизм. Тогда схема , построенная как в теореме 34, является собственнойнад (см.
[71, § 6.1]) и также проективной в силу тех же соображений, что и в предыдущемпримере (т.е. по [27, ex. 5.7., ch. 3]).Пример 25. Рассмотрим общую ситуацию. Пусть : ′ → — нормализация алгебра-ического многообразия . Тогда кондуктор ℐ ⊂ , ℐ ⊂ * ′ определяет замкнутыеподсхемы ⊂ и ′ ⊂ ′ с конечным морфизмом ′ → . Тогда (в виду теоремы 34)имеем ≃ ′ ⊔ ′ , поскольку для любой схемы имеются очевидные изоморфизмыHom(, ) ≃ Hom( ′ , ) ×Hom( ′ ,) Hom(, ) через ( : → ) ↦→ (, | ).Это замечание можно применить к серии известных примеров коммутирующих ДО,содержащих оператор Шредингера с потенциалом специального вида.
В этих примерахкоммутативные кольца изоморфны кольцам квазиинвариантов (см. подробности, например, в [69] или [47]), а нормализации последних колец равны C[1 , . . . , ] (более того, ониКоэно-Маколеевы, как показано в [69, th.8]). Таким образом, во всех этих примерах (аффинные) спектральные многообразия представляют собой результат склейки замкнутыхподсхем в A . Отметим, что при > 1 необходимо склеивать подсхемы коразмерности160один в нормальном многообразии, чтобы получить не нормальное Коэно-Маколеево многообразие. Действительно, если мы склеим подсхемы коразмерности больше чем один иполучим Коэно-Маколеево многообразие, оно должно быть нормально по критерию Серра, противоречие.5.3Геометрические свойства спектральных пучковВ этом разделе изучаются свойства спектрального пучка ℱ .5.3.1Когерентность спектрального пучкаПредложение 26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
