Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Отсюда′*** 2 (, ) = 2 (, ) × 2 (, ⊗ ) = 2 (, ) × ( 2 (, ) ⊗ ).Следовательно, имеем̂︁ () = 2 (, ) ⊗ .135Более того, имеется универсальный объект̂︁ , * ∈ Ker ( 2 ( × Br× Br̂︁*) → 2 (, )),который строится следующим образом. Имеем̂︁ , *Ker ( 2 ( × Br× Brгде идеал =∞∏︀̂︁*^ ) = 2 (, ) ⊗ ,) → 2 (, )) = 2 (, 1 + ⊗*^ изоморфен ( 2 (, )). Кроме того, пучок абелевых групп ⊗=1^ посредством экспоненциального отображения.пучку 1 + ⊗Теперь = , где — тождественное отображение изEnd ( 2 (, )) = 2 (, ) ⊗ 2 (, )* .И имеется каноническое вложение -векторных пространств: 2 (, ) ⊗ 2 (, )* ⊂ 2 (, ) ⊗ .Формальная группа Брауэра риббонаВ этом разделе мы используем те же обозначения, что и в разделе 4.2.3.̂︁Определение 70.
Пусть X̊∞ = (, ) — риббон над полем . Определим функтор X̊∞из категории аффинных артиновых локальных -схем с полем вычетов в категориюабелевых групп:̂︁ () def= Ker ( 1 ( , * /*,0 ) −→ 1 (, * /*0 )),X̊∞где ∈ Ob().Ниже, в замечании 60, мы объясним почему мы используем название "формальнаягруппа Брауэра"для рибона.̂︁Предложение 22. Пусть — проективная кривая. Тогда функтор X̊∞ про-̂︁ .представим формальной групповой схемой BrX̊∞Обозначим -векторное пространство = 1 (, /0 ). (Заметим,что по теореме 28, = ℋ2 (A), если A — обобщенное фредгольмово подпространство в(())(()), соответствующее риббону X̊∞ = (, ) с некоторой гладкой точкой риббона ∈ , формальными локальными параметрами , , см.
теорему 27). Заметим, что имеется каноническое равенство: =−lim→ ,Доказательство≥0где = 1 (, − /0 ), ≥ 0. И dim < ∞, так как — проективная кривая, и − /0— когерентные пучки на схеме −1 в силу предложения 7. Следовательно, имеем** =←lim− .≥0 -векторное пространство * обладает естественной линейно компактной топологией, которая задается топологией этого проективного предела, где каждое * имеет дискретнуютопологию, см. [2, ch.III, §2, ex.
15].136Для любого ≥ 0 определимdef*( * ) = ←lim− ( ).≥0Эти пространства также имеют линейно компактную топологию, которая задается проективным пределом. Определим[ , ( * ) def = =∞∏︁( * ).=00По построению, ( * ) = . На -векторном пространстве задана топология произведения. Следовательно, — линейно компактное пространство как произведение линейнокомпактных пространств. Следовательно, хаусдорфово и полно, см. [2, ch.III, §2, ex. 16].Для любых 1 ≥ 0, 2 ≥ 0 имеется каноническое непрерывное билинейное отображениенад :121 +2( * ) × ( * ) −→ ( * ).Следовательно, — топологическая локальная -алгебра (над дискретным полем ). Максимальный идеал в задается какdef =∞∏︁( * ).=1По построению, для любого открытого -подпространства ⊂ существует > 0,такое что ⊃ .
Используя эти свойства топологической -алгебры , получаем, чтокорректно определена следующая формальная схема (см. [62, ch. I, §10]):def̂︁BrX̊∞ = Spf( ).̂︁Более того, BrX̊∞ — формальная группа с групповым законом ↦→ ⊗ 1 + 1 ⊗ ,*1 ∈ = ( * ). ( * топологически порождает -алгебру .)̂︁Теперь нам нужно проверить, что формальная групповая схема BrX̊∞ про̂︁представляет функтор X̊∞ .Для всякой = Spec ∈ Ob(C) имеем = ⊕ , где — максимальный идеал вкольце , dim < ∞ и = 0 для некоторого ≥ 0.
