Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Определим замкнутое подмножество = ∖⋃︀∈0 . Тогда имеем ∩ () = ∅. Так как — собственный морфизм, ( ) — замкнутое подмножество в ,и∈/ ( ).140Получаем, что множество = ∩( ∖( )) — открытая окрестность точки . Имеемdef ∈ ⊂ . Далее, множество { = ∩ −1 ( )}∈0 является открытым покрытиеммножества −1 ( ). Действительно, ⋃︀пусть точка ∈ −1 ( ), и предположим, что ∈/ для любого ∈ 0 .
Тогда ∈ ∖ = . Следовательно, () ∈ ( ) ∩ = ( ) ∩∈0( ∩ ( ∖ ( ))) = ∅, противоречие.⋂︀⋂︀Но для любого подмножества ∈ 0 мы имеем теперь ̸= ∅, поскольку ∩∈∈ˇ 1 ({ }∈0 , Z) = 0. Покрытие −1 () ̸= ∅, так как −1 () неприводима. Следовательно, { }∈0 — утончение покрытия { ∩ −1 ( )}∈ . Следовательно, образ элемента ∈ˇ 1 ({ }∈0 , Z), и следовательно в группе (1 * Z) , равен нулю.ˇ 1 ({ }∈ , Z) в группе Противоречие.4.2.5Представимость функтора Pic∞Пусть X̊∞ = (, ) — риббон над полем . Тогда определено локально окольцованноепространство ∞ = (, 0 ).Определение 72.
Обозначим через Pic∞ пучок на большом сайте Зарисского схемыSpec , ассоциированный с предпучком ↦→ ∞ () (Другими словами, для любой нетеровой схемы над мы рассматриваем все схемно-теоретические открытые аффинныепокрытия , и берем пучок, ассоциированный с предпучком ′ ↦→ ∞ ( ′ ) относительноэтих покрытий.).Замечание 62. Из определений 72 и 68 нетрудно видеть, что для любой нетеровой схемыPic∞ () = 0 (, 1 * *,0 ),где : × → — морфизм проекции.Замечание 63.
Если кривая собственна над , то локально окольцованное простран-ство ∞ = (, 0 ) является слабо нетеровой формальной схемой в смысле работы [89].В этом случае для поля произвольной характеристики Липман доказал в [89, section2.5], что fpqc-пучок, ассоциированный с модифицированным функтором Пикара локально окольцованного пространства ∞ , является -групповой схемой.При предположениях, что char = 0, поле алгебраически замкнуто, и — проективная неприводимая кривая, мы дадим простое доказательство того, что пучок Pic∞является -групповой схемой.
Мы изучим также структуру этой -групповой схемы. Заметим, что из существования этой -групповой схемы будет автоматически следовать, чтопредпучок Pic∞ — пучок на большом fpqc-сайте схемы Spec .В дальнейшем нам понадобится следующая лемма и следствия из нее.Лемма 40. Пусть X̊∞ = (, ) — риббон над полем . Пусть — аффинная схема надполем , и ℳ — когерентный пучок на . Имеем̂︀ ℳ) ≃ lim ℎ ( × , ( / ) ℳ) ≃ lim( ℎ (, / ) ⊗ 0 (, ℳ)), ℎ ( × , ←−←−>>̂︀ ℳ) = 0 ( × , для любых ∈ Z, ℎ ≤ 1, > 1.141Доказательство Имеется следующий аналог формулы Кюннета:* (( /+ℎ ) ℳ) ≃ ( /+ℎ ) ⊗ 0 (, ℳ),(4.32)где : × → — проекция. Действительно, если — аффинное открытое множествов , и : × → — проекция, то имеются естественные изоморфизмы* (( /+ℎ ) ℳ)( ) ≃ * ( /+ℎ )( × ) ⊗ × * ℳ( × ) ≃≃ ( /+ℎ )( ) ⊗ 0 (, ℳ),поскольку ( /+ℎ ), ℳ — когерентные пучки модулей на ℎ−1 , соответственно (см.предложение 7).
