Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В пространстве ˜1(+1) естьвить как сумму произведений элементов из −1два специальных оператора: 1 = 1+1 и 2 порядка ordΓ (2 ) = (0, + 1). Из сказанноговыше следует, что для любого ≥ 2 и любых , ∈ Z+ , таких что + = и ∈ Σ, суще˜ (+1) можноствует элемент ∈ порядка ordΓ () = (, ). Значит, всякий элемент ∈ 180записать как сумму элемента порядка меньше, чем ordΓ (), и произведения элемента из˜ (+1) и 1 или 2 . По индукции мы получаем наше утверждение.−1Теперь все вышеприведенные рассуждения для и ( + 1) (вместо ) показывают, что , ( + 1) — дивизоры Картье.
Но тогда также должен быть дивизоромКартье.Теперь пусть (A, W) — пара из пространства (())(()), соответствующая нашимгеометрическим данным (см. параграф 3.5.2). Из параграфа 3.5.2 (а именно, из (5.3), (5.5)и (5.10)) следуетA() ∩ [[]] ≃ /−1 ≃ 0 (, ()),для всех ≫ 0, где A() — образ квинтета (, , (), , ) при отображении Кричевера (ср. также (5.9)). Из одномерной теории КП (см. (1.35), (1.37)) получаем тогда, чтоA() · − — образ квинтета (, , ()(− ), , ) при отображении Кричевера.
Таккак 1 ∈ ∖−1 , мы получаем, что − ∈ /−1 . Следовательно, 0 (, ()(− )) ≃ A() · − ∩ [[]] ≃ ,и по теореме Римана-Роха ℎ1 (, ()(− )) = (). Но тогда ()(− ) ≃ для всех ≫ 0, т.e. () ≃ ( ).Теперь есть два возможных значения для числа ℎ0 (, ()): это либо 1, либо 2.Если это 1, то это значит, что 0 (, ()) ≃ A(1) ∩ [[]] ≃ 1 /0 ,(6.1)поскольку 1 ∈ 1 ∖0 и всегда имеется вложение 1 /0 ⊂ A(1). Заметим также, чтовсегда имеются вложения·A ∩ ([[]](()) + (())[[]]) ˓→ A · ∩ ([[]](()) + (())[[]]),·A ∩ (())[[]] ˓→ A · ∩ (())[[]],A ∩ [[]](()) ≃ A · ∩ [[]](()).Значит, имеется естественное линейное отображениеA · ∩ ([[]](()) + (())[[]])A ∩ ([[]](()) + (())[[]])−→.(A ∩ (())[[]]) + (A ∩ [[]](()))(A · ∩ (())[[]]) + (A · ∩ [[]](()))(6.2)В силу (5.7) это отображение совпадает с отображением 1 (, ) → 1 (, ()).
Покажем, что ядро этого отображения может содержатьтолько элементы из(A1 ∩ ([[]](()) + (())[[]])) + [(A ∩ (())[[]]) + (A ∩ [[]](()))],(6.3)где A1 = A ∩ −1 · (())[[]]. Отсюда и из (6.1) следует, что отображение 1 (, ) → 1 (, ()) инъективно. Пусть ∈ A ∩ ([[]](()) + (())[[]]) — какой-то подъем элемента из ядра. Тогда · = 1 + 2 , где 1 ∈ (A · ∩ (())[[]]) и 2 ∈ (A · ∩ [[]](())).Так как 1 −1 ∈ (A ∩ (())[[]]), имеем2 −1 = − 1 −1 ∈ A ∩ ([[]](()) + (())[[]]).Но 2 −1 ∈ A1 и также задает элемент из ядра.Теперь предположим, что ℎ0 (, ()) = 2.
Это означет, что образ пучка в (())при отображении Кричевера содержит элемент порядка −1. Следовательно, этот образизоморфен кольцу [−1 ], т.e. ≃ P1 . Но тогда поверхность должна быть гладкой вдоль181 , поэтому должна быть нормальной, поскольку Коэно-Маколеева и — обильныйдивизор. Тогда в силу [30, Th.2.5.19] и [30, Corol.2.5.20] существует открытая окрестностькривой изоморфная открытой окрестности прямой в P2 . Так как (ℱ) — пучок безкручения и ℎ0 (, (ℱ())) = dim /−1 = +1 для всех ≫ 0, имеем (ℱ) ≃ .
Таккак ℱ Коэно-Маколеев, он локально свободен на гладкой открытой окрестности кривой . Так как (P2 ) = (P2 ∖) ≃ Z для любой замкнутой подсхемы коразмерности большеединицы, имеем ℱ ≃ на этом открытом множестве (так как иначе его ограничениена = P1 не было бы тривиально). Но тогда (например в силу [30, Prop.1.1.6]) ≃ 0 (, ℱ()) ≃ 0 (, ()) ≃ , так как и ℱ Коэно-Маколеевы. Следовательно, ≃ [, ] и = P2 . Поэтому 1 (, ) = 0, ч.т.д.Наконец, по формулам 1.35 и 1.36 пучок ℱ удовлетворяет предположениям предложения 30. Следовательно, он Коэно-Маколеев на .Обратно, предположим, что — дивизор Картье, ℱ — когерентный пучок рангаодин, отображение 1 (, ) → 1 (, ()) инъективно, () ≃ ( ). Тогда иззамечания 72 следует, что ранг данных равен 1. Как мы видели выше, условие на когомологии означает, что ядро отображения (6.2) равно нулю.