Рассмотрим дискретную топологиюна кольце . Тогда имеем̂︁ ) = Hom−, (, ) = Hom, ( * , ),Hom .ℎ. (, BrX̊∞где Hom, берется в категории топологических -векторных пространств. Так какdim ( ) < ∞, ≥ 0, имеемHom, ( * , ) = .(4.25)(Заметим также, что * = Hom, (, ), где имеет дискретную топологию.) Так какdim < ∞ и имеет дискретную топологию, получаем следующую формулу из формулы(4.25):Hom, ( * , ) = ⊗ .Следовательно,̂︁ ) = ⊗ .Hom .ℎ. (, BrX̊∞(4.26)С другой стороны, имеется следующая расщепляющаяся точная последовательность:1 → 1 + ⊗ /0 → * /*,0 → * /*0 → 0,137которая является фактором точной последовательности1 → 1 + ⊗ → * → * → 0(4.27)по следующей точной последовательности1 → 1 + ⊗ 0 → *,0 → *0 → 0.(4.28)Пучок абелевых групп ⊗ /0 изоморфен пучку 1 + ⊗ /0 посредством экспоненциального отображения.
Следовательно, имеем̂︁ () = 1 (, 1 + ⊗ /0 ) ≃ 1 (, ⊗ /0 ) = ⊗ 1 ( ⊗ /0 ).X̊∞̂︁ ).̂︁ () = Hom .ℎ. (, BrТаким образом, X̊∞X̊∞Замечание 59. Пусть — произвольная коммутативная -алгебра. Тогда имеется аналогформулы (4.26):̂︁ ) = ⊗ ,Hom .ℎ.
(Spec , BrX̊∞где — нильрадикал кольца . Действительно, следуя доказательству формулы (4.26),видно, что достаточно доказать следующую формулуHom, ( * , ) = ⊗ ,(4.29)где имеет дискретную топологию. Но * является линейно компактным -векторнымпространством. Следовательно, для всякого ∈ Hom, ( * , ) мы имеем, что ( * ) —линейно компактное -векторное подпространство в дискретном -векторном пространстве . Отсюда dim ( * ) < ∞. Теперь, используя формулу (4.25), получаем формулу(4.29).Замечание 60.
По замечанию 49 и теореме 28 получаем, что если риббон X̊∞ = (, )происходит из алгебраической проективной Коэно-Маколеевой поверхности и обильногодивизора Картье на , то 2 (, ) = 1 (, /0 ). Следовательно, мы имеем̂︁ = Spf ̂︁ .[ ( 2 (, )* ) = BrBrX̊∞Формальная группа Пикара риббонаОпределение 71. Пусть X̊∞ = (, ) — риббон над полем . Формальная группа Пикара̂︁риббона PicX̊∞ — контравариантный функтор из категории в категорию абелевых групп:def̂︂X̊∞ () = Ker ( 1 ( , * ) −→ 1 (, * )),где ∈ Ob().Аналогично,def̂︂∞ () = Ker ( 1 ( , *,0 ) −→ 1 (, *0 )).Пусть = Spec ∈ Ob(C), где = ⊕ , — максимальный идеал кольца ,dim < ∞, и = 0 для некоторого ≥ 0.Из расщепления точных последовательностей (4.27), (4.28), используя экспоненциальное и логарифмическое отображения, получаем̂︂X̊∞ () = ⊗ 1 (, ),̂︂∞ () = ⊗ 1 (, 0 ).138Таким образом, если мы определим контравариантный функтор из C в категорию абелевых групп по правилуdefгде () = ⊗ ,def = 0 (, /0 ) 0 (,) 0 (,0 ),мы получим следующую точную последовательность групп, которая функториальна на C(ср.
с последовательностью (4.24)):̂︂̂︂̂︁ () −→ 00 −→ () −→ ∞ () −→ X̊∞ () −→ X̊∞(4.30)Определим другой функтор из C в категорию абелевых групп по правилуdef () = ⊗ 1 (, 0 ).̂︂(Если = 0, то = ∞ .) Тогда из последовательности (4.30) мы получим другуюточную последовательность:̂︂̂︁ () −→ 00 −→ () −→ X̊∞ () −→ X̊∞(4.31)Предложение 23. Пусть — проективная кривая.