Эти изоморфизмы, очевидно, согласованы с гомоморфизмами ограничения, соответствующими вложениям аффинных множеств ′ ⊂ для обоих пучков* (( /+ℎ ) ℳ) и ( /+ℎ ) ⊗ 0 (, ℳ). Следовательно, пучки из формулы (4.32)изоморфны.Так как — аффинный морфизм, имеем ( × , ( /+ℎ ) ℳ) ≃ (, /+ℎ ) ⊗ 0 (, ℳ)для всех (см. [27, ch.III, ex.8.1]).Для всех , ℎ, с ℎ ≤ имеется сюръективный морфизм пучков( /+ ) ℳ → ( /+ℎ ) ℳ,поскольку ( /+ ) → ( /+ℎ ) — сюръективный морфизм пучков на .Для любого аффинного в × отображенияΓ(, ( /+ ) ℳ) → Γ(, ( /+ℎ ) ℳ)сюръективны, поскольку ( / ) ℳ — когерентные пучки модулей для всех < на−−1 × .
По той же причине имеем (, ( / ) ℳ) = 0 для всех > 0.Наконец, так как — проективная кривая, проективные системы{ (, /+ℎ ) ⊗ 0 (, ℳ)}ℎ∈N , ≥ 0удовлетворяют МЛ-условию. Таким образом, в силу [64, ch. 0, prop.13.3.1] имеем̂︀ ℳ) ≃ lim ( × , ( / ) ℳ) ≃ lim( (, / ) ⊗ 0 (, ℳ)) ( × , ←−←−>>для ≥ 1.̂︀ ℳ.Для = 0 это следует из определения пучка Следствие 20. Для риббона X̊∞ = (, ) над полем , для аффинной нетеровой схемы над полем , и для когерентного на пучка ℳ имеем̂︀ ℳ) ≃ 1 (, /0 ) ⊗ 0 (, ℳ) 1 ( × , (/0 )̂︀ ℳ) = ( × , (/0 ) ℳ) = 0 ( × , для ≥ 2.Доказательство Доказательство очевидно, поскольку когомологии коммутируют с limна нетеровых схемах.−→142Следствие 21. Для риббона X̊∞ = (, ) над алгебраически замкнутым полем с про-ективной неприводимой кривой , для аффинной схемы над полем существует вложение -алгебр 0 ( × , × ) −→ 0 ( × , ,0 ),расщепляющее естественное отображение -алгебр 0 ( × , ,0 ) −→ 0 ( × , × ).Доказательство По формуле (4.32), и так как 0 (, ) ≃ , имеем 0 ( × , × ) ≃ 0 (, ) ⊗ 0 (, ) ≃ 0 (, ).Теперь, поскольку имеются вложения 0 (, ) ˓→ 0 (, 0 / ) ⊗ 0 (, ) = 0 ( × , , /,0 )для всех > 0, получаем вложение 0 (, ) ˓→ 0 ( × , ,0 )для любой схемы по лемме 40.Предложение 24.
Пусть X̊∞ = (, ) — риббон над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, и — неприводимая проективная кривая. Тогда1. Пучок Pic∞ — групповая схема.2. Имеется следующая точная последовательность групповых схем:0wVwPic∞wPicw 0,(4.33)где V — аффинная групповая схема, и Pic — многообразие Пикара кривой , чьясвязная компонента единицы — обобщенный якобиан кривой . Существует сечение отображения из последовательности (4.33) над любой аффинной подсхемой схемы Pic .ДоказательствоПоскольку char = 0, мы можем использовать ряды для () и(1 + ).Для любой аффинной нетеровой схемы имеются точные последовательности пучков на × :*0 → ,1 → *,0 → ×→ 1.Следовательно, используя лемму 40 и следствие 21 этой леммы, мы получаем следующуюточную последовательность̂︀ 0 (, ) → ∞ () → () → 0,0 → 1 (, 1 )⊗def̂︀ 0 (, ) = lim( 1 (, 1 / ) ⊗ 0 (, )), игде 1 (, 1 )⊗←−>1* ↦→ () = 1 ( × , ×)— функтор Пикара кривой .(4.34)143Определимdef1* = Hom, ( 1 (, 1 ), ) = −lim→( (, 1 / )) ,>1defdefи V = Spec( ()) — аффинная -групповая схема, где () =повой закон задан с помощью отображения ↦→ ⊗ 1 + 1 ⊗ , ∈ .Для любой аффинной нетеровой схемы над ∞⨁︀ (), и груп-=0Homℎ (, V) = Hom− ( (), 0 (, )) = Hom (, 0 (, )) =101̂︀ 0lim←−( (, 1 / ) ⊗ (, )) = (, 1 )⊗ (, ).