Это означает (см. (6.3)), чтовсе элементы из A1 ∩ ([[]](()) + (())[[]]) могут быть представлены в виде суммы элемента из A1 ∩ [[]](()) и элемента из A1 ∩ (())[[]]. В частности, для любого элементаиз A(1) ∩ [[]] существует элемент из A1 ∩ [[]](()) с тем же носителем (умноженным на−1 ). Это означает, что 0 (, ()) ≃ 0 (, ( )) ≃ A(1) ∩ [[]] ≃ 1 /0(так как ранг данных равен 1). Заметим, что A(1) содержит элемент порядка один (таккак A(1) — образ ( ) при отображении Кричевера). Значит, существует элемент в1 с младшим членом −1 . Но этот элемент даст нам оператор 1 после примененияотображения 1−1 и сопряжения на оператор Сато из теоремы 20.6.2Разные примеры геометрических данных, пар Шура и коммутирующих операторовВ этом разделе разбираются примеры поверхностей с дивизором и точкой, для которых можно явно вычислить все возможные геометрические данные ранга один с данной поврехностью и дивизором, соответствующие пары Шура и соответствующие алгебры^ .
Заодно получаются примеры поверхностей, которые некоммутирующих операторов в могут быть спектральными поверхностями максимальных колец дифференциальных операторов.Пример 26. В этом примере мы покажем как уже известные примеры коммутирующихдифференциальных операторов в частных производных, соответствующие квантовым системам Калоджеро-Мозера и кольцам квази-инвариантов (см. [47]), укладываются в нашуклассификацию.Напомним, что кольца в этих примерах состоят из операторов, коммутирующих соператором Шредингера = 12 + 22 − (1 , 2 ), где — функция специального типа,заданная точной формулой в одном из трех случаев: рациональном, тригонометрическоми эллиптическом.
Во всех случаях описаны кольца старших символов (они называютсякольцами квази-инвариантов, см. [47]). Таким образом, кольца квази-инвариантов — это -подалгебры в кольце многочленов (от двух переменных в нашем случае). Как следуетиз определения и описания этих колец в [47], соответствующие кольца коммутирующих182дифференциальных операторов удовлетворяют условиям предложения 1 и леммы 12. Таким образом, после линейной замены переменных они становятся 1-квази-эллиптическимистрого допустимыми кольцами (по предложению 1), и следовательно соответствуют 1квази-эллиптическим парам Шура.
Если кольцо квази-инвариантов конечно порожденокак -алгебра (ср. предложение 18), то кольцо коммутирующих дифференциальных операторов соответствует паре Шура из определения 42 (после применения отображения 1из следствия 10 к соответствующей 1-квази-эллиптической паре Шура из теоремы 21),и следовательно оно также соответствует геометрическим данным из определения 45 потеореме 23.Например, хорошо известный пример квантовой системы Калоджеро-Мозера (см.[115], [39, sec.
5.3]) задается операторами1 = 1 + 2 ,2 = 12 + 22 − ( + 1)℘(1 − 2 ),(здесь ℘() — функция Вейерштрасса гладкой эллиптической кривой); после применения -линейной замены переменных ′ 2 = 1 + 2 , ′ 1 = 1 , ′2 = 2 , ′1 = 1 − 2 − , ∈ C онистановятся равными1 = ′ 2 ,222 = 2 ′ 1 − 2 ′ 1 ′ 2 + ′ 2 − ( + 1)℘( + ′1 )(таким образом, этот пример принадлежит классу "тривиальных"алгебр). Мы выбираемздесь константу таким образом, чтобы ряд Тейлора функции ℘() − −2 в окрестности нуля и все его производные сходились в = . В этом случае мы можем представить ℘( + ′1 ) как формальный ряд Тейлора, принадлежащий C[[′1 ]]. Заметим, что любоекольцо коммутирующих операторов, содержащее эти операторы, содержит также оператор ′2 = 2 − 21 и ordΓ (′2 ) = (1, 1), ordΓ (1 ) = (0, 1).
Заметим, что оба оператора 1 , ′2удовлетворяют условию 1 . Следовательно, любое кольцо коммутирующих операторов,содержащее эти операторы, является 1-квази-эллиптическим строго допустимым с числом = 1. Отметим, что в работе [39, sec. 5.3] была посчитана аффинная спектральнаяповерхность этой системы: это A1 × , где — некоторая гиперэллиптическая кривая.Таким образом, по теореме 18 проективная спектральная поверхность из соответствующих геометрических данных нормальна, и особенности появляются лишь на кривой (которая рациональна). Было бы интересно посчитать соответствующий спектральныйпучок.Пример 27. Это пример поверхности, дивизора и точки, для которых мы можем вы-числить все возможные геометрические данные ранга один, соответствующие пары Шураи соответствующие алгебры коммутирующих операторов. Точнее, мы стартуем с кольца, и описываем все возможные пары Шура с кольцом в качестве стабилизатора.
Этоописание возможно благодаря использованию явных формул из классической теории КПв размерности 1; эти формулы также дают явное описание коммутирующих операторов.Примечательно, что при этом мы увидим, что отображение , ограниченное на множествовсех пучков из этих геометрических данных, отображает это множество сюръективно наоткрытое плотное подмножество компактифицированного обобщенного якобиана кривой , состоящее из пучков с тривиальными когомологиями. Мы увидим также, что для этойповерхности нет других колец коммутирующих ДО, кроме одного кольца операторов спостоянными коэффициентами.Рассмотрим кольцо = ⟨22 , 2 (22 + 312 ), 1 ⟩ ⊂ [1 , 2 ].Легко видеть, что ≃ [ℎ][, ]/( 2 − ( + 3ℎ2 )2 ) (где 2 (22 + 312 ) ↦→ , 22 ↦→ ,1 ↦→ ℎ) и что = [1 , 2 ], где обозначает нормализацию . Ясно также, что —1-квазиэллиптическое вполне допустимое кольцо.183Напомним, что имея такое кольцо , можно построить часть геометрических данных,а именно поверхность , дивизор и точку (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