Тогда1. Существует неканоническое функториальное (по ) расщепление последовательности (4.31).2. Если dim < ∞, то функтор про-представим формальной групповой схемойPic.Замечание 61. Условие dim < ∞ этого предложения выполняется, например, еслириббон происходит из алгебраической проективной поверхности как в замечании 58, таккак в этом случае = 1 (, ). Другой пример — риббон, происходящий из пары Шура(A, W) как в теореме 27, где A выбрано таким образом, что dim ℋ1 () < ∞. Благодарялемме 36 можно легко построить множество примеров таких пространств.Доказательство Первое утверждение очевидно, поскольку мы можем фиксировать лю-бое -линейное сечение отображения 1 (, ) → 1 (, /0 ), и затем продолжить егодля любой в (4.31) с помощью тензорного произведения с тождественным отображениемна над .Доказательство второго утверждения похоже на доказательство предложения 22.
А1именно, пусть dim < ∞. Имеем 1 (, 0 ) = ←lim− (, 0 / ) по следствию 12, и>0dim 1 (, 0 / ) < ∞. Гомоморфизм : → 1 (, 0 ) дает систему согласованныхгомоморфизмов : → 1 (, 0 / ). Обозначим через ядро , и через — коядро . Тогда мы получим точную последовательность проективных систем -векторныхпространств:0 −→ ( ) −→ ( ) −→ 1 (, 0 / ) −→ ( ) −→ 0,где = для всех . Так как dim < ∞ для всех , системы ( ), ( ) удовлетворяютМЛ-условию.
Тогда по лемме 31 получаем, что 1 (, 0 )/ ≃ lim←− ,∈Nгде dim < ∞ для всех . Обозначим через -векторное пространство 1 (, 0 )/ .139**Имеем := Hom, (, ) = −lim→ — -векторное пространство с дискретнойтопологией. Теперь определим*[ ( := )=∞∏︁* ().=0 — топологическая локальная -алгебра с максимальным идеалом =∞∏︀* (). То-=1пология на — линейная топология произведения. Ясно, что — максимальный идеалопределения, и что — допустимое кольцо (и более того, -адическое) в смысле [62, 0.7.1].Следовательно, мы можем определитьdefPic = Spf( ).Снова, как в предложении 22, Pic — формальная группа с групповым законом ↦−→*.
⊗ 1 + 1 ⊗ , ∈ Для любой = Spec ∈ Ob(C) теперь имеем*Hom .ℎ. (, Pic) = Hom−, (, ) = Hom, (, ) = ⊗ = ().Предложение доказано.̂︂Следствие 19. Пусть — проективная кривая, dim < ∞. Тогда функтор X̊∞̂︁ . Такие разпро-представим (неканонически) формальной групповой схемой Pic × BrX̊∞ложения находятся во взаимно-однозначном соответствии с функториальным (по )расщеплением последовательности (4.31).4.2.4Теорема об обращении в нольВ этом разделе доказывается теорема об обращении в ноль, необходимая для теоремпредставимости в следующих разделах.Теорема 29. Пусть : → — собственный морфизм схем, слои которого неприво-димы. Тогда 1 * Z = 0.Доказательство Предположим, что пучок 1 * Z ̸= 0. Тогда существует точка ∈ ,такая что росток (1 * Z) ̸= 0.
По определению,1−1ˇ1(1 * Z) = −lim→ ( , Z) = lim−→ lim−→ ({ }∈ , Z), { }∈где пробегает все открытые окрестности⋃︀точки , т.e, ⊃ ⊃ , и { }∈ пробегает все открытые покрытия −1 ( ), т.e., = −1 ( ). Следовательно, существует∈фиксированное открытое , фиксированное покрытие { }∈ и фиксированный элемент ∈ ˇ 1 ({ }∈ , Z), такой что образ этого элемента в группе (1 * Z) не равен нулю.Определим множество0 = { ∈ | ∩ −1 () ̸= ∅}.Тогда⋃︀∈0−1 ⊃ −1 ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