(4.35)>1Тогда из точной последовательности (4.34) вытекает следующая точная последовательность групп, функториальная по :0wHomℎ (, V)w ∞ ()w () → 0,(4.36)Пучки (в сайте Зарисского), ассоциированные с первым и последним предпучками (илифункторами) в последовательности (4.36) являются -групповыми схемами, посколькудля первого пучка это верно по построению, а последний пучок — схема Пикара Picкривой (см. [61]).Представимость функтора Pic означает, что существует универсальный объект (расслоение Пуанкаре на × Pic ), соответствующий тождественному отображению схемы Pic в Hom(Pic , Pic ) ≃ Pic (Pic ) (мы отождествляем здесь обозначения дляпредставимого функтора и представляющей схемы).
По построению ассоциированногопучка, задается по открытому аффинному покрытию { } схемы Pic , и линейнымрасслоениям ℒ на × (ℒ , ℒ изоморфны на × ( ∩ ) с точностью до подкрутки на линейное расслоение на ∩ ). Функториальное отображение Hom(·, ) → Pic (·)задается вложением ⊂ Pic .Так как в силу (4.36) расслоения ℒ на × можно поднять до линейных рас̃︁ на ∞, , расслоения ℒ̃︁ порождают морфизмы функторов : Hom(·, ) →слоений ℒPic∞ (·), которые, в композиции с : Pic∞ → Pic , задают вложение ⊂ Pic .defТаким образом, как функтор мы можем разложить = Pic∞ ×Pic ⊂ Pic∞как V × , с помощью действия V на , наследуемого из групповой структуры ( →V × через ↦→ ( − (), ()), V × → через (′ , 0 ) ↦→ ′ + (0 )).Итак, функтор Pic∞ имеет покрытие { } открытыми представимыми функторами, поэтому он представим.Рассмотрим любую аффинную подсхему схемы Pic . Тогда, ограничивая расслоение Пуанкаре из × Pic на × Pic , и используя те же рассуждения что выше,легко видеть, что существует расщепление отображения из последовательности (4.33)над подсхемой схемы Pic .
Предложение доказано.Замечание 64. Предположим, что выполняется следующее свойство: * (,0 ) = , где : ∞, → — структурный морфизм (между локально окольцованными пространствами). Это условие выполняется, например, если риббон X̊∞ происходит из поверхности иобильного дивизора Картье, поскольку в этом случае 0 (, 1 / ) = 0 для всех ≥ 1 (см.замечание 49 и теорему 28), откуда, используя точную последовательность0 → ,1 → ,0 → × → 0,лемму 40 и следствие 21, получаем * (,0 ) = .144Теперь, поскольку кривая имеет -рациональную точку, существует сечение : → ∞, морфизма .
Тогда, используя стандартные аргументы (см., например, [61]),мы получаем в этом случае следующее описание функтора Pic∞ :Pic∞ () ≃ ∞ ()/ () ≃ {ℒ ∈ ∞ ()| * (ℒ) ≃ }.4.2.6Представимость функтора Пикара риббона PicX̊∞В этом разделе доказываются основные результаты о представимости функтора Пикара риббона PicX̊∞ . Эти результаты доказываются при дополнительных условиях нариббоны. А именно, предполагается, что рассматриваются риббоны над полем с неприводимой проективной кривой и либо с гладкой точкой, либо удовлетворяющие условию(**). В этом же разделе определяются важные дополнительные функторы- аналоги функтора Пикара, и доказывается их представимость.Пусть — неприводимая проективная кривая над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль, и X̊∞ — риббон над с подлежащим топологическим пространством и либо с гладкой точкой, либо удовлетворяющий условию (**) из определения 67.Рассмотрим риббон X̊∞, для некоторой замены базы → Spec .Пусть ℱ ∈ (X̊∞, ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
